第3课时 等式性质与不等式性质
[考试要求] 1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．
考点一 数(式)的大小比较
(1)作差法(a，b∈R)
(2)作商法(a∈R，b>0)
(3)特值法，此方法可在选择题中使用．
[典例1] (1)(多选)下列不等式中正确的是( )
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．<(b>a>0，m>0)
(2)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．x
[听课记录]
反思领悟 本例(1)采用作差法，其步骤是：作差—变形—定号(判断差与“0”的大小)—得出结论．关键是变形，通常“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．本例(2)采用作商法，其步骤是：作商—变形—判断商与1的大小关系—得出结论．关键是变形，常用的变形是分母有理化或变为幂的形式．
巩固迁移1 (1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pC．p>q D．p≥q
(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
考点二 不等式的基本性质
性质1 对称性：a>b ___；
性质2 传递性：a>b，b>c ___；
性质3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0 _____；a>b，c<0 _____；
性质5 同向可加性：a>b，c>d _______；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 _____；
性质7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8 同正可开方性：a>b>0 >(n∈N，n≥2)．
[常用结论]
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；②a；
(2)若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
[典例2] (1)(2025·上海杨浦区模拟)设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是( )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若<，则a＞b
D．若a2＞b2，则a＞b
(2)(2025·上海浦东新区模拟)已知a＋b＞0，且b＜0，则( )
A．>－1 B．ab＞－b2
C．>－ D．a2＞b2
[听课记录]
反思领悟 特值法(如本例(1))结合不等式性质是解本题的关键．
巩固迁移2 (1)(2025·淮北模拟)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若ab＝1，则a＋b≥2
B．若<，则a＞b
C．若a＞b，则ln (a－b)＞0
D．若a＞b＞0，则a＋>b＋
(2)(2024·上海崇明区二模)若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．>
C．a＋c＜b＋c D．a＞b－c
考点三 不等式性质的综合应用
[典例3] (1)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是( )
A． B．
C． D．{z|3≤z≤27}
(2)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1(3)已知3[听课记录]
反思领悟 多次运用不等式的性质易造成扩大变量范围的错误结果，如本例(1)，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
巩固迁移3 (多选)(2025·重庆模拟)已知－2A．0C．－61．设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．s2．若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是( )
A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d
C．ac＞bd D．ad＞bc
3．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是( )
A．＜ B．＞
C．＜ D．＜
4．已知－2[考试要求] 1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．
考点一 数(式)的大小比较
(1)作差法(a，b∈R)
(2)作商法(a∈R，b>0)
(3)特值法，此方法可在选择题中使用．
[典例1] (1)(多选)下列不等式中正确的是( )
A．x2－2x>－3(x∈R)
B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C．a2＋b2>2(a－b－1)
D．<(b>a>0，m>0)
(2)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是( )
A．x>y B．x＝y
C．x(1)AD (2)C [(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
＝，
∵b>a>0，m>0，∴>0，
∴<，故D正确．故选AD．
(2)由题设，易知x>0，y>0，
又＝＝＝<1，
∴x故选C．]
反思领悟 本例(1)采用作差法，其步骤是：作差—变形—定号(判断差与“0”的大小)—得出结论．关键是变形，通常“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．本例(2)采用作商法，其步骤是：作商—变形—判断商与1的大小关系—得出结论．关键是变形，常用的变形是分母有理化或变为幂的形式．
巩固迁移1 (1)若a<0，b<0，则p＝与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pC．p>q D．p≥q
(2)已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为________．
(1)B (2)aabb>abba [(1)p－q＝－a－b＝＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0．
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q．故选B．
(2)因为＝＝，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
所以>1，即>1，
又abba>0，所以aabb>abba．]
考点二 不等式的基本性质
性质1 对称性：a>b b性质2 传递性：a>b，b>c a>c；
性质3 可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5 同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)；
性质8 同正可开方性：a>b>0 >(n∈N，n≥2)．
[常用结论]
(1)倒数性质
①a>b，ab>0 <；②a；
(2)若a>b>0，m>0，则
①真分数性质：<<(b－m>0)，即真分数越加越大，越减越小；
②假分数性质：<<(b－m>0)，即假分数越加越小，越减越大．
[典例2] (1)(2025·上海杨浦区模拟)设a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是( )
A．若a＞b，则a＋c＞b＋c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若<，则a＞b
D．若a2＞b2，则a＞b
(2)(2025·上海浦东新区模拟)已知a＋b＞0，且b＜0，则( )
A．>－1 B．ab＞－b2
C．>－ D．a2＞b2
(1)A (2)D [(1)由不等式的性质可知，当a＞b时，a＋c＞b＋c成立，A正确；
当c＝0时，B显然错误；当a＝－2，b＝1时，C，D显然错误．故选A．
(2)由a＋b＞0，且b＜0知a＞－b＞0，则<－1，故A错误；
ab＜－b2，故B错误；
由－>0得a·>(－b)·，即<－，故C错误；
a2＞(－b)2，即a2＞b2，故D正确．
故选D．]
反思领悟 特值法(如本例(1))结合不等式性质是解本题的关键．
巩固迁移2 (1)(2025·淮北模拟)已知a，b∈R，下列命题正确的是( )
A．若ab＝1，则a＋b≥2
B．若<，则a＞b
C．若a＞b，则ln (a－b)＞0
D．若a＞b＞0，则a＋>b＋
(2)(2024·上海崇明区二模)若a＞b，c＜0，则下列不等式成立的是( )
A．ac2＞bc2 B．>
C．a＋c＜b＋c D．a＞b－c
(1)D (2)A [(1)当a＜0，b＜0时，A显然错误；
当a＝－1，b＝1时，B显然错误；
当a＝2，b＝1时，C显然错误；
若a＞b＞0，则＞，所以a＋＞b＋，D正确．
故选D．
(2)∵a＞b，c＜0，
∴ac2＞bc2，∴<0，<，a＋c＞b＋c，a与b－c的大小关系不确定．
则不等式成立的是A．故选A．]
考点三 不等式性质的综合应用
[典例3] (1)已知2≤2x＋3y≤6，－3≤5x－6y≤9，则z＝11x＋3y的取值范围是( )
A． B．
C． D．{z|3≤z≤27}
(2)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知－1(3)已知3(1)D (2)(－4，2) (1，18) (3) [(1)设11x＋3y＝m(2x＋3y)＋n(5x－6y)，
则11x＋3y＝(2m＋5n)x＋(3m－6n)y，
所以解得
于是11x＋3y＝3(2x＋3y)＋(5x－6y)．
又因为6≤3(2x＋3y)≤18，－3≤5x－6y≤9，
所以3≤3(2x＋3y)＋(5x－6y)≤27，即3≤11x＋3y≤27．
故z的取值范围为{z|3≤z≤27}．
故选D．
(2)因为－1(3)因为4反思领悟 多次运用不等式的性质易造成扩大变量范围的错误结果，如本例(1)，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．
巩固迁移3 (多选)(2025·重庆模拟)已知－2A．0C．－6BD [对于A，∵－2∴－2＋2∴0<3a<12，∴0对于B，∵2<2a－b<8，∴－8∵－2由∴－12<3b<6，
∴－4对于CD，设a＋2b＝m(a＋b)＋n(2a－b)，
则a＋2b＝(m＋2n)a＋(m－n)b，
∴∴
∴a＋2b＝(a＋b)－(2a－b)，
∵－2∵2<2a－b<8，∴－<－(2a－b)<－，
∴－61．设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是( )
A．s≥t B．s>t
C．s≤t D．sA [因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0，
所以s≥t．故选A．]
2．若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是( )
A．a＋d＞b＋c B．a＋c＞b＋d
C．ac＞bd D．ad＞bc
B [对于A，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但a＋d＝b＋c，故A错误；
对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，
∴由不等式的可加性可得，a＋c＞b＋d，故B正确；
对于C，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误；
对于D，令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．
故选B．]
3．(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，再添加m克水(m>0)，糖水变淡了．下面式子可以说明这一事实的是( )
A．＜ B．＞
C．＜ D．＜
A [向糖水溶液中加入m克水，糖水的浓度变为，此时浓度变小，糖水变淡，即＜．故选A．]
4．已知－2(－1，9) [设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)＝(m＋2n)x＋(－m＋n)y，
则解得
∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)．
又－4<2(x－y)<0，3<3(2x＋y)<9，
∴8x＋y的取值范围为(－1，9)．]
【教用·备选题】
1．(2025·广东深圳外国语模拟)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是( )
A．< B．a2>b2
C．> D．a|c|>b|c|
C [当a＝1，b＝－2时，满足a>b，但>，a20，a>b，由不等式的性质得>，C正确；当c＝0时，a|c|>b|c|不成立，排除D．故选C．]
2．(2025·北京汇文中学校考模拟)如果a>b>0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．|a|<|b| B．>
C．a－ln b
D [因为a>b>0，
所以|a|>|b|>0，故A错误；
因为a>b>0，所以<，故B错误；
因为a>b>0，所以a－b>0，>0，
故a－＝a－b＋＝(a－b)>0，
所以a－>b－，C错误；
因为a>b>0，且y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln a>ln b，故D正确．故选D．]
3．(2025·湖北武汉模拟)下列不等式正确的是( )
A．若ac2≥bc2，则a≥b
B．若>，则aC．若a＋b>0，c－b>0，则a>c
D．若a>0，b>0，m>0，且a
D [对于A，若ac2≥bc2，当c＝0时，a与b的大小关系无法确定，故A错误；
对于B，取a＝1，c＝1，b＝－1，则满足>，但不满足a对于C，取a＝－1，b＝2，c＝3，则满足a＋b>0，c－b>0，但不满足a>c，故C错误；
对于D，若a>0，b>0，m>0，且a0，
所以＝＝>0，即>，故D正确．
故选D．]
4．(2025·北京101中学校考阶段练习)已知aA．>
B．a2>c2
C．logc(－a)>logc(－b)
D．>
D [A选项：＝，因为a0，故<0，即<，故A选项错误；
B选项：当a＝－1，c＝2时，a2>c2不成立，故B选项错误；
C选项：a－b>0，当0D选项：由a<01>，故D选项正确．
故选D．]
课后习题(三) 等式性质与不等式性质
1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(3)改编)已知0A．MN
C．M＝N D．M≥N
B [∵0∴－1∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N．故选B．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P42练习T2改编)下列结论正确的是( )
A．如果a>b，cb－d
B．如果a>b>0，cbd
C．如果a>b>0，那么<
D．如果a>b>c>0，那么<
ACD [ a－c>b－d，A正确；
－ac>－bd，即aca>b>0 a2>b2>0 <，C正确；
<，D正确．
故选ACD．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P57复习参考题2T2改编)对于实数a，b，c，下列说法正确的是( )
A．若a>b，则a>>b
B．若a>b>0，则a>>b
C．若>，则a>0，b<0
D．若a>b>0，c>0，则>
ABD [对于A，∵a>b，∴a－＝>0，－b＝>0，∴a>>b，故A正确；
对于B，∵a>b>0，
∴＝>1，＝>1，∴a>>b，故B正确；对于C，令a＝2，b＝3，满足>，但不满足a>0，b<0，故C不正确；对于D，∵a>b>0，c>0，∴＝＝>0，即>，故D正确．故选ABD．]
4．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3改编)已知6A．<< B．21C．－12C [对于A，∵15故选C．]
5．(2024·上海松江区期末)已知a，b∈R，设M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N B．M≤N
C．M＞N D．M≥N
D [因为M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M－N＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0，
所以M≥N．故选D．]
6．(2024·信阳固始县三模)若a，b∈R，且a＞b，则( )
A．> B．a2b＞ab2
C．a2＞ab＞b2 D．a>>b
D [当a＝1，b＝－1时，A，B显然错误；
当a＜0，b＜0时，C显然错误；
由a＞b可得2a＞a＋b＞2b，即a＞＞b，D正确．故选D．]
7．(多选)(2025·西安雁塔区模拟)已知实数a，b，c，则下列命题中正确的是( )
A．若－2＜a＜3，1＜b＜2，则－3＜a－b＜1
B．若a＞b＞0且c＜0，则>
C．若c＞a＞b＞0，则>
D．若b＞a＞0，则<
BC [对于A，因为1＜b＜2，所以－2＜－b＜－1，又－2＜a＜3，所以－4＜a－b＜2，故选项A错误；
对于B，因为a＞b＞0，所以a2＞b2＞0，所以0<<，又c＜0，所以>，故选项B正确；对于C，因为c＞a＞b＞0，所以c－b＞c－a＞0，所以>>0，又a＞b＞0，所以>，故选项C正确；对于D，当b＝3，a＝2，c＝－1时，D选项显然错误．故选BC．]
8．(2024·西宁一模)下列命题中，正确的是( )
A．若ab≠0且a＜b，则>
B．若a＞b，则a2＞b2
C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
D．若a＞b，则a＋c＞b＋c
D [当a＜0，b＞0时，A显然错误；
当a＝1，b＝－1时，B显然错误；
当a＝1，b＝－1，c＝－1，d＝－2时，C显然错误；
若a＞b，则a＋c＞b＋c，D正确．故选D．]
9．(多选)(2025·温州模拟)已知a，b，c，d∈R，则下列说法中正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
B．若a＞b，则ac＞bc
C．若ab≠0，a＞b，则<
D．若a＞b＞0，则>
AD [A选项，若a＞b，c＞d，则－d＞－c，
所以a－d＞b－c，所以A选项正确；
B选项，若a＞b，当c＝0时，ac＝bc，所以B选项错误；
C选项，若ab≠0，a＞b，如a＝1，b＝－1，则>，所以C选项错误；
D选项，若a＞b＞0，则＝
＝＝>0，
所以>，所以D选项正确．
故选AD．]
10．(多选)(2025·周口川汇区模拟)若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是( )
A．> B．a＋>b＋
C．a＋>b＋ D．>
AD [对于A，∵a＞b＞0，∴ab＞0，b－a＜0，
∴＝＜0，故A选项符合题意；
对于B，a＋－b－＝a－b＋＝(a－b)·，
当ab－1＞0时，a＋>b＋可能成立，故B选项不符合题意；
对于C，a＋－b－＝(a－b)＋＝(a－b)＞0，故C不符合题意；
对于D，＝＝<0，故D符合题意．故选AD．]
11．(2025·保定模拟)某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a元/kg，二级棉花b元/kg(b＜a)，现有一级棉花x kg，二级棉花y kg(x＞y)，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？________．其理由可用不等式表示为____________．
不公平 ax＋by>(a＋b)(x＋y) [若分类收购，则总钱数为(ax＋by)元，
若以两种价格平均数收购，则总钱数为(a＋b)(x＋y)．
因为ax＋by－(a＋b)(x＋y)
＝(2ax＋2by－ax－ay－bx－by)
＝(ax＋by－ay－bx)＝(a－b)(x－y)，
因为a＞b，x＞y，所以(a－b)(x－y)＞0，
所以ax＋by＞(a＋b)(x＋y)，所以不公平．]
12．(2025·福州长乐区模拟)已知π<α＋β<，－π<α－β<－，则2α－β的取值范围为________．
[设2α－β＝x(α＋β)＋y(α－β)＝(x＋y)α＋(x－y)β，x，y∈R，
则解得
所以2α－β＝(α＋β)＋(α－β)，
因为π<α＋β<，－π<α－β<－，
所以<(α＋β)<，－<(α－β)<－，
所以－π<2α－β<．
则2α－β的取值范围为．]
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