第2课时 函数的单调性与最值(一)
[考试要求] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
考点一 函数单调性的判断
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上____或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，___叫做y＝f (x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间I上单调递增；
(2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间I上单调递减．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f (x)(f (x)>0或f (x)<0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
[典例1] (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－ B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1)
(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)选项A利用常用结论3解答，选项B用图象法解答，选项C用导数法解答，选项D利用常用结论4解答，即外层函数y＝lg t和内层函数t＝x＋1均为增函数，根据“同增异减”的原则，y＝lg (x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．本例(2)提醒同学们，函数在不同区间上单调性相同，一定要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．
巩固迁移1 (1)下列函数在R上为增函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
(2)函数y＝的单调递减区间是________．
考点二 利用定义证明函数的单调性
[典例2] (人教A版必修第一册P79例3改编)试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[听课记录]
反思领悟 用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”．
巩固迁移2 已知定义域为(－1，1)的函数f (x)＝，判断函数f (x)的单调性，并证明．
考点三 利用单调性求参数的取值范围
[典例3] (1)已知函数f (x)＝在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，1]
C．(0，1) D．[0，1]
(2)若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
[听课记录]
反思领悟 易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
巩固迁移3 (1)(2024·广东江门模拟)若函数f (x)＝x2－2kx＋1在[3，5]上单调递增，则实数k的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．[3，5]
C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，则实数a的取值范围是________．
1．下列函数是增函数的为( )
A．f (x)＝－x B．f (x)＝
C．f (x)＝x2 D．f (x)＝
2．已知函数f (x)＝则f (x)的单调递增区间为( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
3．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
4．设函数f (x)＝－2x，证明：函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
第2课时 函数的单调性与最值(一)
[考试要求] 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．
考点一 函数单调性的判断
1．单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2．单调区间的定义
如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间．
提醒：(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“，”或“和”连接．
[常用结论]
1．函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I(x1≠x2)，则
(1)>0(或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0) f (x)在区间I上单调递增；
(2)<0 (或(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]<0) f (x)在区间I上单调递减．
2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3．函数y＝f (x)(f (x)>0或f (x)<0)在公共定义域内与y＝－f (x)，y＝的单调性相反．
4．复合函数的单调性：同增异减．
[典例1] (1)(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝x－ B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1)
(2)设函数f (x)＝g(x)＝x2f (x－1)，则函数g(x)的单调递增区间是________．
(1)ACD (2)(－∞，0)，(1，＋∞) [(1)∵y＝x与y＝－在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，故A正确；
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；
∵y′＝2－2sin x≥0，
∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确；
函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确．故选ACD．
(2)由题意知g(x)＝
该函数图象如图中实线部分所示，
其单调递增区间是(－∞，0)，(1，＋∞)．]
反思领悟 本例(1)选项A利用常用结论3解答，选项B用图象法解答，选项C用导数法解答，选项D利用常用结论4解答，即外层函数y＝lg t和内层函数t＝x＋1均为增函数，根据“同增异减”的原则，y＝lg (x＋1)在(－1，＋∞)上为增函数．本例(2)提醒同学们，函数在不同区间上单调性相同，一定要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”．
巩固迁移1 (1)下列函数在R上为增函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
(2)函数y＝的单调递减区间是________．
(1)B (2)(－∞，－6] [(1)y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A错误；
y＝x在R上为增函数，故B正确；
y＝－在[0，＋∞)上单调递减，故C错误；
y＝在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，故D错误．
(2)由题意，要使函数y＝有意义，需满足x2＋2x－24≥0，解得x≤－6或x≥4，
又由t＝x2＋2x－24在(－∞，－6]上单调递减，在[4，＋∞)上单调递增，
结合复合函数的单调性的判定方法，
可得函数y＝的单调递减区间是(－∞，－6]．]
考点二 利用定义证明函数的单调性
[典例2] (人教A版必修第一册P79例3改编)试讨论函数f (x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
[解] 任取x1，x2∈(－1，1)，且x1f (x)＝a＝a，
则f (x1)－f (x2)＝a－a
＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
函数f (x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)函数f (x)在(－1，1)上单调递增．
反思领悟 用定义证明函数单调性的一般步骤：设元—作差—变形—判断符号—得出结论．其中关键是“变形”．
巩固迁移2 已知定义域为(－1，1)的函数f (x)＝，判断函数f (x)的单调性，并证明．
[解] 函数f (x)＝在(－1，1)上为增函数．证明如下：任取x1，x2∈(－1，1)，且x10，x1x2－1<0，则有f (x1)－f (x2)<0，故f (x)在(－1，1)上为增函数．
考点三 利用单调性求参数的取值范围
[典例3] (1)已知函数f (x)＝在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，1]
C．(0，1) D．[0，1]
(2)若函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
(1)D (2)(－∞，－3] [(1)因为y＝x2－ax＋1＝＋1－的对称轴为x＝，所以y＝x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．因为函数f (x)＝在其定义域上单调递减，所以解得0≤a≤1．
(2)y＝＝1＋，由题意知得a≤－3，所以a的取值范围是(－∞，－3]．]
反思领悟 易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．
巩固迁移3 (1)(2024·广东江门模拟)若函数f (x)＝x2－2kx＋1在[3，5]上单调递增，则实数k的取值范围为( )
A．(－∞，3] B．[3，5]
C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝满足 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，则实数a的取值范围是________．
(1)A (2) [(1)由f (x)＝x2－2kx＋1，知函数f (x)图象开口向上，且对称轴为x＝k，
要使f (x)在[3，5]上单调递增，
则有k≤3，即实数k的取值范围为(－∞，3]．
(2)因为 x1，x2∈R且x1≠x2，有>0成立，所以函数f (x)在R上单调递增，所以解得01．下列函数是增函数的为( )
A．f (x)＝－x B．f (x)＝
C．f (x)＝x2 D．f (x)＝
D [由一次函数性质可知f (x)＝－x在R上是减函数，不符合题意；由指数函数性质可知f (x)＝在R上是减函数，不符合题意；由二次函数的性质可知f (x)＝x2在R上不单调，不符合题意；根据幂函数性质可知f (x)＝在R上单调递增，符合题意．]
2．已知函数f (x)＝则f (x)的单调递增区间为( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(0，＋∞)
A [当x<0时，f (x)＝－2x＋1单调递减；当x≥0时，f (x)＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2，f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．]
3．函数f (x)＝|x－2|x的单调递减区间是________．
[1，2] [f (x)＝作出f (x)的大致图象如图所示，由图象知f (x)的单调递减区间是[1，2]．
]
4．设函数f (x)＝－2x，证明：函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
[证明] x1，x2∈[0，＋∞)，且x1则f (x1)－f (x2)＝－2x1＋2x2＝－2(x1－x2)
＝，
因为0≤x1所以<1，
所以>0，
所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减．
【教用·备选题】
1．(2024·枣庄二模)已知函数f (x)＝在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(0，3)
B．(－∞，－2)∪(0，3]
C．(－∞，－2)∪(0，10)
D．(－∞，－2)∪(0，10]
B [因为函数f (x)＝在[－10，－3]上单调递增，所以a(2＋a)>0，且30＋ax≥0在[－10，－3]上恒成立，所以解得a<－2或02．(2024·上海闵行区三模)设t＞0，函数y＝f (x)的定义域为R．若对满足x2－x1＞t的任意x1，x2，均有f (x2)－f (x1)＞t，则称函数y＝f (x)具有“P(t)性质”．
(1)在下述条件下，分别判断函数y＝f (x)是否具有P(2)性质，并说明理由；
①f (x)＝x；
②f (x)＝10sin 2x；
(2)已知f (x)＝ax3，且函数y＝f (x)具有P(1)性质，求实数a的取值范围；
(3)证明：“函数y＝f (x)－x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”的充要条件．
[解] (1)①是，因为对任意x2－x1＞2，f (x2)－f (x1)＝(x2－x1)>3>2，
所以符合定义．
②不是，令x2＝，x1＝，x2－x1＝π>2，f (x2)－f (x1)＝10sin 3π－10sin π＝0<2，故不符合题意．
(2)显然a＞0，所以设x2－x1＝m＞0，
则x2＝x1＋m，
所以f (x2)－f (x1)＝＝]＝m＋3x1m2＋m3)，
当x1＝－时，取f (x2)－f (x1)的最小值，
原问题等价于当m＞1时，>1恒成立，
即a>恒成立，所以a≥4．
所以实数a的取值范围为[4，＋∞)．
(3)证明：充分性：
如果函数y＝f (x)－x为增函数，则对任意的x2＞x1，均有f (x2)－x2>f (x1)－x1，
即f (x2)－f (x1)>x2－x1，因此，对任意t＞0，若x2－x1＞t，
则f (x2)－f (x1)＞t，函数y＝f (x)具有P(t)性质，充分性得证；
必要性：
若对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质，
假设函数y＝f (x)－x不是增函数，则存在x2＞x1，满足f (x2)－x2≤f (x1)－x1，
即f (x2)－f (x1)≤x2－x1，
取t0＝，
则显然f (x2)－f (x1)≤t0≤x2－x1，
即对于t0，存在x2－x1＞t0，但是f (x2)－f (x1)＜t0，
与“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数y＝f (x)－x为增函数，必要性得证．
所以“函数y＝f (x)－x为增函数”是“对任意t＞0，函数y＝f (x)具有P(t)性质”的充要条件．
课后习题(七) 函数的单调性与最值(一)
1．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T3改编)下列说法中正确的是( )
A．函数f (x)＝－2x＋1是减函数
B．函数f (x)＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增
C．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增
ABD [对于A，任取x10，∴f (x1)>f (x2)，∴f (x)在R上是减函数，A正确；对于B，任取00，x1－x2<0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴f (x1)0，∴f (x1)－f (x2)<0，∴函数f (x)＝1－在(－∞，0)上单调递增，D正确．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P86习题3.2T9改编)下列函数中，满足对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0的是( )
A．f (x)＝x＋ B．f (x)＝
C．f (x)＝1＋ D．f (x)＝－x－
CD [对任意x1，x2∈(1，＋∞)，有<0，则函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减．
对于A，f (x)＝x＋，由对勾函数的图象与性质可知A不满足题意；
对于B，f (x)＝，根据复合函数的单调性知，函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故B不满足题意；
对于C，f (x)＝1＋，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，故C满足题意；
对于D，f (x)＝－x－，由对勾函数的图象和性质可知D满足题意．]
3．(苏教版必修第一册P135本章测试T15改编)函数f (x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2)
C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞)
B [f (x)＝x2－4|x|＋3＝则由二次函数的性质知，当x≥0时，f (x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0时，f (x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)．故f (x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B．]
4．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f (x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
D [函数f (x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f (x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞) [a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．故选D．]
5．(人教A版必修第一册P86习题3.2T8改编)形如f (x)＝x＋(t>0)的函数，我们称之为“对勾函数”，考虑“对勾函数”的单调性，若函数f (x)＝x＋(a>0)在[2，4]上单调，则a的取值范围为________．
(0，4]∪[16，＋∞) [易知函数f (x)＝x＋(a>0)在区间[－，0)和(0，]上单调递减，在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，从而，当函数f (x)在[2，4]上单调递减时，[2，4] (0，]，则≥4，得a≥16．当函数f (x)在[2，4]上单调递增时，[2，4] [，＋∞)，则≤2，得06．(2025·开封模拟)下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f (x)＝3－x B．f (x)＝x2＋x
C．f (x)＝－|x| D．f (x)＝－
B [对于A，f (x)＝3－x在R上是减函数，故A不正确；
对于B，f (x)＝x2＋x＝－，在上单调递减，
在上单调递增，故B正确；
对于C，当x＞0时，f (x)＝－|x|＝－x，函数单调递减，故C不正确；
对于D，f (x)＝－，由y＝－的图象向右平移1个单位长度变换得到，
所以f (x)＝－在区间(0，1)和(1，＋∞)上单调递增，故D不正确．故选B．]
7．(2025·长沙开福区模拟)若函数f (x)＝4|x－a|＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
B [因为函数f (x)＝4|x－a|＋3在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
又函数f (x)在区间[1，＋∞)上不单调，所以a＞1．故选B．]
8．(2025·绥化市绥棱县模拟)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)”的是( )
A．f (x)＝|x| B．f (x)＝
C．f (x)＝－x2＋2x D．f (x)＝ex
B [根据题意，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，
则f (x)在(0，＋∞)上单调递减，
依次分析选项：
对于A，f (x)＝|x|，在(0，＋∞)上f (x)＝x是增函数，不符合题意；
对于B，f (x)＝，是幂函数，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意；
对于C，f (x)＝－x2＋2x，是二次函数，在(0，1)上单调递增，不符合题意；
对于D，f (x)＝ex，是指数函数，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．
故选B．]
9．(多选)(2025·哈尔滨松北区模拟)已知函数f (x)＝是R上的减函数，则实数k的取值可能有( )
A．4 B．5
C．6 D．7
ABC [因为函数f (x)＝是R上的减函数，
所以解得2≤k≤6，
所以四个选项中符合条件的实数k的取值可以是4，5，6．故选ABC．]
10．(2025·福州福清市模拟)能够说明“若f (x)＜0对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f (x)在(0，2]是减函数”为假命题的一个函数是________．
f (x)＝－(答案不唯一) [举例说明“若f (x)＜0对任意的x∈(0，2]都成立，则函数f (x)在(0，2]是减函数”为假命题的一个函数是f (x)＝－．
只要符合条件的函数即可，所以答案不唯一．]
11．(2025·深圳坪山区模拟)函数f (x)＝|－x2＋4x＋5|的单调递增区间为____________．
[－1，2]和[5，＋∞) [由f (x)＝|－x2＋4x＋5|＝
画出函数图象，如图所示，
结合图象得函数f (x)的单调递增区间为[－1，2]和[5，＋∞)．]
12．(2025·长沙雨花区模拟)已知函数f (x)＝是定义在R上的增函数，则a的取值范围是________．
[1，2] [因为函数f (x)＝是定义在R上的增函数，
所以解得1≤a≤2，故a的取值范围为[1，2]．]
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