《高考快车道》2026版高三一轮总复习数学(基础版)117　第十章　滚动测试卷(七)　第一～十章 课件

(共56张PPT)
第十章　统计与成对数据的统计分析
滚动测试卷(七)　第一～十章
单元检测(一)
题号
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．全集U＝R，集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{4，5，6，8}，则阴影部分表示的集合是(　　)
A．{2，3，5，7，9} B．{2，3，4，5，6，7，8，9}
C．{4，6，8} D．{5}
√
C　[Venn图的阴影部分表示的集合为( UA)∩B，而全集U＝R，集合A＝{2，3，5，7，9}，B＝{4，5，6，8}，
所以( UA)∩B＝{4，6，8}．故选C．]
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2．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为(　　)
A．14 B．16
C．18 D．20
B　[将这些数据按从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，则其中位数为16．故选B．]
√
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3．已知i为复数单位，＝2＋i，则z＝1＋ai的模为(　　)
A． B．1
C．2 D．4
A　[由＝2＋i，可得3＋ai＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以a＝－1，
所以z＝1－i，则|z|＝＝．故选A．]
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4．(2025·青岛模拟)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
单位：人
跳绳 性别 合计
男 女
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
合计 60 50 110
已知χ2＝，P(χ2≥10.828)＝0.001，依据小概率值α
＝0.001的χ2独立性检验，以下结论正确的为(　　)
A．爱好跳绳与性别有关
B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C．爱好跳绳与性别无关
D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
√
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C　[χ2＝＝≈7.822<10.828，
故爱好跳绳与性别无关，但不能推出这个结论犯错误的概率不超过0.001，故选C．]
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5．(2024·西安未央区校级期末)某高中为增强学生的海洋国防意识，组织本校1 000名学生参加了“逐梦深蓝，山河荣耀”的国防知识竞赛，从中随机抽取200名学生的竞赛成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(　　)
①频率分布直方图中a的值为0.005；
②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80；
③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78；
④估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为150．
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②④
√
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B　[对于①，∵(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，∴a＝0.005，∴①正确；
对于②，前3组的频率和为0.1＋0.15＋0.35＝0.6，
∴估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80，∴②正确；
对于③，由题干图可估计这200名学生竞赛成绩的众数为＝75，∴③错误；
对于④，∵样本中成绩落在[60，70)内的频率为30a＝0.15，
∴估计总体中成绩落在[60，70)内的学生人数为1 000×0.15＝150，∴④正确．
故选B．]
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6．已知数列{an}和{bn}均为等差数列，数列{an}的前n项和为Sn，若为定值，S5＝45，b3＝6，b7＝14，则a5＝(　　)
A．15 B．56
C．72 D．104
A　[在等差数列{an}中，由S5＝＝5a3＝45，得a3＝9，
因为为定值，所以＝＝＝，
即a7＝21，
所以a5＝＝15．故选A．]
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7．(2024·常州武进区期末)已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的方差为(　　)
A．3.2 B．3.4
C．3.6 D．3.8
B　[设男生的人数为x，女生的人数为y，
由题意可知，解得
设女生进球数的方差为s2，
20名学生进球数的平均值和方差分别是4和3.6，其中男生进球数的
平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则×[1.8＋(5－4)2]＋×[s2＋(3－4)2]＝3.6，解得s2＝3.4．
故选B．]
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8．已知函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线与圆心为Q(1，0)的圆相切，则圆Q的面积是(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
B　[依题意，y′＝ex，则函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线斜率为：k＝y′|x＝0＝e0＝1，
所以函数y＝ex的图象在点P(0，1)处的切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0，
因为该切线x－y＋1＝0与圆心为Q(1，0)的圆相切，所以圆的半径
r＝＝，
所以圆Q的面积为πr2＝2π．故选B．]
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．经过简单随机抽样获得的样本数据为x1，x2，…，xn，则下列说法正确的是(　　)
A．若数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn
B．若数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为6
C．若数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则可以估计总体中至少有50%的数据不大于90
D．若数据x1，x2，…，xn的众数为78，则可以说总体中的众数为78
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AC　[对于A，数据x1，x2，…，xn的方差s2＝0，则x1＝x2＝…＝xn，所以选项A正确；对于B，数据x1，x2，…，xn的均值为3，则数据y1，y2，…，yn(其中yi＝2xi＋1(i＝1，2，…，n))的均值为2×3＋1＝7，所以选项B错误；对于C，数据x1，x2，…，xn的中位数为90，则根据中位数的定义可以估计总体中至少有50%的数据不大于90，所以选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，所以选项D错误．故选AC．]
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10．(2024·内江月考)为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y(单位：min)的5组数据为：(1，5)，(2，9)，(3，12)，(4，15)，(5，19)，根据以上数据可得经验回归方程为＝3.4x＋，则下列选项正确的有(　　)
A．＝1.8
B．经验回归直线＝3.4x＋必过点(2，9)
C．加工6个零件的时间大约为22.2 min
D．若去掉(3，12)，剩下4组数据的经验回归方程不会有变化
√
√
ACD　[＝(5＋9＋12＋15＋19)＝
12，所以经验回归直线＝3.4x＋恒过点(3，12)，所以12＝3.4×3＋，解得＝1.8，故A正确；
当x＝2时，＝3.4×2＋1.8＝8.6≠9，故B错误；
由＝3.4x＋1.8，令x＝6，则＝3.4×6＋1.8＝22.2，
故加工6个零件的时间大约为22.2 min，故C正确；
因为经验回归直线＝3.4x＋1.8恒过点(3，12)，所以剩下4组数据的经验回归方程不会有变化，故D正确．故选ACD．]
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11．若实数aA．<<
B．若a>1，则logaab>2
C．若a>0，则>
D．若m>，a，b∈(1，3)，则(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b>0
√
√
BCD　[对于A，当a＝0时，＝，所以选项A错误；对于B，
因为a>1，b>a，所以ab>a2>1，又y＝logax为增函数，
所以logaab>logaa2＝2，所以选项B正确；
对于C，＝＝
＝，因为a>0，b>a，所以b>a>0，b－a>0，
所以(1＋a)(1＋b)>0，b2＋a2＋ab＋a＋b>0，
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所以>0，即>0，即>，所以选项C正确；对于D，(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b＝a3－ma2＋a－，令f (x)＝x3－mx2＋x，则f ′(x)＝x2－2mx＋1，因为m>，所以f ′(1)＝2－2m<2－<0，f ′(3)＝10－6m<10－6×＝0，所以f ′(x)<0在(1，3)上恒成立，所以函数f (x)在(1，3)上单调递减．又1f (b)，即－mb2＋b，所以(a3－b3)－m(a2－b2)＋a－b＝a3－ma2＋a－>0，所以选项D正确．故选BCD．]
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2024·台州期末)某学校有高二学生600人，其中男生360人，女生240人．有人为了获得该校全体高二学生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取了容量为100的总样本(观测数据单位：cm)，若已知男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，则总样本的平均数是________．
168
168　[男生样本的平均数为172，女生样本的平均数为162，
则总样本的平均数是：×172＋×162＝168．]
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13．某老师很喜欢“学习强国”中“挑战答题”模块，他记录了自己连续七天每天一次最多答对的题数，如下表：
天数x 1 2 3 4 5 6 7
一次最多答 对题数y 12 15 16 18 21 24 27
由表中数据可知该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是________相关(填“正”或“负”)，其样本相关系数r≈________(结果保留两位小数)．
正
0.99
参考数据：＝4，＝19，＝140，＝2 695，
xiyi＝600，≈2.45，
样本相关系数r＝．
正　0.99　[由表中数据知，y随x的增大而增大，
所以该老师每天一次最多答对题数y与天数x之间是正相关．
r＝＝≈0.99．]
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14．已知双曲线方程为＝1(a>0，b>0)，左焦点F关于一条渐
近线的对称点在另一条渐近线上，则该双曲线的离心率为_______．
2　[如图，设F关于渐近线y＝x对称的点A在渐近线y＝－x上，
2
FA的中点B在渐近线y＝x上，
则∠FOB＝∠BOA，
又∠FOB＝∠AOx，
所以∠FOB＝∠BOA＝∠AOx＝60°，
所以tan 60°＝＝，
所以e＝＝＝＝＝2．]
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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)每年的11月9日为“119消防宣传日”．消防宣传日的设立，旨在提醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生．某高中学校为增强学生的消防安全意识，组织本校高一、高二共800名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年级分别随机抽取10名学生的竞赛成绩如下：
题号
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高一：90　85　82　85　97　83　88　95　90　85
高二：83　90　97　88　95　85　95　85　80　82
(1)请根据以上20个数据，估计此次参赛学生成绩的第60百分位数、众数和平均数；
(2)若规定95分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选2人作为宣讲代表，则这2人中至少有1人来自高一年级的概率是多少？
题号
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[解]　(1)把20个数据由小到大排列为80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，90，95，95，95，97，97，由20×60%＝12，
估计此次参赛学生成绩的第60百分位数为＝89，
估计此次参赛学生成绩的众数为85，
平均数为＝(80＋82×2＋83×2＋85×5＋88×2＋90×3＋95×3＋
97×2)＝88．
(2)成绩在95分及以上的有5人，来自高一年级的有2人，记为1，2，
来自高二年级的有3人，记为a，b，c，
从5人中任选2人的样本空间为：
Ω＝{12，1a，1b，1c，2a，2b，2c，ab，ac，bc}，共10个样本点，
设事件A表示“这2人中至少有1人来自高一年级”，
则A＝{12，1a，1b，1c，2a，2b，2c}，共7个样本点，
∴这2人中至少有1人来自高一年级的概率是P(A)＝．
题号
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16．(15分)(2024·北京西城区模拟)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．A校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了n名学生，发现这些学生的课外日均阅读时间(单位：分钟)均在[0，120]．根据这n名学生的课外日均阅读时间，将样本数据分组为：[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100)，[100，120]，并绘制出如下频率分布表．
分组 频数 频率
[0，20) 4 f1
[20，40) 10 0.1
[40，60) 46 f2
[60，80) a f3
[80，100) 20 f4
[100，120] 4 f5
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(1)求n，f3的值；
(2)若采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为[60，80)，[80，100)，[100，120]的学生中抽取10人，再从抽取的10名学生中随机抽取1名学生进行阅读经验分享，求抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概率；
(3)现从这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为“阅读达人”，请算出要成为“阅读达人”至少需要的课外日均阅读时间．
题号
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[解]　(1)因为数据在[20，40)内的频数为10，频率为0.1，
所以＝0.1 n＝100，
则4＋10＋46＋a＋20＋4＝100 a＝16，所以f3＝＝0.16．
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(2)因为课外日均阅读时间在[60，80)，[80，100)，[100，120]的学生比例为16∶20∶4＝4∶5∶1，
所以采用分层随机抽样的方法从课外日均阅读时间为[60，80)，[80，100)，[100，120]的学生中抽取10人，
日均阅读时间在[60，80)，[80，100)，[100，120]的人数分别为4，5，1，则课外日均阅读时间不少于80分钟的人数为6人，
抽到做阅读经验分享的学生的课外日均阅读时间不少于80分钟的概
率为＝0.6．
题号
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(3)这n名学生中评出课外日均阅读时间较长的10人为“阅读达人”，日均阅读时间在[100，120]的学生人数为4人，
再从日均阅读时间在[80，100)的学生中选出6个阅读时间较长的人即可，
设6个人中阅读时间最短的是x分钟，则＝ x＝94，
所以成为“阅读达人”需要的课外日均阅读时间至少94分钟．
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17．(15分)某电商平台统计了近七年小家电的年度广告费支出xi(单位：万元)与年度销售量yi(单位：万台)的数据，如表所示：
年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
广告费支 出x/万元 1 2 4 6 11 13 19
销售量 y/万台 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4
其中xiyi＝279.4，＝708．
(1)若用线性经验回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程；
(2)若用y＝c＋d模型拟合得到的非线性经验回归方程为＝1.63＋0.99，经计算线性经验回归模型及该模型的R2分别为0.75和0.88，请根据R2的数值选择更好的经验回归模型拟合y与x的关系，进而计算出年度广告费x为何值时，利润＝200y－x的预报值最大？
参考公式：＝＝，＝－．
[解]　(1)由题意可得：
＝＝8，＝＝4.2，
所以＝＝＝0.17，
＝＝4.2－0.17×8＝2.84，
所以y关于x的经验回归方程为＝0.17x＋2.84．
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(2)因为0.75<0.88，R2越大，拟合效果越好，所以选用非线性经验回归方程＝1.63＋0.99更好，
＝200(1.63＋0.99)－x＝－x＋198＋326，
＝－(－99)2＋10 127，
所以当＝99，即x＝9 801时，利润的预报值最大．
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18．(17分)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD与ABEF均为直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，DA⊥平面ABEF，AB⊥AF，AD＝AB＝2BC＝2BE＝2．
(1)已知点G为AF上一点，且AG＝2，
求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值
为，求AF的长及四棱锥D-ABEF的体积．
[解]　(1)证明：因为DA⊥平面ABEF，AB，AF 平面ABEF，
所以DA⊥AB，DA⊥AF，又AB⊥AF，所以AB，AF，DA两两垂直．
以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(0，2，0)，E(1，2，0)，
C(0，2，1)，D(0，0，2)，G(2，0，0)，
所以＝(－1，0，1)，＝(－1，－2，2)，
＝(2，－2，0)．
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设平面DCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令x＝2，则z＝2，y＝1，所以n＝(2，1，2)为平面DCE的一个法向量，
因为n·＝2×2＋1×(－2)＝2≠0，
所以与n不垂直，
所以BG与平面DCE不平行．
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(2)设AF＝a(a>0且a≠1)，则F (a，0，0)，所以＝(a，－2，0)，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，
∴＝＝
＝＝，
化简得11a2－40a－16＝0，解得a＝4或a＝－(舍去)，故AF＝4．
此时S梯形ABEF＝×(1＋4)×2＝5，故VD-ABEF＝S梯形ABEF·DA＝．
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19．(17分)(2024·嘉兴二模)春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗．某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1 000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感．医学研究表明，流感的检测结果有错检的可能，已知患有流感的人其检
测结果有95%呈阳性(感染)，而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性(未感染)．
(1)估计该市流感感染率是多少？
(2)依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为注射流感疫苗与预防流感有关？
(3)已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率．(精确到0.001)
附：χ2＝，
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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[解]　(1)估计流感的感染率P＝＝0.3．
(2)根据题意，得到2×2列联表如下：
单位：人
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疫苗 流感 合计
患流感 不患流感
打疫苗 220 580 800
不打疫苗 80 120 200
合计 300 700 1 000
零假设为
H0：注射流感疫苗与预防流感无关．
χ2＝＝≈11.905，
因为11.905＞10.828，
所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，推断H0不成立，即认为注射流感疫苗与预防流感有关．
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(3)设事件A为“一次检测结果呈阳性”，事件B为“被检测者确实患有流感”，
由题意得P(B)＝0.3，P()＝0.01，
由全概率公式得P(A)＝P(B)·P(A|B)＋P()＝0.3×0.95＋0.7×0.01＝0.292，
所以P(B|A)＝＝＝≈97.6%，
即此人真的患有流感的概率是97.6%．
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谢 谢 ！