第5课时 古典概型与事件的相互独立性
[考试要求] 1．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．2．能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．3．能够结合古典概型，利用独立性计算概率．
考点一 古典概型
1．古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有______；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性____．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[典例1] (1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·河南商丘高三模拟)孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．
巩固迁移1 (1)(2024·徐州期末)将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
考点二 事件独立性的判断
概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与与B，与也都相互独立，P(B|A)＝________，P(A|B)＝________
提醒：(1)事件A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．
(2)P(AB)＝P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
(3)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
[典例2] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
[听课记录]
反思领悟 判断两个事件是否相互独立，一种方法是直接法，即由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响，若一事件的发生没有影响另一事件的发生，则两事件相互独立；另一种方法是定义法，即若满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立．
巩固迁移2 (2024·泰州月考)下列关于随机事件的说法错误的是( )
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
考点三 相互独立事件的概率
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
事件A，B相互独立 概率计算公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生 P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 P＝1－P()＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生 P＝P(AB)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
[典例3] 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
[听课记录]
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
[听课记录]
反思领悟 利用概率加法公式及乘法公式求概率关键是把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和或相互独立事件的积．
巩固迁移3 (2024·宁波调研)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为．四支箭投完，以得分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为________．
1．(2024·石嘴山惠农区期末)若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )
A． B．
C． D．
2．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A． B．
C． D．
3．(多选)(2024·吉林期末)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是( )
A．A与B为对立事件
B．A与B为相互独立事件
C．P(A∪B)＝
D．P(AB)＝
4．(2024·福州鼓楼区期末)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________．
1/1第5课时 古典概型与事件的相互独立性
[考试要求] 1．结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率．2．能够结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义．3．能够结合古典概型，利用独立性计算概率．
考点一 古典概型
1．古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
2．古典概型的概率公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝．
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
[典例1] (1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·河南商丘高三模拟)孪生素数(素数是只有1和自身因数的正整数)猜想是希尔伯特在1900年正式提出的23个问题之一，具体为：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，在不超过20的素数中随机选取2个不同的数，其中能够构成孪生素数的概率是( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)D [(1)画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝．故选B．
(2)不超过20的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个，
则在不超过20的素数中随机选取2个不同的数的取法种数为＝28，
记事件A表示“选取的2个数能够构成孪生素数”，
则事件A包含的样本点有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，共4个，
故抽取的2个数能够构成孪生素数的概率是P(A)＝＝．故选D．]
反思领悟 求样本空间中样本点个数的方法
(1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题．
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同；有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同．
(3)排列组合法：在求一些较复杂的样本点个数时，可利用排列或组合的知识．
巩固迁移1 (1)(2024·徐州期末)将扑克牌4种花色的K，Q共8张洗匀，若甲已抽到了2张K后未放回，则乙抽到2张Q的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8．现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为________．
(1)B (2) [(1)甲抽到了2张K后未放回，
则乙从余下6张牌中任取2张有种方法，
抽到2张Q有种方法，
∴乙抽到2张Q的概率为＝＝．故选B．
(2)从8张卡片中随机抽出3张，则样本空间中总的样本点数为＝56，
因为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，
所以要使抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等，
则抽出的3张卡片上的数字之和应为18，
则抽出的3张卡片上的数字的组合有8，7，3或8，6，4或7，6，5，共3种，
所以符合抽出的3张卡片上的数字之和为18的样本点共3个，
所以抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为．]
【教用·备选题】
(2025·天津和平高三模拟)一个盒子中装有4个编号依次为1，2，3，4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为Y．
(1)写出试验的样本空间；
(2)设事件A＝“两次取出球的编号之和小于4”，事件B＝“编号X[解] (1)由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．
(2)由题意可知事件A＝{(1，1)，(2，1)，(1，2)}，共3个结果，故P(A)＝，
事件B＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个结果，故P(B)＝＝，
事件AB包含的结果有(1，2)，故P(AB)＝．
考点二 事件独立性的判断
概念 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立
性质 若事件A与事件B相互独立，则A与与B，与也都相互独立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)
提醒：(1)事件A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率．
(2)P(AB)＝P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)．
(3)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
[典例2] 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
B [依题意，有放回地随机取两次，共有36种不同结果：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．
甲事件包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，共6个样本点．
乙事件包含(1，2)，(2，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(6，2)，共6个样本点．
丙事件包含(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，共5个样本点．
丁事件包含(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)，共6个样本点．
其中P(甲)＝＝，P(乙)＝＝，
P(丙)＝，P(丁)＝＝，
易知“甲、丙同时发生”包含的样本点为0个，“丙、丁同时发生”包含的样本点为0个，“乙、丙同时发生”包含的样本点为(6，2)，共1个，
∴P(乙丙)＝，又P(乙)P(丙)＝≠，
∴乙、丙不相互独立．
同理可知“甲、丁同时发生”包含的样本点为(1，6)，
∴P(甲丁)＝，又P(甲)P(丁)＝＝，
∴P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，
∴甲与丁相互独立．故选B．]
反思领悟 判断两个事件是否相互独立，一种方法是直接法，即由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响，若一事件的发生没有影响另一事件的发生，则两事件相互独立；另一种方法是定义法，即若满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A，B相互独立．
巩固迁移2 (2024·泰州月考)下列关于随机事件的说法错误的是( )
A．必然事件与任意事件独立
B．不可能事件与任意事件独立
C．两个概率大于0的互斥事件可以不独立
D．两个概率大于0的独立事件可以互斥
D [因为P(ΩA)＝P(A)，而P(Ω)P(A)＝1·P(A)＝P(A)，
因此P(ΩA)＝P(Ω)P(A)，故A正确；
P( A)＝P( )＝0，而P( )P(A)＝0·P(A)＝0，
因此P( A)＝P( )P(A)，故B正确；
设P(A)＞0，P(B)＞0，若A与B互斥，则AB＝ ，P(AB)＝0，
但P(A)P(B)＞0，因此P(AB)≠P(A)P(B)，故C正确；
若A与B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＞0，
因此AB≠ ，A与B一定不互斥，故D错误．故选D．]
考点三 相互独立事件的概率
与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表：
事件A，B相互独立 概率计算公式
A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B同时不发生 P()＝P()P()＝[1－P(A)]·[1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一个发生 P＝1－P()＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰有一个发生 P＝P(AB)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
[典例3] 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的正确率分别为，且两队每人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
[解] (1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B．
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)＝＝．
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率
P(B)＝＝．
故甲队总得分为3分与1分的概率分别为．
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D．
甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，
则P(C)＝＝，
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(D)＝＝．
由题意得事件C与事件D相互独立，
则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝＝．
反思领悟 利用概率加法公式及乘法公式求概率关键是把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和或相互独立事件的积．
巩固迁移3 (2024·宁波调研)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为，投中壶耳的概率为．四支箭投完，以得分多者赢．则乙赢得这局比赛的概率为________．
[由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
①第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，其概率为P1＝＝；
②第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，其概率为P2＝＝，
所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P1＋P2＝＝．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)小桐操场跑圈，一周2次，一次5圈或6圈．第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5，若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4，跑6圈的概率为0.6.若第一次跑6圈，则第二次跑5圈的概率为0.6，跑6圈的概率为0.4.小桐一周跑11圈的概率为________；若一周至少跑11圈为运动量达标，则连续跑4周，记达标周数为X，则期望E(X)＝________．
0.6 3.2 [由题意可知，小桐一周跑10圈或11圈或12圈，
小桐一周跑10圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
小桐一周跑11圈的概率为0.5×0.6＋0.5×0.6＝0.6，
小桐一周跑12圈的概率为0.5×0.4＝0.2，
一周至少跑11圈的概率为0.6＋0.2＝0.8，
则X～B(4，0.8)，
所以E(X)＝4×0.8＝3.2.]
1．(2024·石嘴山惠农区期末)若一枚质地均匀的骰子连续抛两次，则点数之和不小于8的概率是( )
A． B．
C． D．
C [一枚质地均匀的骰子连续抛两次，出现的点数情况有36种，
而点数之和不小于8的情况有15种，
则点数之和不小于8的概率是＝．
故选C．]
2．(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A． B．
C． D．
A [设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表：
乙 甲 A B C D E F
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F)
E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F)
F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F)
共36种情况．其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为＝．故选A．]
3．(多选)(2024·吉林期末)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚正面朝上”，事件B＝“第二枚正面朝下”，下列结论中正确的是( )
A．A与B为对立事件
B．A与B为相互独立事件
C．P(A∪B)＝
D．P(AB)＝
BD [依题意，试验的样本空间Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，
事件A＝{(正，正)，(正，反)}，事件B＝{(正，反)，(反，反)}，
事件A，事件B都含有“(正，反)”这一结果，
故P(AB)＝，且A与B不互斥，不对立，故A错误，D正确；
因为P(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以A与B为相互独立事件，故B正确；
因为A∪B＝{(正，正)，(正，反)，(反，反)}，
所以P(A∪B)＝，故C错误．
故选BD．]
4．(2024·福州鼓楼区期末)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”．现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________．
[甲、乙的所有可能情况用有序数组(a，b)表示：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，总共有36种，
符合条件的有(1，1)，(1，2)，(2，2)，(2，3)，(3，3)，(3，4)，(4，4)，(4，5)，(5，5)，(5，6)，(6，6)，共11种，所以他们“心有灵犀”的概率为．]
【教用·备选题】 1．(2024·即墨期末)投掷一枚质地均匀的硬币和一个质地均匀的骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数大于4”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是( ) A． B． C． D． D [由题意得事件A，B中至少有一个发生的对立事件是事件A，B都不发生， 而事件A不发生的概率为，事件B不发生的概率为， 所以事件A，B都不发生的概率为＝， 故事件A，B中至少有一个发生的概率是1－＝．故选D．] 2．(2024·巴音郭楞州期末)天气预报说，在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%．现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨，用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206．据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为( ) A． B． C． D． B [10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206，其中恰有两天下雨的为417，386，196，206，共4组， 故估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为＝． 故选B．] 3．(2024·合肥庐江县期末)定义：＝10 000a＋1 000b＋100c＋10d＋e，当五位数满足a＜b＜c，且c＞d＞e时，称这个五位数为“凸数”．由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为( ) A． B． C． D． D [由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个， 其中“凸数”有12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个， 从中任意抽取一个，其恰好为“凸数”的概率为P＝＝． 故选D．] 4．(多选)(2024·周口期末)设A，B，C是一个随机试验中的三个事件，且P(A)＝，P(B)＝，A与C互斥，则下列说法正确的是( ) A．若P(A＋B)＝，则P(AB)＝ B．若事件A，B相互独立，则P(AB)＝ C．P(AC)＝ D．P(A)＝ BD [因为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝， 所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝＝，故A错误； 因为事件A，B相互独立，P(A)＝，P(B)＝， 所以P(AB)＝P(A)P(B)＝，故B正确； 因为事件A与C互斥，故P(AC)＝0，故C错误； P(A)＝P(A)－P(AC)＝，故D正确．故选BD．] 5．(2024·锦州调研)分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M＝“至少有2枚正面朝上”，则与事件M相互独立的事件是( ) A．3枚硬币都正面朝上 B．有正面朝上的，也有反面朝上的 C．恰好有1枚反面朝上 D．至多有2枚正面朝上 B [分别抛掷3枚质地均匀的硬币， 则样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，共8个样本点， 事件M＝“至少有2枚正面朝上”， 则M＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}，共4个样本点， 故P(M)＝＝． 设事件A＝“3枚硬币都正面朝上”， 则A＝{(正，正，正)}， ∴P(A)＝，P(AM)＝， P(AM)≠P(A)P(M)，A错误； 设事件B＝“有正面朝上的，也有反面朝上的”， 则B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)}． ∴P(B)＝＝，P(BM)＝， ∴P(BM)＝P(M)P(B)，事件B与事件M相互独立，B正确； 设事件C＝“恰好有1枚反面朝上”， 则C＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}， ∴P(C)＝，P(CM)＝， P(CM)≠P(C)P(M)，C错误； 设事件D＝“至多有2枚正面朝上”， 则D＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，∴P(D)＝，P(DM)＝， P(DM)≠P(D)P(M)，D错误． 故选B．] 6．(多选)(2024·临沂期末)不透明盒子里装有除颜色外完全相同的2个黑球、3个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件A＝“取出的两个球是一个黑球、一个白球”，事件B＝“两个球中至多一个黑球”，事件C＝“两个球均为白球”，则( ) A．P(A)＝ B．P(A＋C)＝ C．P(AB)＝ D．P(B)＝P() AB [记3个白球为E，F，G，2个黑球为a，b，随机取出2个小球的样本点有10个，分别为： (E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)，(a，b)， 事件A对应的样本点有6个，分别为： (E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)， ∴P(A)＝＝，故A正确； 事件B对应的样本点有9个，分别为： (E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)， ∴P(B)＝， 事件C对应的样本点有3个，分别为：(E，F)，(E，G)，(F，G)， ∴P(C)＝，P()＝1－＝≠P(B)，故D错误； A＋C对应的样本点有9个，分别为： (E，F)，(E，G)，(E，a)，(E，b)，(F，G)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)， ∴P(A＋C)＝，故B正确； AB对应的样本点有6个，分别为： (E，a)，(E，b)，(F，a)，(F，b)，(G，a)，(G，b)， ∴P(AB)＝＝，故C错误．故选AB．] 7．(2024·陇南武都区期末)从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是________． [从2，4，5，7这4个数中一次随机抽取两个数的所有样本点有(2，4)，(2，5)，(2，7)，(4，5)，(4，7)，(5，7)，共6个， 所取两个数之和为9的样本点有(2，7)，(4，5)，共2个， 故所求概率P＝＝．] 8．(2025·上海模拟)某场篮球比赛中，运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率为________． 0．3 [运动员甲、乙罚球时命中的概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，每次结果相互独立，则两人同时命中的概率为P＝0.6×0.5＝0.3．] 9．(2024·长春期末)甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：每次两人上场比赛，第三人为裁判，一局结束后，败者下场作为裁判，原裁判上场与胜者比赛，按此规则循环下去，共进行4局比赛．三人决定由乙、丙先上场比赛，甲作为裁判． (1)第一局比赛开始前，丙提出由掷骰子决定谁先发球，连续抛掷一枚质地均匀的六面体骰子两次，记下骰子朝上的点数，若两次点数之和为6，则由乙发球，两次点数之和能被4整除，则由丙发球，用所学知识判断这个方法公平吗？并说明理由． (2)三人实力相当，在每局比赛中战胜对手的概率均为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局，求在四局比赛中甲当2局裁判的概率． [解] (1)连续掷骰子两次的样本点总数为36， 记“两次点数之和为6”为事件B，“两次点数之和能被4整除”为事件C， 则B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，即n(B)＝5， C＝{(1，3)，(3，1)，(2，2)，(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，(6，6)}， 即n(C)＝9， 所以P(B)＝，P(C)＝＝， 即由乙先发球的概率为，由丙先发球的概率为，故这个方法不公平． (2)用树状图列举每局当裁判的可能，一共8种． 其中甲当两局裁判的可能为6种， 所以在四局比赛中甲当2局裁判的概率为＝．
课后习题(六十三) 古典概型与事件的相互独立性
1．(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( )
A．A与B相互独立 B．A与C相互独立
C．A与C互斥 D．A与B互斥
AB [由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．故选AB．]
2．(苏教版必修第二册P287习题15.2T7改编)已知甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，则乙排在甲前面值班的概率是( )
A． B．
C． D．
C [法一：由题意，甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人的情况有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6种，其中乙排在甲前面值班的情况有(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，乙，甲)，共3种，故乙排在甲前面值班的概率为＝．故选C．
法二：甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，每天一人，共有＝6(种)等可能结果，设事件A＝“乙排在甲前面值班”，则事件A包含的可能结果为＝3(种)，所以事件A发生的概率P(A)＝＝．故选C．]
3．(人教B版选择性必修第二册P45例2改编)天气预报报道，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
C [设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为AB，
所以P(AB)
＝P(A)P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38．]
4．(苏教版必修第二册P286习题15.2T5改编)从n个正整数1，2，3，…，n中依次任意取出2个不同的数，若取出的这2个数之和等于5的概率为，则n的值为________．
8 [设(x，y)为取出的2个数的数对，x是第1个数，y是第2个数，且x≠y，则样本空间Ω所含样本点数为n(n－1)．设事件A为取出的这2个数之和等于5，则A＝{(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，
∴P(A)＝＝，即n2－n－56＝0，
解得n＝8(负值舍去)． ]
5．(2024·宁波奉化区期末)两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是( )
A． B．
C． D．
A [两名男生，一名女生排成一排合影，
样本点总数n＝＝6，
女生站在中间包含的样本点个数m＝＝2，
则女生站在中间的概率为P＝＝＝．故选A．]
6．(2024·牡丹江期末)已知事件A与事件B相互独立，且P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，则P(A＋B)＝( )
A．0.7 B．0.6
C．0.5 D．0.4
B [由题意事件A与事件B相互独立，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.2＋0.5－0.2×0.5＝0.6．故选B．]
7．(2024·重庆期末)掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件A：至少一个点数是奇数；事件B：点数之和是偶数；事件A的概率为P(A)，事件B的概率为P(B)，则1－P(A∩B)＝( )
A． B．
C． D．
D [掷两颗骰子，共有6×6＝36(种)可能，其中事件AB为：(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共9种，
故P(AB)＝＝，所以1－P(A∩B)＝1－＝．故选D．]
8．(多选)(2024·安庆怀宁县期末)连续掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，记事件A为“第一次出现2点”，事件B为“第二次的点数小于等于4点”，事件C为“两次点数之和为奇数”，事件D为“两次点数之和为9”，则下列说法正确的是( )
A．A与B不是互斥事件
B．B与D相互独立
C．A与B相互独立
D．A与C相互独立
ACD [如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A，B均发生，所以A与B不是互斥事件，故A正确；依题意P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝，P(D)＝＝，
又P(AB)＝＝＝P(A)P(B)，即A与B相互独立，故C正确；
P(AC)＝＝＝P(A)P(C)，即A与C相互独立，故D正确；
P(BD)＝＝≠P(B)P(D)，即B与D不相互独立，故B错误．
故选ACD．]
9．(2024·眉山仁寿县期末)一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是________．
[两次抽取的试验的样本空间Ω＝{11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44}，共16个样本点，两次抽取的卡片数字之和大于6的事件A＝{34，43，44}，共3个样本点，
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是P(A)＝．]
10．(2024·榆林期末)已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为__________．
[根据赛制，最少比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，因为甲、乙、丙三人实力相当，则每局比赛双方获胜的概率均为，
比赛进行4场，丙最终获胜，则后3场丙全胜，概率为2×＝；
比赛进行5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为
＋2×＋2×＝．
所以丙获胜的概率为＝．]
11．(2024·银川开学考试)甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球(袋子不透明，球除颜色外完全一样)．
(1)现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率；
(2)从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率．
[解] (1)根据题意，甲袋子中2个红球分别用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中红球用D表示，2个白球分别用E，F表示．从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种，
从中选出的2个球的颜色相同的有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)，共4种，
故选出的2个球的颜色相同的概率P＝．
(2)从6个球中任选2个球的所有可能结果为
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种，
从中选出2个球来自同一袋子的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共6种，所以选出的2个球来自同一袋子的概率P＝＝．
12．(2024·上海闵行区期中)已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是，事件B发生的概率是，事件C发生的概率是，求下列事件的概率，
(1)事件A，B，C只发生两个的概率；
(2)事件A，B，C至多发生两个的概率．
[解] (1)事件A，B，C只发生两个的概率为：
P(ABBC)＝＝．
(2)事件A，B，C至多发生两个的概率为：
P＝1－P(ABC)＝1－＝．
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