阶段提能(十五) 圆锥曲线的综合应用
1．(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3T11)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹．
[解] 设顶点C(x，y)．
因为AC，BC所在直线的斜率都存在，
所以kAC＝(x≠－5)，
kBC＝(x≠5)．
根据题意，得kAC·kBC＝m，
所以·＝m(x≠±5)．
因为m≠0，所以方程可变形为＝1(x≠±5)．
所以，当m>0时，点C的轨迹是焦点在x轴上的双曲线，除去(－5，0)，(5，0)两点；当－12．(人教B版选择性必修第一册P167习题2－7C组T1)已知抛物线y2＝4x，且P是抛物线上一点．
(1)设F为抛物线的焦点，A(6，3)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标；
(2)设M的坐标为(m，0)，求|PM|的最小值(用m表示)，并求出取得最小值时点P的坐标．
[解] (1)易知点A在抛物线内部，过P作PB垂直抛物线的准线于点B，如图所示，由抛物线的定义知|PF|＝|PB|，所以|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，当B，P，A三点共线时，|PF|＋|PA|取最小值，为7，此时yP＝3，xP＝，即点P的坐标为．
(2)设点P的坐标为(t2，2t)(t∈R)，则|PM|2＝(t2－m)2＋(2t－0)2．令t2＝u(u≥0)，则|PM|2＝u2＋(4－2m)u＋m2＝[u＋(2－m)]2＋m2－(2－m)2．①当m≤2时，函数y＝u2＋(4－2m)u＋m2在[0，＋∞)上单调递增，当u＝0时，|PM|min＝|m|，此时点P的坐标为(0，0)；②当m>2时，函数y＝u2＋(4－2m)u＋m2在[0，m－2]上单调递减，在[m－2，＋∞)上单调递增，所以当u＝m－2时，|PM|min＝2，此时点P的坐标为(m－2，±2)．
3．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8B组T2)已知直线l：y＝x－3与抛物线C：x2＝－8y相交于A，B两点，且O为坐标原点．
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标；
(2)判断⊥是否成立，并说明理由．
[解] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与抛物线的方程，可得
消去y并整理，得x2＋8x－24＝0，Δ>0，
由根与系数的关系，得
因为点A，B在直线l上，所以
(1)|AB|＝＝
＝8．
因为＝－4，＝＝－7，
所以线段AB的中点坐标为(－4，－7)．
(2)⊥不成立，理由如下：因为·＝x1x2＋y1y2＝＝x1x2＋(x1x2)2＝－24＋9＝－15≠0，所以⊥不成立．
4．(北师大版选择性必修第一册P83习题2－4B组T 4)已知点E(1，0)，直线l：y＝x＋m与椭圆＝1相交于A，B两点，是否存在直线l满足|EA|＝|EB|
[解] 法一：联立
可得3x2＋4mx＋2m2－4＝0．
设直线l与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Δ＝16m2－12(2m2－4)>0，
即－因为x1＋x2＝，x1x2＝，
所以AB的中点为M．
若|EA|＝|EB|，则EM⊥AB，
即·＝0，设x1>x2，
则y1>y2，＝，
＝(x1－x2，y1－y2)，
x1－x2＝
＝
＝≠0，
即＝，
所以·＝＝0，
解得m＝－3或m＝±．
因为此时不满足Δ>0，所以不存在直线l满足|EA|＝|EB|．
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝＝1，所以|AE|2
＝＝
＝－2x1＋3＝(x1－2)2＋1．
同理可得|BE|2＝(x2－2)2＋1．
因为－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，二次函数y＝(x－2)2＋1在[－2，2]上单调递减，所以不存在不同的两个值x1，x2，使它们的函数值相等，即不存在点A，B满足|EA|＝|EB|，所以不存在直线l满足|EA|＝|EB|．
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A [设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)，
又P在曲线C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．]
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，点P(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
A．4 B．3
C．2 D．
C [由题意，F1(0，4)，F2(0，－4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，|PF1|＝＝6，|PF2|＝＝10，
则2a＝|PF2|－|PF1|＝10－6＝4，
则e＝＝2．
故选C．]
7．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
A． B．
C． D．
A [由已知得e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝，解得a＝．故选A．]
8．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
A． B．
C．－ D．－
C [将直线方程y＝x＋m与椭圆方程联立得消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因为直线与椭圆相交于A，B两点，则Δ＝＞0，解得－2＜m＜2．易知F1(－，0)，F2(，0)，因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍，即＝2×，解得m＝－或m＝－3(舍去)，故选C．]
9．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分．已知C过坐标原点O．且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F (2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则( )
A．a＝－2
B．点(2，0)在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D．当点(x0，y0)在C上时，y0≤
ABD [对于A，设曲线上的动点P(x，y)，则x>－2且×|x－a|＝4，
因为曲线过坐标原点，故×|0－a|＝4，解得a＝－2，故A正确．
对于B，曲线方程为×|x＋2|＝4，而x>－2，
故×(x＋2)＝4．
当x＝2，y＝0时，×(2＋2)＝8－4＝4，
故点(2，0)在曲线C上，故B正确．
对于C，由曲线的方程可得y2＝－(x－2)2，取x＝，
则y2＝，而－1＝＝>0，故此时y2>1，故C错误．
对于D，当点(x0，y0)在曲线上时，由C的分析可得＝－(x0－2)2≤，
故－≤y0≤，故D正确．
故选ABD．]
10．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
[由题意知，圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为F (1，0)，故＝1，即p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x．
由可得x2＋2x－24＝0，故x＝4或x＝－6(舍去)，
故A(4，±4)，故直线AF的方程为y＝±(x－1)，即4x－3y－4＝0或4x＋3y－4＝0，
故原点到直线AF的距离为d＝＝．]
11．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1，
得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5，
又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，
故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．]
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
[解] (1)设双曲线C的方程为＝1(a＞0，b＞0)，c为双曲线C的半焦距，
由题意可得解得
所以双曲线C的方程为＝1．
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN的方程为x＝my－4，
则x1＝my1－4，x2＝my2－4．
联立得(4m2－1)y2－32my＋48＝0．
因为直线MN与双曲线C的左支交于M，N两点，所以4m2－1≠0，且Δ＞0．
由根与系数的关系得
所以y1＋y2＝y1y2．
因为A1，A2分别为双曲线C的左、右顶点，
所以A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程为＝，直线NA2的方程为＝，
所以＝，得＝＝＝．
因为＝
＝
＝
＝－3，
所以＝－3，解得x＝－1，
所以点P在定直线x＝－1上．证毕．
【教用·备选题】
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12
C．9 D．6
C [由椭圆C：＝1，得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，则|MF1|·|MF2|≤＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．]
2．(2023·天津卷)双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2．过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P．已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
D [法一：不妨取渐近线y＝x，此时直线PF2的方程为y＝－(x－c)，与y＝x联立并解得即P．
因为直线PF2与渐近线y＝x垂直，所以PF2的长度即为点F2(c，0)到直线y＝x，即bx－ay＝0的距离，由点到直线的距离公式得|PF2|＝＝＝b，所以b＝2．
因为F1(－c，0)，P，且直线PF1的斜率为，所以＝，化简得＝，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以＝，整理得a2－2a＋2＝0，即(a－)2＝0，解得a＝．
所以双曲线的方程为＝1，故选D．
法二：因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且|PF2|＝2，所以b＝2，再结合选项，排除选项B，C；若双曲线方程为＝1，则F1(－2，0)，F2(2，0)，渐近线方程为y＝±x，不妨取渐近线y＝x，则直线PF2的方程为y＝－(x－2)，与渐近线方程y＝x联立，得P，则＝，又直线PF1的斜率为，所以双曲线方程为＝1不符合题意，排除A，故选D．]
3．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，cos ∠F1PF2＝，则|OP|＝( )
A． B．
C． D．
B [法一：依题意可知a＝3，b＝，c＝＝．如图，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，cos ∠F1PF2＝＝，①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
设|OP|＝x．在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，
由余弦定理的推论得＝－，
得x2＝＝＝，
所以|OP|＝．
故选B．
法二：依题意可知a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，设点P的坐标为(x0，y0)，
∠F1PF2＝α，则cos ∠F1PF2＝cos α＝，
故sin ∠F1PF2＝sin α＝＝＝，则tan＝或tan ＝2(舍去)．
故△F1PF2的面积＝b2tan ＝6×＝3．
又＝×2c|y0|＝|y0|，故＝3，又＝1，
所以＝，|OP|2＝＝，|OP|＝．
故选B．
法三：依题意可知a＝3，b＝，c＝＝．如图(图同法一)，不妨令F1(－，0)，F2(，0)．
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，在△F1PF2中，
cos ∠F1PF2＝＝， ①
由椭圆的定义可得m＋n＝2a＝6， ②
由①②，解得mn＝．
因为＝)，
所以||2＝(m2＋n2＋2mn cos ∠F1PF2)
＝＝，所以|PO|＝．
故选B．]
4．(2023·天津卷)过原点O的一条直线与圆C：(x＋2)2＋y2＝3相切，交曲线y2＝2px(p>0)于点P，若|OP|＝8，则p的值为________．
6 [由题意得直线OP的斜率存在．设直线OP的方程为y＝kx，因为该直线与圆C相切，所以＝，解得k2＝3．将直线方程y＝kx与曲线方程y2＝2px(p>0)联立，得k2x2－2px＝0，因为k2＝3，所以3x2－2px＝0，解得x＝0或，设P(x1，y1)，则x1＝，又O(0，0)，所以|OP|＝|x1－0|＝2×＝8，解得p＝6．]
1/1阶段提能(十五) 圆锥曲线的综合应用
1．(人教A版选择性必修第一册P146复习参考题3T11)已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于m(m≠0)，求顶点C的轨迹．
2．(人教B版选择性必修第一册P167习题2－7C组T1)已知抛物线y2＝4x，且P是抛物线上一点．
(1)设F为抛物线的焦点，A(6，3)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取得最小值时点P的坐标；
(2)设M的坐标为(m，0)，求|PM|的最小值(用m表示)，并求出取得最小值时点P的坐标．
3．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8B组T2)已知直线l：y＝x－3与抛物线C：x2＝－8y相交于A，B两点，且O为坐标原点．
(1)求弦长|AB|以及线段AB的中点坐标；
(2)判断⊥是否成立，并说明理由．
4．(北师大版选择性必修第一册P83习题2－4B组T 4)已知点E(1，0)，直线l：y＝x＋m与椭圆＝1相交于A，B两点，是否存在直线l满足|EA|＝|EB|
5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )
[A] ＝1(y>0) [B] ＝1(y>0)
[C] ＝1(y>0) [D] ＝1(y>0)
6．(2024·全国甲卷)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上、下焦点分别为F1(0，4)，F2(0，－4)，点P(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为( )
[A] 4 [B] 3
[C] 2 [D]
7．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：＋y2＝1(a＞1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍，则m＝( )
[A] [B]
[C] － [D] －
9．(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分．已知C过坐标原点O．且C上的点满足：横坐标大于－2，到点F (2，0)的距离与到定直线x＝a(a<0)的距离之积为4，则( )
[A] a＝－2
[B] 点(2，0)在C上
[C] C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
[D] 当点(x0，y0)在C上时，y0≤
10．(2024·天津卷)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
11．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P，证明：点P在定直线上．
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