第3课时 一元线性回归模型及其应用
[考试要求] 1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
考点一 成对数据的相关性
1．变量的相关关系
两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关或曲线相关．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
3．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算式
r＝
＝．
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为[－1，1]；
②当r>0时，成对样本数据正相关；
③当r<0时，成对样本数据负相关；
④当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
[典例1] (1)(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是( )
A B
C D
(2)(2022·全国乙卷节选)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，=＝1.615 8，＝0.247 4．
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)．
附：样本相关系数r＝≈1.377．
(1)A [观察题干图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，|r|最大．故选A．]
(2)[解] ①样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值＝＝0.06，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39．
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39 m3．
②r＝
＝
＝
＝≈≈0.97．
反思领悟 判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)经验回归方程＝x＋中：>0时，正相关；<0时，负相关．
巩固迁移1 (1)(2025·凉山州模拟)调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示的散点图，其中身高x和体重y的样本相关系数r＝0.825 5，则下列说法正确的是( )
A．学生身高和体重没有相关性
B．学生身高和体重正相关
C．学生身高和体重负相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.825 5
(2)(2024·福建一模)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．1
C．－ D．
(1)B (2)A [(1)由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，所以学生身高和体重具有相关性，A不正确；
又身高x和体重y的样本相关系数为r＝0.825 5，样本相关系数r＞0，
所以学生身高和体重呈正相关，B正确，C不正确；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的样本相关系数不一定是0.825 5，D不正确．故选B．
(2)∵这组样本数据的所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，
∴这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其样本相关系数是－1．故选A．]
考点二 回归模型
一元线性回归模型与最小二乘法
(1) 一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差．如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
(2)最小二乘法
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中
＝，＝．
[常用结论]
(1)经验回归直线过点()．
(2)求时，常用公式＝．
一元线性回归模型
[典例2] 某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年乘客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2017年～2024年)每年航班正点率x%和每年乘客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
)2
600 592 43 837.2 93.8
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)该市航空公司预计2026年航班正点率为84%，利用(1)中的经验回归方程，估算2026年乘客对该市航空公司投诉的次数．
[解] (1)＝＝74，
则＝＝＝－6，
所以＝＝74＋6×75＝524，
所以＝－6x＋524．
(2)当x＝84时，＝20，所以估算2026年乘客对该市航空公司投诉的次数为20次．
反思领悟 (1)求经验回归方程的步骤
(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值．
巩固迁移2 某商家经销某种玩具，统计了最近5个月销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若y与x线性相关，且经验回归方程为＝－0.6x＋，则下列说法不正确的是( )
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当x＝5时，残差为0.2
C．可以预测当x＝6时，销量约为2.1万只
D．经验回归方程＝－0.6x＋中＝5.7
B [对于选项A，从数据看y随x的增大而减小，所以变量y与x负相关，故A正确；
对于选项BD，由表中数据知＝＝3.9，
所以样本点中心为(3，3.9)，将样本点中心(3，3.9)代入＝－0.6x＋中得＝3.9＋1.8＝5.7，
所以经验回归方程为＝－0.6x＋5.7，
所以当x＝5时，＝－0.6×5＋5.7＝2.7，＝2.5－2.7＝－0.2，故B错误，D正确；
对于选项C，当x＝6时，销量约为＝－0.6×6＋5.7＝2.1(万只)，故C正确．
故选B．]
非线性回归模型
[典例3] (2025·无锡新吴区模拟)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：
＝，＝－，
＝55，＝979，＝390，＝1 221，
＝4 607.9．
[解] (1)由散点图可知，y＝c＋dx2适宜作为企业利润y关于年份代码x的经验回归方程类型．
(2)由题意得：＝＝×390＝78，
＝＝＝＝0.85，
＝－×＝78－0.85×11＝68.65，
所以y关于x的经验回归方程为＝68.65＋0.85x2．
(3)在(2)中求得经验回归方程＝68.65＋0.85x2中，
令x＝6，得＝68.65＋0.85×62＝99.25，
所以估计2025年的企业利润为99.25亿元．
反思领悟 本例(1)由散点图直接得结论；本例(2)通过整体代换思想把x2看作x利用最小二乘法求出与的值，可得y关于x的经验回归方程；本例(3)利用(2)中求得的经验回归方程，取x＝6求解y值即可．
巩固迁移3 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损．某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型y＝c1ec2x，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①c2＝－0.18；②＝10，令u＝ln y，＝0.35，则经验回归方程应为____________．
＝e2.15-0.18x [因为回归模型y＝c1ec2x，且c2＝－0.18，则y＝c1e-0.18x，两边同时取对数，
可得ln y＝ln (c1e-0.18x)＝ln c1－0.18x，
令u＝ln y，此时u＝ln c1－0.18x，
因为＝0.35，
所以ln c1＝0.35＋0.18×10＝2.15，即c1＝e2.15，
则＝e2.15·e-0.18x＝e2.15-0.18x．]
考点三 回归效果分析
刻画回归效果的方式
(1)残差图法
在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高．
(2)残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得的差称为残差．
(3)利用R2刻画拟合效果
R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差．
[典例4] (2025·湖南师大附中模拟)某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到下表：
x 5 6 7 8 9
y 8 6 4.5 3.5 3
根据表中数据可得经验回归方程＝－1.25x＋13.75，以下说法正确的是( )
A．x，y具有负相关关系，样本相关系数r＝－1.25
B．x每增加一个单位，y平均减少13.75个单位
C．第二个样本点对应的残差2＝0.25
D．第三个样本点对应的残差3＝－0.5
D [对于A选项，样本相关系数绝对值不大于1，A不正确；
对于B选项，由经验回归方程知，x每增加一个单位，y平均减少 1.25个单位，B不正确；
对于C选项，第二个样本点对应的残差2＝6－(－1.25×6＋13.75)＝－0.25，C不正确；
对于D选项，第三个样本点对应的残差3＝4.5－(－1.25×7＋13.75)＝－0.5，D正确．]
反思领悟 检验回归模型的拟合效果的两种方法
(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．
(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．
巩固迁移4 如图是某企业2018年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2018～2024．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的经验回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用决定系数说明经验回归方程预报的效果．
参考数据：＝54，)(yi－)＝21，≈3.74，＝．
[解] (1)由折线图中的数据得＝54，
＝
＝
＝．
所以＝＝54－×4＝51，所以y关于t的经验回归方程为＝t＋＝t＋51．将2025年对应的年份代码t＝8代入得＝×8＋51＝57，所以预测2025年该企业污水净化量约为57吨．
(2)因为R2＝1－＝1－＝0.875，与1接近，
说明经验回归方程预报的效果是良好的．
1．(多选)在如图所示的散点图中，若去掉点P，则下列说法错误的是( )
A．样本相关系数r变大
B．变量y与变量x的相关程度变强
C．变量y与变量x呈现正相关关系
D．变量y与变量x的相关程度变弱
ACD [由散点图知，变量y与变量x呈现负相关关系，即r<0，故C错误．去掉点P后，变量y与变量x的线性相关程度变强，|r|更接近1，所以r变小，故A错误，B正确，D错误．故选ACD．]
2．(人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2)根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，对应的残差如图所示．模型误差( )
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
C [用一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，根据对应的残差图，残差的均值E(e)＝0可能成立，但明显残差图的x轴上方的数据更分散，D(e)＝σ2不满足一元线性回归模型，正确的只有选项C．]
3．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2改编)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高是________cm．(结果精确到整数)
168 [当x＝175时，＝0.81x＋25.82＝0.81×175＋25.82≈168．]
4．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方程为＝2.5x＋2，则实数a的值为________．
x 2 3 4 5 6
y 6.5 10 11.5 a 18.5
13.5 [由题意可知，＝＝4，
因为经验回归直线一定过样本点中心()，
所以＝2.5×4＋2＝12，
所以×(6.5＋10＋11.5＋a＋18.5)＝12，
解得a＝13.5．]
【教用·备选题】 1．(2025·四川成都模拟)某老师为了了解数学学习成绩得分y(单位：分)与每天数学学习时间x(单位：分钟)是否存在线性关系，搜集了100组数据，并据此求得y关于x的经验回归方程为＝x＋56．若一位同学每天数学学习时间约80分钟，则可估计这位同学数学成绩为( ) A．106 B．122 C．136 D．140 C [由题设可得＝＝112，所以112＝×56＋56，故＝1，所以＝x＋56， 故当x＝80时，＝80＋56＝136．故选C．] 2．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是( ) A．r2＜r4＜0＜r3＜r1 B．r4＜r2＜0＜r1＜r3 C．r4＜r2＜0＜r3＜r1 D．r2＜r4＜0＜r1＜r3 A [由给出的四组数据的散点图可以看出， 题图1和题图3是正相关，样本相关系数大于0， 题图2和题图4是负相关，样本相关系数小于0， 题图1和题图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于－1， 由此可得r2＜r4<0＜r3＜r1．故选A．] 3．某校对学生记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表： 记忆力x25689判断力y78101218
则y关于x的经验回归方程为( ) (附：＝ ，＝－) A．＝－1.4x＋19.4 B．＝1.4x＋2.6 C．＝1.4x－2.6 D．＝－1.4x－19.4 B [由题表中数据知，随着x的增大，y增大，所以x与y正相关，排除AD，又＝＝11，由经验回归直线过样本点中心(6，11)，代入验证知B项正确．故选B．] 4．(2024·济宁期末)已知两个变量x和y之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组样本数据，并利用最小二乘法求得的经验回归方程是y＝0.28x＋0.16，其样本相关系数是r1，由于某种原因，其中一个数据丢失，将其记为m，具体数据如下表所示： x12345y0.50.6m1.41.5
若去掉数据(3，m)后，剩下的数据也成线性相关关系，其样本相关系数是r2，则( ) A．r1＝r2 B．r1＞r2 C．r1＜r2 D．r1，r2的大小关系无法确定 A [由题表可知，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3， 因为经验回归直线y＝0.28x＋0.16过点(＝0.28×3＋0.16＝1， 所以m＝5×1－0.5－0.6－1.4－1.5＝1， 则去掉(3，1)之前， r1＝ ＝， 因为(3，1)为样本点中心，所以去掉(3，1)后，不变， 则r2＝ ＝， 所以r1＝r2．故选A．] 5．(2025·安徽合肥联考模拟)为了反映城市的人口数量x与就业压力指数y之间的变量关系，研究人员选择使用非线性回归模型y＝·对所测数据进行拟合，并设z＝ln y，得到的数据如表所示，则c＝________． x46810z2c56
3 [＝＝，依题意，z＝ln y＝ln ＝x－， 而经验回归直线＝x－过点， 故＝， 解得c＝3．] 6．(2024·佛山顺德区月考)现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi，yi分别表示第i个样本的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，构造向量a＝(x1－，x2－，…，x20－)，b＝(y1－，y2－，…，y20－)，其中＝＝，并计算得＝60，＝1 200，＝4 400，|a|＝9，|b|＝100，由人教A版选择性必修第三册教材中的知识，我们知道n对数据的样本相关系数r＝cos 〈a，b〉，则上述数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的样本相关系数r＝________． [因为＝60，＝1 200，所以＝60， 根据向量夹角公式，得r＝cos 〈a，b〉＝， 可得a·b＝)， 所以) ＝) ＝ ＝ ＝4 400－20×3×60＝800， 所以r＝cos 〈a，b〉＝＝＝．]
课后习题(六十九) 一元线性回归模型及其应用
1．(人教A版选择性必修第三册P103习题8.1T1改编)已知两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系依次是( )
A．①②③ B．②③①
C．②①③ D．①③②
D [第一个散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，是正相关；第三个散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，是负相关；第二个散点图中的点的分布没有什么规律，是不相关．]
2．(人教B版选择性必修第二册P115练习B T2改编)某冷饮店日盈利y(单位：百元)与当天气温x(单位：℃)之间有如下数据：
x/℃ 15 20 25 30 35
y/百元 1 2 2 4 5
已知y与x之间具有线性相关关系，则y与x的经验回归方程是( )
A．＝0.2x－2 B．＝0.2x－2.2
C．＝0.2x＋2 D．＝0.2x＋2.2
B [经验回归直线必过样本点中心，由题意得＝＝25，
＝＝2.8，结合选项可知，2.8＝0.2×25－2.2，即y与x的经验回归方程是＝0.2x－2.2．故选B．]
3．(多选)(人教A版选择性必修第三册P120习题8.2T2改编)已知变量x，y的取值情况如表所示，画出散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方程为＝0.95x＋2.5，则下列说法正确的是( )
x 0 1 2 3 4
y 2.3 4.3 4.4 4.8 m
A．m的值为6.2
B．经验回归直线必过点(2，4.4)
C．样本点(4，m)处的残差为0.1
D．将此表中的数据(2，4.4)去掉后，样本相关系数r不变
ABD [由题意可知，＝×(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝×(2.3＋4.3＋4.4＋4.8＋m)＝×(15.8＋m)，所以样本点中心为，将代入＝0.95x＋2.5，可得＝0.95×2＋2.5，解得m＝6.2，故A正确；由m＝6.2，得样本点中心为(2，4.4)，所以经验回归直线必过点(2，4.4)，故B正确；当x＝4时，＝0.95×4＋2.5＝6.3，由m＝6.2，得样本点(4，6.2)处的残差为6.2－6.3＝－0.1，故C错误；因为＝4.4－4.4＝0，由样本相关系数的公式知，r＝，所以将此表中的数据(2，4.4)去掉后，样本相关系数r不变，故D正确．故选ABD．]
4．(苏教版选择性必修第二册P187本章测试T6改编)动力电池作为新能源汽车的核心部件，在新能源整车成本中占比较高，而碳酸锂又是动力电池的核心原料．从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高．如下表所示是2024年某企业前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：
月份代码x 1 2 3 4 5
碳酸锂价格y(万元/kg) 0.5 0.6 1 m 1.5
根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为＝0.28x＋，根据数据计算出在样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则m＝________．
1．4 [由题意，样本点(5，1.5)处的残差为－0.06，则1.5－(0.28×5＋)＝－0.06，解得＝0.16．
由题表数据可得，＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(0.5＋0.6＋1＋m＋1.5)＝，
则＝0.28×3＋0.16，解得m＝1.4．]
5．(2025·成都模拟)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i∈N*)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i∈N*)，得散点图2．r1表示变量x，y之间的样本相关系数，r2表示变量u，v之间的样本相关系数，则下列说法正确的是( )
A．变量x与y呈现正相关，且|r1|＜|r2|
B．变量x与y呈现负相关，且|r1|＞|r2|
C．变量x与y呈现正相关，且|r1|＞|r2|
D．变量x与y呈现负相关，且|r1|＜|r2|
C [根据题设，变量x，y的散点图中，
y随着x的增大而增大，所以y与x呈现正相关；
再分别观察两个散点图，变量x和y的散点图相对于变量u 和v的散点图而言，点更加集中，相关性更好，所以|r1|＞|r2|．
故选C．]
6．(2024·重庆长寿区期末)设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的经验回归方程为＝0.84x－86.71．若该中学女生的平均身高为160 cm，则该中学女生的平均体重的估计值是( )
A．47.69 kg B．48.69 kg
C．57.69 kg D．58.69 kg
A [经验回归方程为＝0.84x－86.71，令x＝160，得y＝0.84×160－86.71＝47.69，
所以该中学女生的平均体重的估计值是47.69 kg．故选A．]
7．(2024·内江东兴区月考)相关变量的样本数据如下表，
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 a 5.9
经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得经验回归方程为＝0.5x＋2.3，下列说法正确的是( )
A．x增加1时，y一定增加2.3
B．变量x与y负相关
C．当y为6.3时，x一定是8
D．a＝5.2
D [根据经验回归方程＝0.5x＋2.3知，x增加1时，估计y增加0.5，故A错误；
由＝0.5x＋2.3知，变量x与y正相关，故B错误；
y＝6.3时，0.5x＋2.3＝6.3，解得x＝8，估计x的值为8，故C错误；
＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋a＋5.9)＝，
代入经验回归方程中，则＝0.5×4＋2.3，解得a＝5.2，故D正确．
故选D．]
8．(2024·泰安期末)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽试验，由试验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，得到下面的散点图．由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a－bx B．y＝a＋b
C．y＝a＋bex-2 D．y＝
B [由散点图知，各个点在一条曲线附近，随着温度的升高，发芽率逐渐增大，而增长速度越来越慢，
对于A，y＝a－bx的图象是直线，不符合题意；
对于B，当b＞0时，y＝a＋b是增函数，增长速度越来越慢，适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型，符合题意；
对于C，当b＞0时，y＝a＋bex-2是增函数，增长速度越来越快，不符合题意；
对于D，y＝a＋是减函数，不符合题意．
故选B．]
9．(多选)(2024·长沙适应性考试)自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．如图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为1＝－4.0x＋68.5，决定系数为＝0.99；根据非线性回归模型得到经验回归方程为2＝132.9e-0.163x，决定系数为＝0.99，则下列说法正确的是( )
A．由散点图可知，大气压与海拔负相关
B．由方程1＝－4.0x＋68.5可知，海拔每升高1千米，大气压必定降低4.0 kPa
C．由方程1＝－4.0x＋68.5可知，样本点(11，22.6)的残差为－1.9
D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程＝132.9e-0.163x的预报效果更好
ACD [对于A，由题图知，海拔越高，大气压越小，所以大气压与海拔负相关，故A正确；
对于B，经验回归直线得到的数据为估计值，而非精确值，故B错误；
对于C，当x＝11时，1＝－4.0×11＋68.5＝24.5，又由散点图知观测值为22.6，所以样本点(11，22.6)的残差为22.6－24.5＝－1.9，故C正确；
对于D，随着海拔的增加，大气压越来越小，但不可能为负数，因此方程2＝132.9e-0.163x的预报效果更好，故D正确．故选ACD．]
10．(2025·重庆沙坪坝区校级模拟)已知成对样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2)中x1，x2，…，xn不全相等，且所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组成对样本数据的样本相关系数r＝________，其决定系数R2＝________．
－1 1 [因为所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，
所以这组样本数据完全负相关，所以r＝－1，R2＝1．]
11．(2025·武汉模拟)随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2024年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计．
年月 2024年 8月 2024年 9月 2024年 10月 2024年 11月 2024年 12月 2025年 1月
月份编号x 1 2 3 4 5 6
销售金额y/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若y与x的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
(1)试求变量y与x的样本相关系数r(结果精确到0.01)；
(2)试求y关于x的经验回归方程，并据此预测2025年2月份该公司的销售金额．
附：经验回归方程＝x＋，其中＝，＝－，
样本相关系数r＝．
参考数据：＝2 463.4，＝20．
[解] (1)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5，
＝×(15.4＋25.4＋35.4＋85.4＋155.4＋195.4)＝85.4，
＝17.5，
r＝
＝
＝≈0.96．
(2)由题意＝≈38.3，
＝＝85.4－3.5×38.3＝－48.65，
所以y关于x的经验回归方程为＝38.3x－48.65，
所以预测2025年2月份该公司的销售金额为＝38.3×7－48.65＝219.45(万元)．
1/1第3课时 一元线性回归模型及其应用
[考试要求] 1．了解样本相关系数的统计含义．2．了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法．3．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．
考点一 成对数据的相关性
1．变量的相关关系
两个变量______，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．
2．相关关系的分类
(1)按变量间的增减性分为__相关和__相关．
①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现____的趋势；
②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现____的趋势．
(2)按变量间是否有线性特征分为____相关和______相关或曲线相关．
①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们称这两个变量线性相关；
②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是____相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．
3．相关关系的刻画
(1)散点图：成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．
(2)样本相关系数r的计算式
r＝___________＝___________．
(3)样本相关系数r的性质
①样本相关系数r的取值范围为____________；
②当r>0时，成对样本数据__相关；
③当r<0时，成对样本数据__相关；
④当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近__时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
提醒：当两个变量的样本相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．
[典例1] (1)(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是( )
A B
C D
(2)(2022·全国乙卷节选)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得＝0.038，=＝1.615 8，＝0.247 4．
①估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
②求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)．
附：样本相关系数r＝≈1.377．
[听课记录]
反思领悟 判定两个变量正、负相关的方法
(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
(2)样本相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．
(3)经验回归方程＝x＋中：>0时，正相关；<0时，负相关．
巩固迁移1 (1)(2025·凉山州模拟)调查某校高三学生的身高x和体重y得到如图所示的散点图，其中身高x和体重y的样本相关系数r＝0.825 5，则下列说法正确的是( )
A．学生身高和体重没有相关性
B．学生身高和体重正相关
C．学生身高和体重负相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的样本相关系数一定是0.825 5
(2)(2024·福建一模)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝－x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A．－1 B．1
C．－ D．
考点二 回归模型
一元线性回归模型与最小二乘法
(1) 一元线性回归模型
称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为______或响应变量，x称为自变量或________，__称为截距参数，__称为斜率参数；e是__与________之间的随机误差．如果e＝__，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．
(2)最小二乘法
将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中
＝，＝．
[常用结论]
(1)经验回归直线过点()．
(2)求时，常用公式＝．
一元线性回归模型
[典例2] 某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年乘客投诉次数y(单位：次)的影响，对近8年(2017年～2024年)每年航班正点率x%和每年乘客投诉次数y的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值．
)2
600 592 43 837.2 93.8
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)该市航空公司预计2026年航班正点率为84%，利用(1)中的经验回归方程，估算2026年乘客对该市航空公司投诉的次数．
[听课记录]
反思领悟 (1)求经验回归方程的步骤
(2)利用经验回归方程进行预测，把经验回归方程看作一次函数，求函数值．
巩固迁移2 某商家经销某种玩具，统计了最近5个月销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y/万只 5 4.5 4 3.5 2.5
若y与x线性相关，且经验回归方程为＝－0.6x＋，则下列说法不正确的是( )
A．由题中数据可知，变量y与x负相关
B．当x＝5时，残差为0.2
C．可以预测当x＝6时，销量约为2.1万只
D．经验回归方程＝－0.6x＋中＝5.7
非线性回归模型
[典例3] (2025·无锡新吴区模拟)近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2020年至2024年的利润(单位：亿元)，得到如图所示的散点图．其中2020年至2024年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx和y＝c＋dx2哪一个适宜作为企业利润y(单位：亿元)关于年份代码x的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)中的判断结果，建立y关于x的经验回归方程；
(3)根据(2)的结果，估计2025年的企业利润．
参考公式及数据：
＝，＝－，
＝55，＝979，＝390，＝1 221，
＝4 607.9．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)由散点图直接得结论；本例(2)通过整体代换思想把x2看作x利用最小二乘法求出与的值，可得y关于x的经验回归方程；本例(3)利用(2)中求得的经验回归方程，取x＝6求解y值即可．
巩固迁移3 汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损．某实验室通过实验测得行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型y＝c1ec2x，通过实验数据分析与计算得到如下结论：①c2＝－0.18；②＝10，令u＝ln y，＝0.35，则经验回归方程应为____________．
考点三 回归效果分析
刻画回归效果的方式
(1)残差图法
在残差图中，残差比较均匀地分布在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明满足一元线性回归模型的假设，这样的带状区域的宽度越__，说明模型拟合精度越高．
(2)残差
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的y称为预测值，观测值减去______所得的差称为残差．
(3)利用R2刻画拟合效果
R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越__，R2越小，模型的拟合效果越__．
[典例4] (2025·湖南师大附中模拟)某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y(单位：千件)与售价x(单位：元/件)之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到下表：
x 5 6 7 8 9
y 8 6 4.5 3.5 3
根据表中数据可得经验回归方程＝－1.25x＋13.75，以下说法正确的是( )
A．x，y具有负相关关系，样本相关系数r＝－1.25
B．x每增加一个单位，y平均减少13.75个单位
C．第二个样本点对应的残差2＝0.25
D．第三个样本点对应的残差3＝－0.5
[听课记录]
反思领悟 检验回归模型的拟合效果的两种方法
(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果．
(2)R2分析：通过公式计算R2，R2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．
巩固迁移4 如图是某企业2018年至2024年的污水净化量(单位：吨)的折线图．
注：年份代码1～7分别对应年份2018～2024．
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的经验回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；
(2)请用决定系数说明经验回归方程预报的效果．
参考数据：＝54，)(yi－)＝21，≈3.74，＝．
1．(多选)在如图所示的散点图中，若去掉点P，则下列说法错误的是( )
A．样本相关系数r变大
B．变量y与变量x的相关程度变强
C．变量y与变量x呈现正相关关系
D．变量y与变量x的相关程度变弱
2．(人教A版选择性必修第三册P138复习参考题8T2)根据变量Y和x的成对样本数据，用一元线性回归模型得到经验回归模型＝x＋，对应的残差如图所示．模型误差( )
A．满足一元线性回归模型的所有假设
B．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0的假设
C．不满足一元线性回归模型的D(e)＝σ2的假设
D．不满足一元线性回归模型的E(e)＝0和D(e)＝σ2的假设
3．(人教A版选择性必修第三册P113练习T2改编)假如女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82．已知父亲身高为175 cm，则估计女儿的身高是________cm．(结果精确到整数)
4．已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果经验回归方程为＝2.5x＋2，则实数a的值为________．
x 2 3 4 5 6
y 6.5 10 11.5 a 18.5
1/1
