解析几何
[典例] (15分)(2024·天津卷)已知椭圆＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由e＝及a2＝b2＋c2可得a与c，b与c的关系：a＝2c，b＝c． [解] (1)因为e＝＝， 所以a＝2c， 又a2＝b2＋c2，所以b＝＝c．…………………………(1分) 注意隐含条件a2＝b2＋c2．
②由点A，B，C的位置即可写出其坐标． 由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C． 中点坐标公式：
③利用面积公式及S△ABC＝建立方程求c，进而求出a，b，写出椭圆的标准方程． 所以S△ABC＝|BC|·|OA|＝··a ＝·c·2c＝， 得c＝， 所以a＝2，b＝3．…………(3分) 故椭圆的方程为＝1．…………………………(4分) 此处是否可以建立关于a或b的方程？
④由题意，需先设出点P，Q，T的坐标及过点的动直线方程． (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，－3)， 则·＝(0，3－t)·(0，－3－t) ＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3．(6分) 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx－． 易错点： 设直线方程时需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在，斜率为0等．
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝－．……………………(8分)
⑤直线与椭圆相交，需联立方程，进而由根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2及y1y2，y1＋y2． y1＋y2＝k(x1＋x2)－3＝－3，
y1y2＝＝k2x1x2－(x1＋x2)＋＝＝．
⑥由P，Q，T三点坐标表示出的坐标． ∵＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)， 注意运算结果的正确性．
⑦由条件·≤0，应用数量积公式运算，将根与系数的关系式代入． ∴·＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t) ＝x1x2＋y1y2－t(y1＋y2)＋t2 ＝－－t＋t2≤0，……………………(11分)
⑧由·≤0即可转化为关于k的二次不等式恒成立问题． (4t2－36)k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，……………………(12分) 一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0恒成立
则有
解得－3≤t≤，………………(14分)
⑨结合斜率存在、不存在两种情况给出结论． 综上可得，－3≤t≤，即点T的纵坐标的取值范围是．……………………………(15分) 此处需注意对直线斜率存在、不存在两种情况下参数t的范围求交集．
1/1解析几何
[典例] (15分)(2024·天津卷)已知椭圆＝1(a>b>0)，椭圆的离心率e＝，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC＝．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0？若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由e＝及a2＝b2＋c2可得a与c，b与c的关系：a＝2c，b＝c． [解] (1)因为e＝＝， 所以a＝2c， 又a2＝b2＋c2，所以b＝＝c．…………………………(1分) 注意隐含条件a2＝b2＋c2．
②由点A，B，C的位置即可写出其坐标． 由题知A(－a，0)，B(0，－b)，C． 中点坐标公式：
③利用面积公式及S△ABC＝建立方程求c，进而求出a，b，写出椭圆的标准方程． 所以S△ABC＝|BC|·|OA|＝··a ＝·c·2c＝， 得c＝， 所以a＝2，b＝3．…………(3分) 故椭圆的方程为＝1．…………………………(4分) 此处是否可以建立关于a或b的方程？
④由题意，需先设出点P，Q，T的坐标及过点的动直线方程． (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，－3)， 则·＝(0，3－t)·(0，－3－t) ＝t2－9≤0，解得－3≤t≤3．(6分) 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx－． 易错点： 设直线方程时需考虑特殊直线，如直线的斜率不存在，斜率为0等．
由可得(3＋4k2)x2－12kx－27＝0，所以Δ＝144k2＋4×27(3＋4k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝－．……………………(8分)
⑤直线与椭圆相交，需联立方程，进而由根与系数的关系得出x1＋x2，x1x2及y1y2，y1＋y2． y1＋y2＝k(x1＋x2)－3＝－3，
y1y2＝＝k2x1x2－(x1＋x2)＋＝＝．
⑥由P，Q，T三点坐标表示出的坐标． ∵＝(x1，y1－t)，＝(x2，y2－t)， 注意运算结果的正确性．
⑦由条件·≤0，应用数量积公式运算，将根与系数的关系式代入． ∴·＝x1x2＋(y1－t)·(y2－t) ＝x1x2＋y1y2－t(y1＋y2)＋t2 ＝－－t＋t2≤0，……………………(11分)
⑧由·≤0即可转化为关于k的二次不等式恒成立问题． (4t2－36)k2＋3t2＋9t－≤0对k∈R恒成立，……………………(12分) 一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0恒成立
则有
解得－3≤t≤，………………(14分)
⑨结合斜率存在、不存在两种情况给出结论． 综上可得，－3≤t≤，即点T的纵坐标的取值范围是．……………………………(15分) 此处需注意对直线斜率存在、不存在两种情况下参数t的范围求交集．
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