第2课时 常用逻辑用语
[考试要求] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考点一 充分、必要条件的判断与应用
若p q，则p是q的__条件，q是p的__条件
p是q的_____条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 _________
p是q的充要条件 ___
p是q的________条件 pq且qp
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件 A_B；
(2)p是q的必要不充分条件 B_A；
(3)p是q的充要条件 A_B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
定义法判断充分、必要条件
[典例1] (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
[听课记录]
反思领悟 定义法判断充分、必要条件的关键是推断p q，q p是否成立．
巩固迁移1 (2025·天津北辰区模拟)已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
集合法判断充分、必要条件
[典例2] (2025·云南昆明模拟)设a∈R，则“2＜a＜3”是“(a＋1)(a－6)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[听课记录]
反思领悟 子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件．
巩固迁移2 (2025·成都郫都区模拟)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是 ( )
A．m< B．m<
C．m<－ D．m<－
充分、必要条件的应用
[典例3] (2025·芜湖镜湖区模拟)已知集合P＝{x|a－2≤x≤3a＋1}，Q＝{x|－1≤x≤6}．
(1)若a＝2，求 R(P∩Q)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[听课记录]
反思领悟 解题时易颠倒充分性与必要性而出错，所以在解答这类问题时，一定要分清条件和结论，选择恰当的方法作出准确判断．
巩固迁移3 已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(2，3]
C． D．[2，3]
考点二 全称量词与存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“_”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“_”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x， p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 _________ _________
否定 __________ __________
提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．
(2)命题p与 p真假性相反．
含量词的命题的否定
[典例4] (人教A版必修第一册P31例5改编)命题“ x≤0，2x2＜5x－1”的否定是( )
A． x＞0，2x2＜5x－1 B． x＞0，2x2≥5x－1
C． x≤0，2x2≥5x－1 D． x≤0，2x2＞5x－1
[听课记录]
反思领悟 存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，否定结论．
巩固迁移4 (2025·沈阳和平区模拟)命题“ n∈N，n2＞4n＋3”的否定为( )
A． n∈N，n2＞4n＋3 B． n∈N，n2≤4n＋3
C． n N，n2＞4n＋3 D． n∈N，n2≤4n＋3
含量词命题的真假判断
[典例5] (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则( )
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
[听课记录]
反思领悟 判定全称量词命题是假命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)不成立即可；判定存在量词命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．p与 p真假性相反．
巩固迁移5 (多选)下列命题的否定是真命题的有( )
A．某些平行四边形是菱形
B． x∈R，x2－3x＋3<0
C． x∈R，|x|＋x2≥0
D． x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
含量词的命题的应用
[典例6] 若命题“ x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
[听课记录]
反思领悟 全称量词、存在量词命题为真 全称量词、存在量词命题的否定为假．
巩固迁移6 已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________．
1．命题“ x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是( )
A． x＞0，x2＋x－1＞0
B． x＞0，x2＋x－1≤0
C． x≤0，x2＋x－1＞0
D． x≤0，x2＋x－1≤0
2．“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知p：－3≤x≤1，q：x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________．第2课时 常用逻辑用语
[考试要求] 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系．2．理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
考点一 充分、必要条件的判断与应用
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且qp
p是q的必要不充分条件 pq且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
(1)p是q的充分不必要条件 A?B；
(2)p是q的必要不充分条件 B?A；
(3)p是q的充要条件 A＝B；
(4)p是q的既不充分也不必要条件 A与B没有包含关系．
定义法判断充分、必要条件
[典例1] (2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
B [法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以由a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．
法二：因为“a2＝b2” “a＝－b或a＝b”，“a2＋b2＝2ab” “a＝b”，所以本题可以转化为判断“a＝－b或a＝b”与“a＝b”的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin 2x＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x＝0得sin 2x＝0，所以充分性成立；由sin 2x＝0得x＝(k∈Z)，所以必要性不成立．所以“x＝0”是“sin 2x＝0”的充分不必要条件．故选A.]
反思领悟 定义法判断充分、必要条件的关键是推断p q，q p是否成立．
巩固迁移1 (2025·天津北辰区模拟)已知a，b∈R，则“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [若a＝b＝0，则|a＋b|＝0；反之，当a＝－1，b＝1时，符合|a＋b|＝0，不能得出a＝b＝0，
即“a＝b＝0”是“|a＋b|＝0”的充分不必要条件．故选A．]
集合法判断充分、必要条件
[典例2] (2025·云南昆明模拟)设a∈R，则“2＜a＜3”是“(a＋1)(a－6)＜0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由(a－6)(a＋1)＜0，得－1＜a＜6，因为(2，3)是(－1，6)的真子集，
所以“2＜a＜3”是“－1＜a＜6”的充分不必要条件．故选A．]
反思领悟 子集是全集的充分条件，只有真子集才是全集的充分不必要条件．
巩固迁移2 (2025·成都郫都区模拟)可以作为关于x的一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解的一个必要条件的是 ( )
A．m< B．m<
C．m<－ D．m<－
A [由题意，Δ＝1－4×1×m≥0，
解得m≤，而m≤可以推出m＜，故选A．]
充分、必要条件的应用
[典例3] (2025·芜湖镜湖区模拟)已知集合P＝{x|a－2≤x≤3a＋1}，Q＝{x|－1≤x≤6}．
(1)若a＝2，求 R(P∩Q)；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，P＝{x|0≤x≤7}，
Q＝{x|－1≤x≤6}，
所以P∩Q＝{x|0≤x≤6}，
所以 R(P∩Q)＝{x|x＜0，或x＞6}．
(2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以P?Q，
当P＝ 时，有3a＋1
当P≠ 时，则或
所以1≤a≤，
综上，实数a的取值范围是．
反思领悟 解题时易颠倒充分性与必要性而出错，所以在解答这类问题时，一定要分清条件和结论，选择恰当的方法作出准确判断．
巩固迁移3 已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．(－∞，3] B．(2，3]
C． D．[2，3]
B [若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则B?A，所以且等号不能同时取得，解得2考点二 全称量词与存在量词
1．全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示．
2．存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题及其否定
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x， p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M， p(x) x∈M， p(x)
提醒：(1)含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变．
(2)命题p与 p真假性相反．
含量词的命题的否定
[典例4] (人教A版必修第一册P31例5改编)命题“ x≤0，2x2＜5x－1”的否定是( )
A． x＞0，2x2＜5x－1 B． x＞0，2x2≥5x－1
C． x≤0，2x2≥5x－1 D． x≤0，2x2＞5x－1
[答案] C
反思领悟 存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，否定结论．
巩固迁移4 (2025·沈阳和平区模拟)命题“ n∈N，n2＞4n＋3”的否定为( )
A． n∈N，n2＞4n＋3 B． n∈N，n2≤4n＋3
C． n N，n2＞4n＋3 D． n∈N，n2≤4n＋3
[答案] B
含量词命题的真假判断
[典例5] (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x．则( )
A．p和q都是真命题 B． p和q都是真命题
C．p和 q都是真命题 D． p和 q都是真命题
B [对于命题p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于命题q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．故选B．]
反思领悟 判定全称量词命题是假命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)不成立即可；判定存在量词命题是真命题，只要在给定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．p与 p真假性相反．
巩固迁移5 (多选)下列命题的否定是真命题的有( )
A．某些平行四边形是菱形
B． x∈R，x2－3x＋3<0
C． x∈R，|x|＋x2≥0
D． x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
BD [对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝－3<0，所以原命题是假命题；对于C， x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题．根据原命题和它的否定真假性相反的法则判断，选项B，D中，原命题的否定是真命题．故选BD．]
含量词的命题的应用
[典例6] 若命题“ x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
[命题“ x∈R，x2＋x－a＝0”为假命题，
等价于“方程x2＋x－a＝0无实根”，
则Δ＝1＋4a<0，解得a<－，
即实数a的取值范围为．]
反思领悟 全称量词、存在量词命题为真 全称量词、存在量词命题的否定为假．
巩固迁移6 已知命题p：对于任意x∈[1，2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0．若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________．
(－2，1)∪(1，＋∞) [若命题p为真，则对于任意x∈[1，2]，都有a≤(x2)min＝1，即a≤1；若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解，则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，解得a≥1或a≤－2．若p与q都是真命题，则a≤－2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a>－2且a≠1．]
1．命题“ x＞0，x2＋x－1＞0”的否定是( )
A． x＞0，x2＋x－1＞0
B． x＞0，x2＋x－1≤0
C． x≤0，x2＋x－1＞0
D． x≤0，x2＋x－1≤0
B [根据含有量词的命题的否定可知， x＞0，x2＋x－1＞0的否定为 x＞0，x2＋x－1≤0．故选B．]
2．“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
A [由“|x(x－1)|＝x(1－x)”可得，x(x－1)≤0，解得0≤x≤1，
则“0＜x＜1”是“|x(x－1)|＝x(1－x)”的充分不必要条件．故选A．]
3．已知p：－3≤x≤1，q：x≤a(a为实数)．若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是________．
[1，＋∞) [∵q的一个充分不必要条件是p，
∴[－3，1]?(－∞，a]，
∴a≥1．则实数a的取值范围是[1，＋∞)．]
【教用·备选题】
由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
1 [因为命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，
所以命题“ x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，
故Δ＝22－4m<0，
即m>1，故a＝1．]
课后习题(二) 常用逻辑用语
1．(多选)(人教B版必修第一册P28练习B T4改编)给定命题p： x>m，都有x2>8．若命题p为假命题，则实数m可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
AB [因为命题p为假命题，所以 p： x>m，x2≤8是真命题．当m＝1时，x>1，令x＝2，22<8成立，所以选项A符合题意；当m＝2时，x>2，令x＝2.5，2.52<8成立，所以选项B符合题意；当m＝3时，x>3，x2>9，则x2≤8不成立，所以选项C不符合题意；当m＝4时，x>4，x2>16，则x2≤8不成立，所以选项D不符合题意．故选AB．]
2．(多选)(北师大版必修第一册P22例7改编)关于命题p：“ x∈N，6x2－7x＋2≤0”，下列说法正确的是( )
A．该命题是全称量词命题，且为真命题
B．该命题是存在量词命题，且为假命题
C． p： x∈N，6x2－7x＋2>0
D． p： x N，6x2－7x＋2>0
BC [命题p为存在量词命题，由6x2－7x＋2≤0，得≤x≤，所以p为假命题． p： x∈N，6x2－7x＋2>0．故选BC．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P31例5改编)下列命题的否定是假命题的是( )
A． m∈N，∈N
B．菱形都是平行四边形
C． a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根
D．平面四边形ABCD的内角和等于360°
ABD [由于原命题和其否定的真假完全相反，所以题干中“下列命题的否定是假命题”等价于“下列命题是真命题”，对于A，当m＝0时，＝1∈N，则A中命题为真命题，故A符合题意；选项B显然符合题意；对于C，因为Δ＝a2＋4>0恒成立，所以不存在a∈R，使得一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根，故C不符合题意；选项D显然符合题意．故选ABD．]
4．(人教B版必修第一册P38习题1－2BT5改编)已知命题p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[设A＝，B＝{x|a≤x≤a＋1}，由p是q的充分不必要条件，可知A?B，
∴或解得0≤a≤，故所求实数a的取值范围是．]
5．(2025·合肥模拟)命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是( )
A．所有奇数都是2的倍数
B．存在一个偶数是2的倍数
C．所有偶数都不是2的倍数
D．存在一个偶数不是2的倍数
D [命题“所有偶数都是2的倍数”的否定是存在一个偶数不是2的倍数．故选D．]
6．(2025·西安雁塔区模拟)“x，y为无理数”是“x＋y为无理数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
D [根据题意，若x，y为无理数，则不一定可以推出x＋y为无理数，
如x＝且y＝－，但x＋y＝0不是无理数，充分性不成立；
反之，若“x＋y为无理数”，可能x＝1，y＝－1，x＋y＝，
也不能得到x，y为无理数，必要性也不成立．
故“x，y为无理数”是“x＋y为无理数”的既不充分也不必要条件．
故选D．]
7．(2024·保定三模)集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜m}，若x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是( )
A．(－1，2) B．[2，＋∞)
C．(－2，2] D．(2，＋∞)
B [由题意，x∈B的充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是[2，＋∞)．故选B．]
8．(2025·山东蒙阴县模拟)已知“ x∈R，2 024x2－2 024x－a<0”为真命题，则实数a的取值范围为( )
A．a＞－506 B．a≥－506
C．a≤－506 D．a＜－506
A [根据题意，“ x∈R，2 024x2－2 024x－a<0”为真命题，
即a>2 024x2－2 024x有解，令f (x)＝2 024x2－2 024x，
则a>f (x)min，易得f (x)＝2 024(x2－x)
＝2 024－506≥－506，
即函数f (x)取得最小值f ＝－506，
故a>－506．故选A．]
9．(2024·北京朝阳月考)已知p：a∈{x|x＝2k，k∈N*}，q：正整数a能被4整除，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若p成立，则a∈{x|x＝2k，k∈N*}，可知a为正偶数，不一定推出q：正整数a能被4整除，故充分性不成立；反之，若q成立，则正整数a能被4整除，可知a一定是正偶数，可以推出p：a∈{x|x＝2k，k∈N*}，即必要性成立．因此，p是q的必要不充分条件．故选B．]
10．(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是( )
A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B．命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件
D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
AD [对于A，<1，即－1<0，即<0，即>0，即a<0或a>1，所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题“对任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误；
对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，所以x2＋y2≥8，当不等式x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，
所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选AD．]
11．(2024·北京市东城区二模)已知命题p： x∈R，ax2＋2x＋1≤0，则命题p的否定是________________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是________．
x∈R，ax2＋2x＋1>0 (1，＋∞) [由题设，命题p的否定是 x∈R，ax2＋2x＋1>0．
p为假命题，即 x∈R，ax2＋2x＋1>0为真命题，
所以可得a>1．]
12．(2024·江苏扬州检测)已知命题p： x∈[1，2]，x2＋1≥a，命题q： x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－1] [命题p： x∈[1，2]，x2＋1≥a恒成立，若p是真命题，则当x∈[1，2]时，a≤(x2＋1)min＝2．命题q： x∈[－1，1]，使得2x＋a－1>0成立，若命题q是真命题，则当x∈[－1，1]时，a>(1－2x)min＝1－2＝－1，所以命题q是假命题时，a≤－1．综上，实数a的取值范围为(－∞，－1]．]
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