滚动测试卷(五) 第一～八章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数[1＋(1＋a)i]i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
A [因为复数[1＋(1＋a)i]i＝－(1＋a)＋i，其在复平面内对应的点为(－1－a，1)，则由题意得－1－a<0，解得a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞)，故选A．]
2．已知集合A＝{x|2x2＋x－1<0}，B＝{y|y＝lg (x2＋1)}，则A∩B＝( )
A．(－1，0] B．
C． D．[0，1)
B [集合A＝{x|2x2＋x－1<0}＝．因为x2＋1≥1，所以lg (x2＋1)≥0，所以集合B＝{y|y≥0}，所以A∩B＝，故选B．]
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝( )
A．2 B．4
C．2 D．20
A [a＋b＝(1，x－1)，又a⊥(a＋b)，所以3×1＋(－1)×(x－1)＝0，解得x＝4，所以b＝(－2，4)，所以|b|＝＝2，故选A．]
4．椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝( )
A． B．
C． D．2
A [由题意得c＝，所以e＝＝＝，解得a＝，故选A．]
5．记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
A．120 B．140
C．160 D．180
C [法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由题意，得
解得所以S16＝16×(－5)＋×2＝160，故选C．
法二：因为a3＋a7＝2a5＝6，所以a5＝3．又数列{an}为等差数列，所以a1＋a16＝a5＋a12＝3＋17＝20，所以S16＝＝160，故选C．]
6．已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则( )
A．E是一个半径为的圆
B．E是一条与l相交的直线
C．E上的点到l的距离均为
D．E是两条平行直线
C [设P(x，y)，则由＝(1，－3)，得Q(x－1，y＋3)，
又点Q在直线l：x＋2y＋1＝0上，所以x－1＋2(y＋3)＋1＝0，
即x＋2y＋6＝0，所以点P的轨迹E为直线且与直线l平行，E上的点到直线l的距离d＝＝，故A，B，D不正确，C正确，故选C．]
7．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
A． B．
C．1 D．
A [由tan 2θ＝－4tan 得＝，
解得tan θ＝－2或tan θ＝－．又θ∈，
所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
所以＝
＝
＝＝．
故选A．]
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
A．－ B．－
C． D．－
D [不妨设点A在第一象限，∵|AB|＝|AF1|，
∴|BF2|＝|AB|－|AF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，∴|BF1|＝|BF2|＋2a＝4a．
∵双曲线E的离心率e＝＝，
∴|F1F2|＝2c＝2a．
在△BF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠F1BF2＝＝，∴cos ∠BAF1＝＝－cos (2∠F1BF2)＝－(2cos2∠F1BF2－1)＝－＝－，故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
A．C的虚轴长为2
B．C的离心率为
C．|PF|的最小值为2
D．直线PF的斜率不等于－
AD [双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意得＝，解得b＝．对于A，C的虚轴长2b＝2，故A正确；对于B，C的离心率e＝＝，故B错误；对于C，点F (，0)到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即|PF|的最小值为，故C错误；对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在直线l上，点P在直线l上，所以直线PF的斜率不等于－，故D正确，故选AD．]
10．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q在抛物线C的准线上，则以下命题正确的是( )
A．|PQ|＋|PF|的最小值是2
B．|PQ|≥|PF|
C．当点P的纵坐标为4时，存在点Q，使得＝3
D．若△PQF是等边三角形，则点P的横坐标是3
ABD [由题意知抛物线的焦点F (1，0)，准线l：x＝－1，记l与x轴的交点为W，过点P作PA⊥l，垂足为A，如图所示．
对于A，由抛物线的定义可知，|PF|＝|PA|，所以|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PA|，则当点Q与点A重合时，|PQ|＋|PF|＝2|PA|取得最小值，显然当点P与点O重合时，|PA|取得最小值，最小值为|OW|＝1，所以|PQ|＋|PF|的最小值是2，故A正确；对于B，由A选项分析可知|PQ|≥|PA|＝|PF|，当点Q与点A重合时，等号成立，故B正确；对于C，在y2＝4x中，令y＝4，得x＝4，所以P(4，4)，假设存在点Q，使得＝3，则点Q为直线PF与直线l的交点．易得直线PF的方程为＝，即4x－3y－4＝0，令x＝－1，得y＝－，所以Q，此时＝＝(3，4)，所以＝，故C不正确；对于D，若△PQF是等边三角形，则|PF|＝|PQ|，因为|PF|＝|PA|，所以|PA|＝|PQ|，所以点Q与点A重合，所以∠PQF＝60°，∠FQW＝30°．又|WF|＝2，所以|QF|＝＝4，所以|PQ|＝xP＋1＝|QF|＝4，所以xP＝3，即点P的横坐标是3，故D正确．综上所述，故选ABD．]
11．曾有人说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星没有交汇的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F (2，0)，直线l：x＝，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是( )
A．点P的轨迹方程是＝1
B．直线l1：＝1是“最远距离直线”
C．点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＝0没有交点
D．平面上有一点A(－1，1)，则2|PA|＋3|PF|的最小值为
AC [对于A，设P(x，y)，由题意，得＝·，两边平方，整理得＝1，即点P的轨迹方程是＝1，故A正确；对于B，联立消去y，得7x2－45x＋162＝0．因为Δ＝452－4×7×162＝2 025－4 536<0，所以直线l1与点P的轨迹没有交点，所以直线l1：＝1不是“最远距离直线”，故B不正确；对于C，联立消去y，得4x2－18x＋45＝0．
因为Δ＝182－4×4×45＝324－720<0，所以点P的轨迹与圆C没有交点，故C正确；对于D，如图，
过点P作PB⊥l于点B，由题意，得|PF|＝|PB|，即3|PF|＝2|PB|，所以2|PA|＋3|PF|＝2|PA|＋2|PB|＝2(|PA)＋|PB|)≥2|AB|≥2×＝11，当A，P，B三点共线时等号成立，故D不正确．综上所述，故选AC．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，圆C2：x2＋y2－2x－6y＋9＝0，直线l分别与圆C1和圆C2相切于M，N两点，则线段MN的长度为________．
[圆C1，C2的标准方程分别为C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，C2：(x－1)2＋(y－3)2＝1，所以圆心C1(－2，2)，半径r1＝3，圆心C2(1，3)，半径r2＝1，所以|C1C2|＝＝，所以|r1－r2|<|C1C2|<|r1＋r2|，所以圆C1与圆C2相交，如图，作C2E⊥C1M于点E，则|C1E|＝r1－r2＝2，所以|MN|＝＝．]
13．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
[由题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，故抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，故点A到C的准线的距离为1－＝．]
14．(2024·北京三模)已知双曲线C：－x2＝1，则C的离心率是________；若C的一条渐近线与圆D：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，则＝________．
[由双曲线C：－x2＝1，可得a＝2，b＝1，则c＝＝，
所以双曲线C的离心率为e＝＝；
双曲线C的其中一条渐近线方程为y＝x＝2x，即2x－y＝0，
因为圆D：(x－1)2＋y2＝1的圆心为D(1，0)，半径r＝1，
所以圆心D到渐近线的距离为d＝＝，
由圆的弦长公式，可得＝2＝2＝．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·焦作市博爱县期末)已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x(x＞0)上，点A(－1，1)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(－1，0)且与圆C相切的直线方程．
[解] (1)由圆C的圆心在射线y＝x(x＞0)上，可设圆心C的坐标为(m，m)(m＞0)，
又圆C的半径为2，点A(－1，1)在圆C上，
则|AC|＝＝2，解得m＝1(m＝－1舍去)，
故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
(2)①当切线的斜率不存在时，直线x＝－1与圆C相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，
由题意＝2，解得k＝－，
所以切线方程为－x－y－＝0，整理为3x＋4y＋3＝0，
由①②知，过点B(－1，0)且与圆C相切的直线方程为x＝－1或3x＋4y＋3＝0．
16．(15分)(2024·通化市梅河口市期末)已知A，B是椭圆C：＝1上的两点，线段AB的中点P的坐标为(4，1)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求A，B两点间距离．
[解] (1)由题意知直线AB的斜率存在，设为k，
则直线AB的方程为y－1＝k(x－4)，即y＝kx－4k＋1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(1＋4k2)x2＋(8k－32k2)x＋64k2－32k－32＝0，
则x1＋x2＝＝8，解得k＝－1，
经检验k＝－1符合题意，则直线AB的方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0．
(2)由(1)得联立后的方程为5x2－40x＋64＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝，
所以|AB|＝
＝．
17．(15分)已知f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x．
(1)求f ′(1)，并写出f (x)的表达式；
(2)证明：f (x)≤x－1．
[解] (1)因为f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x，所以f ′(x)＝－2f ′(1)x＋1＋，
令x＝1，得f ′(1)＝－2f ′(1)＋1＋2，解得f ′(1)＝1．
将f ′(1)＝1代入f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x可得f (x)＝－x2＋x＋2ln x(x>0)．
(2)法一：构造F (x)＝f (x)－x＋1＝－x2＋2ln x＋1(x>0)，则F ′(x)＝－2x＋＝．
当00，则F (x)在(0，1)上单调递增；当x>1时，F ′(x)<0，则F (x)在(1，＋∞)上单调递减．
所以F (x)≤F (1)＝0，所以f (x)≤x－1．
法二：设g(t)＝t－ln t(t>0)，则g′(t)＝1－＝，
故当01时，g′(t)>0．
所以g(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(t)≥g(1)＝1．
从而f (x)＝－x2＋x＋2ln x＝－x2＋x＋ln x2＝x－g(x2)≤x－1．
18．(17分)(2024·广东茂名部分学校联考)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝CD，∠ADC＝120°，E为CD的中点，将△ADE沿AE翻折，使点D落到点P的位置，如图2．
(1)证明：PB⊥AE；
(2)当二面角P-AE B等于90°时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．
[解] (1)证明：如图，取AE的中点为O，连接PO，BO，BE，
由题意及题图1知，DA＝DE＝AB＝BE，
又PA＝DA，PE＝DE，所以PA＝PE，
所以PO⊥AE，BO⊥AE，
又PO∩BO＝O，PO 平面POB，BO 平面POB，
所以AE⊥平面POB，
因为PB 平面POB，所以AE⊥PB，即PB⊥AE．证毕．
(2)因为二面角P AE B等于90°，
所以平面PAE⊥平面ABCE，
又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，
所以OA，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AB＝2，由已知得∠APE＝120°，所以OP＝OB＝1，OA＝OE＝，
则P(0，0，1)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(－2，1，0)，E(－，0，0)，＝(，0，－1)，＝(，0，1)，＝(－，1，0)．
设平面PEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝－，所以平面PEC的一个法向量为n＝(1，，－)，
设PA与平面PEC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
即PA与平面PEC所成角的正弦值为．
19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角．若点P到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和．
[解] (1)由题意知a＋c＝b，
得a2＋2ac＋c2＝3b2，
由a2＝b2＋c2，得a2＋2ac＋c2＝3a2－3c2，
化简得a＝2c，
所以b＝c．
又因为椭圆过点P，所以＝1，
所以＝1，解得c＝1(舍负)，
所以a＝2，b＝，
即椭圆C的方程为＝1．
(2)由(1)知F (1，0)，
设直线l的方程为x＝my＋1(m>0)，
由点P到直线l的距离为，
得＝，解得m＝2(舍负)，
所以直线l：x＝2y＋1．
联立消去x整理得16y2＋12y－9＝0，Δ>0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
所以直线PM与直线PN的斜率之和为＝＝1－·＝0．
1/1滚动测试卷(五) 第一～八章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数[1＋(1＋a)i]i在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是( )
[A] (－1，＋∞) [B] (－∞，－1)
[C] (1，＋∞) [D] (－∞，1)
2．已知集合A＝{x|2x2＋x－1<0}，B＝{y|y＝lg (x2＋1)}，则A∩B＝( )
[A] (－1，0] [B]
[C] [D] [0，1)
3．已知向量a＝(3，－1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝( )
[A] 2 [B] 4
[C] 2 [D] 20
4．椭圆＋y2＝1(a>1)的离心率为，则a＝( )
[A] [B]
[C] [D] 2
5．记等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a7＝6，a12＝17，则S16＝( )
[A] 120 [B] 140
[C] 160 [D] 180
6．已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则( )
[A] E是一个半径为的圆
[B] E是一条与l相交的直线
[C] E上的点到l的距离均为
[D] E是两条平行直线
7．已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，则＝( )
[A] [B]
[C] 1 [D]
8．已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若|AB|＝|AF1|，且双曲线E的离心率为，则cos ∠BAF1＝( )
[A] － [B] －
[C] [D] －
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则( )
[A] C的虚轴长为2
[B] C的离心率为
[C] |PF|的最小值为2
[D] 直线PF的斜率不等于－
10．在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，点Q在抛物线C的准线上，则以下命题正确的是( )
[A] |PQ|＋|PF|的最小值是2
[B] |PQ|≥|PF|
[C] 当点P的纵坐标为4时，存在点Q，使得＝3
[D] 若△PQF是等边三角形，则点P的横坐标是3
11．曾有人说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星没有交汇的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点F (2，0)，直线l：x＝，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的．若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是( )
[A] 点P的轨迹方程是＝1
[B] 直线l1：＝1是“最远距离直线”
[C] 点P的轨迹与圆C：x2＋y2－2x＝0没有交点
[D] 平面上有一点A(－1，1)，则2|PA|＋3|PF|的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1＝0，圆C2：x2＋y2－2x－6y＋9＝0，直线l分别与圆C1和圆C2相切于M，N两点，则线段MN的长度为________．
13．已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
14．(2024·北京三模)已知双曲线C：－x2＝1，则C的离心率是________；若C的一条渐近线与圆D：(x－1)2＋y2＝1交于A，B两点，则＝________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·焦作市博爱县期末)已知半径为2的圆C的圆心在射线y＝x(x＞0)上，点A(－1，1)在圆C上．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点B(－1，0)且与圆C相切的直线方程．
16．(15分)(2024·通化市梅河口市期末)已知A，B是椭圆C：＝1上的两点，线段AB的中点P的坐标为(4，1)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求A，B两点间距离．
17．(15分)已知f (x)＝－f ′(1)x2＋x＋2ln x．
(1)求f ′(1)，并写出f (x)的表达式；
(2)证明：f (x)≤x－1．
18．(17分)(2024·广东茂名部分学校联考)如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝CD，∠ADC＝120°，E为CD的中点，将△ADE沿AE翻折，使点D落到点P的位置，如图2．
(1)证明：PB⊥AE；
(2)当二面角P-AE B等于90°时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．
19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F，椭圆C上的点到F的最大距离是短半轴长的倍，且椭圆过点P．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F的直线l与C相交于M，N两点，直线l的倾斜角为锐角．若点P到直线l的距离为，求直线PM与直线PN的斜率之和．
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