第8课时 二项分布、超几何分布与正态分布
[考试要求] 1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
考点一 n重伯努利试验与二项分布
1．两点分布
如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或0－1分布．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
2．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验及其概率
[典例1] (1)若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表：
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)D [(1)在某射手连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为＝．故选B．
(2)由题意可知，该批次每个机械元件使用寿命在30天以上的概率为，因此，从该批次机械元件中随机抽取3个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为P＝＝．]
反思领悟 n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
巩固迁移1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________．
[事件“甲恰好比乙多击中目标1次”分为“甲击中1次乙击中0次”“甲击中2次乙击中1次”“甲击中3次乙击中2次”三种情形，其概率P＝＝．]
二项分布
[典例2] (2025·济南模拟)某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位主编进行初审．若两位主编的初审都通过，则予以录用；若两位主编的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位主编的初审，则再由另外的两位主编进行复审，若两位主编的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位主编初审的概率均为，复审的稿件能通过各位主编复审的概率均为，且每位主编的评审结果相互独立．
(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
[解] (1)由题意可得投到该杂志社的1篇稿件初审直接被录用的概率P1＝＝．
投到该杂志社的1篇稿件初审没有被录用，复审被录用的概率P2＝＝．
故投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率P＝P1＋P2＝＝．
(2)由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，且X～B，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝．
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故E(X)＝3×＝．
反思领悟 (1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．
(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(3)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
巩固迁移2 (1)(多选)(2025·大连模拟)若随机变量X～B，下列说法正确的是( )
A．P(X＝3)＝
B．E(X)＝
C．E(3X＋2)＝22
D．D(3X＋2)＝20
(2)某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种．
①求每个坑不需要补种的概率；
②当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望．
(1)BCD [因为X～B，所以P(X＝3)＝·，故A错误；E(X)＝10×＝，故B正确；E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×＋2＝22，故C正确；D(X)＝10×＝，D(3X＋2)＝32D(X)＝9×＝20，故D正确．故选BCD．]
(2)[解] ①由题意可知，每个坑要补种的概率
P＝＝，
则每个坑不需要补种的概率为1－＝．
②易知X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B，
因此P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故E(X)＝4×＝2．
考点二 超几何分布
1．定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．
[典例3] 宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为．
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值．
[解] (1)由题知，共有(n＋6)个机房，抽取2个机房有种方法，其中全是小型机房有种方法，
因此全是小型机房的概率P＝＝，
解得n＝4．即n的值为4．
(2)X的可能取值为0，1，2，3．
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝．
则随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
反思领悟 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
巩固迁移3 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
[解] 随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
【教用·备选题】 某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件． (1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率； (2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测时次品的个数为X，求X的分布列及期望． [解] (1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则P＝＝． (2)X可能取值为0，1，2． 则P＝＝， P＝＝， P＝＝． 故X的分布列是 X012P
故E＝0×＋1×＋2×＝．
考点三 正态分布
1．正态曲线与正态分布
(1)我们称f (x)＝ (x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(2)曲线在x＝μ处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．
正态分布的概率计算
[典例4] (2025·湖北武汉模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)．若P(X<2)＝P(X>6)＝0.15，则P(2≤X<4)＝( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
B [∵P(X<2)＝P(X>6)＝0.15，
∴μ＝＝4．
又P(2≤X≤6)＝1－P(X<2)－P(X>6)＝0.7，
∴P(2≤X<4)＝P(2≤X≤6)＝0.35．]
反思领悟 解答本题的关键是：(1)正态曲线关于直线x＝μ＝4对称；(2)曲线与x轴之间的面积为1．
巩固迁移4 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：
甲：P(X>m＋1)>P(X
乙：P(X≤m)＝0.5；
丙：P(X≥m)＝0.5；
丁：P(m－1如果有且只有一个是假命题，那么该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [因为P(X≤m)＝0.5，P(X≥m)＝0.5均等价于μ＝m，由题意可得乙、丙均为真命题，且μ＝m，
对于甲：因为P(X>m＋1)＝P(XP(X对于丁：因为P(m－1P(m＋1 利用正态分布求容量(数)
[典例5] 汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共调查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 L，并且汽车的耗油量X服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量X∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9 L的汽车大约有________辆．
180 [由题意可知X～N(8，σ2)，故正态曲线以x＝8为对称轴．
又因为P(7≤X≤9)＝0.7，
故P(7≤X≤9)＝2P(8≤X≤9)＝0.7，
所以P(8≤X≤9)＝0.35，
而P(X≥8)＝0.5，
所以P(X>9)＝0.15，
故耗油量大于9 L的汽车大约有1 200×0.15＝180(辆)．]
反思领悟 本例求耗油量大于9 L的汽车辆数的关键是求耗油量大于9 L的概率．
巩固迁移5 (2025·青岛模拟)某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90＜X≤100)＝0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为( )
A．784 B．490
C．392 D．294
C [因为X～N(100，σ2)，且P(90＜X≤100)＝0.1，
所以P(100＜X≤110)＝P(90＜X≤100)＝0.1，
所以P(X＞110)＝0.5－P(100＜X≤110)＝0.5－0.1＝0.4，
又因为高一有学生980人，
所以该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为980×0.4＝392．
故选C．]
3σ原则的检验
[典例6] 3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多，某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出的零件内径(单位：μm)X服从正态分布N(105，36)．
(1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记ξ表示这100件零件中内径指标值位于区间[111，117]的产品件数，求E(ξ)；
(2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解] (1)由题意知，μ＝105，σ＝6，则111＝μ＋σ，117＝μ＋2σ．一件产品的质量指标值位于区间[111，117]的概率即为P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)．因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，所以P(μ＋σ≤X≤μ＋2σ)＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，所以ξ～B(100，0.135 9)，所以E(ξ)＝100×0.135 9＝13.59．
(2)X服从正态正布N(105，36)，由于P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，μ－3σ＝105－18＝87，μ＋3σ＝105＋18＝123，所以内径在[87，123]之外的概率约为0.002 7，为小概率事件，而86 [87，123]，且>0.002 7，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．
反思领悟 服从正态分布的随机变量取值落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 7，几乎不可能发生，称为小概率事件，依据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生可作出相应判断．
巩固迁移6 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解] (1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
故尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%，∴这批零件中不合格的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．
1．(人教A版选择性必修第三册P77练习T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．0.33 B．0.66
C．0.5 D．0.45
A [设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5，0.9)，所以P(X＝4)＝×0.94×0.1≈0.33．]
2．(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X [因为X～N(3，1)，所以正态曲线关于x＝3对称，且P(X>2c－1)＝P(X3．(2025·山东潍坊模拟)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)＝________．
[当X＝2时，P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，P(X＝3)＝＝，
则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝．]
4．(人教A版选择性必修第三册P80习题7.4T2改编)若某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是________．
0．409 6 [设事件A＝“恰好有一次未击中目标”，则P(A)＝×0.83×(1－0.8)＝0.409 6．]
【教用·备选题】 1．设随机变量X服从二项分布B，若P(X≥1)＝0.998 4，则D(X)＝( ) A．0.16 B．0.32 C．0.64 D．0.84 C [随机变量X服从二项分布B，若P(X≥1)＝0.998 4， 则P(X＝0)＝1－P(X≥1)＝1－0.998 4＝0.001 6＝， 则n＝4，则D(X)＝np(1－p)＝4×＝0.64． 故选C．] 2．(2024·内江月考)已知离散型随机变量X服从二项分布B，则P(X＝2)＝( ) A． B． C． D． A [因为X～B， 所以P(X＝2)＝＝． 故选A．] 3．已知随机变量X～B，若P(X＝k)最大，则D＝________． 24 [由题意知：P＝·0.26-k·0.8k， 要使P最大，则 解得4.6≤k≤5.6，故k＝5． 又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96， 故D＝D＝52D(X)＝24．] 4．已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球． (1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望； (2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P． [解] (1)X可能的取值为0，1，2，P＝，其中k＝0，1，2． 所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝． 故X的分布列为 X012P
故E＝0×＋1×＋2×＝． (2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球， 所以所求概率P＝＝．
课后习题(六十六) 二项分布、超几何分布与正态分布
1．(北师大版选择性必修第一册P229复习题六A组T3改编)已知随机变量X～B(4，p)，若E(X)＋D(X)＝，则P(X≥1)＝( )
A． B．
C． D．
B [因为E(X)＋D(X)＝，
所以4p＋4p(1－p)＝，
即(p－1)2＝，
因为0故P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－＝．]
2．(多选)(苏教版选择性必修第二册P145复习题T14改编)若袋子中有2个白球、3个黑球(球除了颜色不同，没有其他任何区别)，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球．取到白球记1分，取到黑球记0分，记4次取球的总分数为X，则( )
A．X～B B．P(X＝3)＝
C．E(X)＝ D．D(X)＝
BCD [由题意知，每次取到白球的概率为，取到黑球的概率为，由于取到白球记1分，取到黑球记0分，所以X为4次取球取到白球的个数，易知X～B，故A错误；P(X＝3)＝＝，故B正确；E(X)＝4×＝，故C正确；D(X)＝4×＝，故D正确．
故选BCD．]
3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )
A．0.477 B．0.628
C．0.954 D．0.977
C [∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，
∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]
4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．
[由题意得P(X＝2)＝＝．]
5．(2024·潍坊二模)已知随机变量X～N(3，σ2)，且P(X≥4)＝0.3，则P(X＞2)＝( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
C [由题意可知其均值为3，2和4关于3对称，
所以P(X≤2)＝P(X≥4)＝0.3，
因此P(X＞2)＝1－P(X≤2)＝0.7．故选C．]
6．(多选)(2025·辽宁沈阳高三模拟)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝
AB [由题意可知，P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，
D(X)＝＝，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，D(3X＋2)＝9D(X)＝2，故选AB．]
7．(2024·北海模拟)端午佳节，小明和小华各自带了一只肉粽子和一只蜜枣粽子．现在两人每次随机交换一只粽子给对方，则两次交换后，小明拥有两只蜜枣粽子的概率为( )
A． B．
C． D．
D [由题意，只能第一次两人交换相同的粽子，第二次小明用肉粽子换小华的蜜枣粽子，所以P＝＝．]
8．(多选)(2024·长春南关区月考)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球编号为1，2，3，4，5，6，4个白球编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是( )
A．恰有3个白球的概率为
B．取出的最大号码X服从超几何分布
C．设取出的黑球个数为Y，当Y＝2时，概率最大
D．若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大的概率为
ACD [对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为＝，故A正确；
对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，
故X不服从超几何分布，故B错误；
对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝＝，
P(Y＝4)＝＝，显然当Y＝2时，概率最大，故C正确；
对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，
其概率为＝，故D正确．故选ACD．]
9．(2024·上海青浦区模拟)某区学生参加模拟大联考，假如联考的数学成绩服从正态分布，其总体密度函数为f (x)＝ ，且P(70≤X≤100)＝0.7，若参加此次联考的学生共有8 000人，则数学成绩超过100分的人数大约为________．
1 200 [因为总体密度函数为f (x)＝ ，则μ＝85，
由P(70≤X≤100)＝0.7得P(X>100)＝＝0.15，
所以超过100分的人数大约为8 000×0.15＝1 200．]
10．(2024·沈阳期末)从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品数，则E(X)＝________．
[X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．]
11．(2024·哈尔滨道里区期末)某防护用品生产厂生产的综合过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97，8.1×10-5)(该厂防毒面具中综合过滤件的滤烟效率需要达到不低于95%的标准)．
(1)某质检员随机从生产线抽检10只产品，测量出一只产品的滤烟效率为93%．他立即要求停止生产，检查设备和工人工作状况．请你依据所学知识，判断该质检员要求是否合理，并简要说明判断的依据；
(2)该工厂将滤烟效率达到95.2%以上的综合过滤件定义为“优质品”．
①求该生产线生产的一只综合过滤件为“优质品”的概率；
②该企业生产了1 000只这种综合过滤件，且每只产品相互独立，记X为这1 000只产品中“优质品”的件数，当X为多少件时可能性最大(即概率最大)
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
[解] (1)质检员的要求合理，理由如下：
由已知过滤件的滤烟效率服从正态分布N(0.97，8.1×10-5)，
则σ2＝8.1×10-5＝(9×10-3)2，得σ＝9×10-3＝0.009，
所以0.93＜0.97－0.009×3＝0.943，
由3σ原则得，生产的产品中滤烟效率在3σ以外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应停止生产．
(2)①设Y为“综合过滤件滤烟效率”，
则一件过滤件为“优质品”的概率为P(Y＞0.952)＝P(Y＞0.97－2×0.009)＝1－≈0.977 25．
②依题意得X～B(1 000，0.977 25)，记n＝1 000，p＝0.977 25，
则P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，103)，
要使可能性最大，
则
即
所以1 001p－1≤k≤1 001p，即977.23≤k≤978.23，
所以k＝978，所以当X为978件时可能性最大．
12．(2025·广州模拟)某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望；
(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望；
(3)如果你是商场老板，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．
[解] (1)若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为＝，
因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B，
所以X的所有可能取值为0，1，2，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝2×＝．
(2)若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，
则P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝，
所以Y的分布列为
Y 0 1 2
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＝．
(3)第(1)(2)两问的数学期望相等，
第(1)问中两次中奖的概率比第(2)问的小，即<，
第(1)问不中奖的概率比第(2)问小，即<．
回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式进行抽奖．
回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖．
1/1第8课时 二项分布、超几何分布与正态分布
[考试要求] 1．理解两点分布、二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题．2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．
考点一 n重伯努利试验与二项分布
1．两点分布
如果P(A)＝__，则P()＝1－p，那么X的分布列为
X 0 1
P 1－p p
我们称X服从两点分布或__________．
提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．
2．n重伯努利试验与二项分布
(1)n重伯努利试验
把只包含____可能结果的试验叫做伯努利试验．
将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
(2)二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________，k＝0，1，2，…，n．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～____________．
(3)两点分布与二项分布的均值、方差
①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝____________．
②若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝______________．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
n重伯努利试验及其概率
[典例1] (1)若某射手每次射击击中目标的概率均为，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有两次击中目标的概率为( )
A． B．
C． D．
(2)机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如表：
使用时间/天 10～20 21～30 31～40 41～50 51～60
个数 10 40 80 50 20
若以频率估计概率，现从该批次机械元件中随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 n重伯努利试验概率求解的策略
(1)先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．
(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．
巩固迁移1 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，他们每次射击是否击中目标互不影响，则甲恰好比乙多击中目标1次的概率为________．
二项分布
[典例2] (2025·济南模拟)某杂志社对投稿的稿件要进行评审，评审的程序如下：先由两位主编进行初审．若两位主编的初审都通过，则予以录用；若两位主编的初审都不通过，则不予录用；若恰能通过一位主编的初审，则再由另外的两位主编进行复审，若两位主编的复审都通过，则予以录用，否则不予录用．假设投稿的稿件能通过各位主编初审的概率均为，复审的稿件能通过各位主编复审的概率均为，且每位主编的评审结果相互独立．
(1)求投到该杂志社的1篇稿件被录用的概率；
(2)记X表示投到该杂志社的3篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列及期望．
[听课记录]
反思领悟 (1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．
(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．
(3)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．
巩固迁移2 (1)(多选)(2025·大连模拟)若随机变量X～B，下列说法正确的是( )
A．P(X＝3)＝
B．E(X)＝
C．E(3X＋2)＝22
D．D(3X＋2)＝20
(2)某种植户对一块地上的n(n∈N*)个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种．
①求每个坑不需要补种的概率；
②当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望．
考点二 超几何分布
1．定义
一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的均值
若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝．
[典例3] 宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市．为了统计智算中心的算力，现从全市n个大型机房和6个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为．
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和均值．
[听课记录]
反思领悟 (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列．
(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．
巩固迁移3 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．
考点三 正态分布
1．正态曲线与正态分布
(1)我们称f (x)＝ (x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数)为正态密度函数，称其图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为________________．特别地，当μ＝__，σ＝__时，称随机变量X服从标准正态分布．
2．正态曲线的特点
(1)曲线是单峰的，它关于直线______对称；
(2)曲线在______处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
3．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈_____________；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈_____________；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈_____________．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
4．正态分布的均值与方差
若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝____，D(X)＝_______．
正态分布的概率计算
[典例4] (2025·湖北武汉模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)．若P(X<2)＝P(X>6)＝0.15，则P(2≤X<4)＝( )
A．0.3 B．0.35
C．0.5 D．0.7
[听课记录]
反思领悟 解答本题的关键是：(1)正态曲线关于直线x＝μ＝4对称；(2)曲线与x轴之间的面积为1．
巩固迁移4 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，下列四个命题：
甲：P(X>m＋1)>P(X乙：P(X≤m)＝0.5；
丙：P(X≥m)＝0.5；
丁：P(m－1如果有且只有一个是假命题，那么该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
利用正态分布求容量(数)
[典例5] 汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共调查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 L，并且汽车的耗油量X服从正态分布N(8，σ2)，已知耗油量X∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9 L的汽车大约有________辆．
[听课记录]
反思领悟 本例求耗油量大于9 L的汽车辆数的关键是求耗油量大于9 L的概率．
巩固迁移5 (2025·青岛模拟)某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90＜X≤100)＝0.1，则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为( )
A．784 B．490
C．392 D．294
3σ原则的检验
[典例6] 3D打印技术在精密仪器制作中应用越来越多，某企业向一家科技公司租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．已知这台3D打印设备打印出的零件内径(单位：μm)X服从正态分布N(105，36)．
(1)若该台3D打印设备打印了100件这种零件，记ξ表示这100件零件中内径指标值位于区间[111，117]的产品件数，求E(ξ)；
(2)该科技公司到企业安装调试这台3D打印设备后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
反思领悟 服从正态分布的随机变量取值落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002 7，几乎不可能发生，称为小概率事件，依据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生可作出相应判断．
巩固迁移6 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．
1．(人教A版选择性必修第三册P77练习T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( )
A．0.33 B．0.66
C．0.5 D．0.45
2．(人教A版选择性必修第三册P87习题7.5T2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X>2c－1)＝P(X3．(2025·山东潍坊模拟)某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X表示选出女生的人数，则P(X≥2)＝________．
4．(人教A版选择性必修第三册P80习题7.4T2改编)若某射手每次射击击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是________．
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