第4课时 函数的奇偶性、周期性
[考试要求] 1．了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义．2．会依据函数的性质进行简单的应用．
考点一 函数奇偶性的判断
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数 关于原点对称
提醒：定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑函数定义域．
[常用结论] 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
[典例1] (人教A版必修第一册P84例6改编)判断下列函数的奇偶性：
(1)f (x)＝x3－；
(2)f (x)＝；
(3)f (x)＝
(4)f (x)＝loga(mx＋)(m≠0)．
[解] (1)函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且对于定义域内的任意一个x都有f (－x)＝(－x)3－＝－＝－f (x)，从而函数f (x)为奇函数．
(2)f (x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，
所以f (x)既是奇函数又是偶函数．
(3)f (x)的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，f (－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f (x)；当x<0时，f (－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f (x)；当x＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x)＝－f (x)．故该函数为奇函数．
(4)f (x)的定义域为R，f (－x)＝loga(－mx＋)＝loga＝
loga(＋mx)-1＝－loga(mx＋)＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数．
反思领悟 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，否则既不是奇函数也不是偶函数．
(2)判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－x)＝0(偶函数))是否成立．
巩固迁移1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝x sin x是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝是奇函数
(2)已知f (x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是( )
A．f (x)＋g(x)为R上的奇函数
B．f (x)－g(x)为R上的偶函数
C．为R上的偶函数
D．|f (x)g(x)|为R上的偶函数
(1)BC (2)D [(1)对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确；
对于B，因为函数y＝x sin x的定义域为R且f (－x)＝(－x)sin (－x)＝f (x)，
所以该函数为偶函数，所以B正确；
对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R，
且f (－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)，
所以函数为奇函数，所以C正确；
对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1，
所以函数的定义域不关于原点对称，
所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，所以D不正确．
(2)因为f (x)为R上的奇函数，
g(x)为R上的偶函数，
所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)．
对于A，x∈R，设F (x)＝f (x)＋g(x)，
则F (－x)＝f (－x)＋g(－x)＝－f (x)＋g(x)≠－f (x)－g(x)＝－F (x)，故错误；
对于B，x∈R，设N(x)＝f (x)－g(x)，
则N(－x)＝f (－x)－g(－x)＝－f (x)－g(x)≠f (x)－g(x)＝N(x)，故错误；
对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝，
M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误；
对于D，x∈R，设H(x)＝|f (x)g(x)|，
H(－x)＝|f (－x)g(－x)|＝|－f (x)g(x)|＝|f (x)g(x)|＝H(x)，
所以H(x)为偶函数，故正确．]
考点二 函数奇偶性的应用
[典例2] (1)(2024·邯郸期末)已知f (x)为奇函数，当x＞3时，f (x)＝x2－，则f (－4)＝( )
A．－9 B．9
C．－17 D．17
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝( )
A．－1 B．0
C． D．1
(3)(2024·海淀区二模)设f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝x2＋1，则f (x)的解析式为____________．
(1)A (2)B (3)f (x)＝[(1)因为f (x)为奇函数，当x＞3时，f (x)＝x2－，所以f (4)＝9，
则f (－4)＝－f (4)＝－9．故选A．
(2)法一：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B．
法二：因为f (x)＝(x＋a)ln 为偶函数，f (－1)＝(a－1)ln 3，f (1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3，所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0，经验证，a＝0符合题意．故选B．
(3)因为f (x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x＞0时，f (x)＝x2＋1，
所以当x＝0时，f (0)＝0；
当x＜0时，－x＞0，则有f (－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝－f (x) f (x)＝－x2－1，
综上所述，f (x)＝]
反思领悟 本例(1)先求出f (4)，再借助奇函数f (－x)＝－f (x)来解决；本例(2)先求出定义域(定义域优先)，再利用奇函数×奇函数＝偶函数，将f (x)分成两个函数相乘，分别讨论其奇偶性，或用特殊值求a；本例(3)求解析式，先将待求区间(－∞，0)的自变量转化到已知解析式x>0时，f (x)＝x2＋1上，再利用f (－x)＝－f (x)求解．
巩固迁移2 (1)已知奇函数f (x)的定义域为R，且当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝－－m，若f (－2 024)＋f (0)＝2，则实数m＝________．
(2)已知函数f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f (x)＋g(x)＝2·3x，则函数f (x)＝________．
(1)1 (2)3x＋3－x [(1)由f (x)为R上的奇函数，得f (－x)＝－f (x)且f (0)＝0，又f (－2 024)＋f (0)＝2，所以1＋m＋0＝2，得m＝1．
(2)因为f (x)＋g(x)＝2·3x，所以f (－x)＋g(－x)＝2·3－x，又f (x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)，所以f (－x)＋g(－x)＝f (x)－g(x)＝2·3－x，则两式相加得，2f (x)＝2·3x＋2·3－x，所以f (x)＝3x＋3－x．]
考点三 函数的周期性及应用
1．周期函数：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f (x＋T)＝f (x)，那么函数y＝f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．
[常用结论]
对f (x)定义域内任一自变量的值x：
(1)f (x＋a)＝f (x－a)，则函数的周期为2a；
(2)f (x＋a)＝－f (x)，则函数的周期为2a；
(3)f (x＋a)＝－(f (x)≠0)，则函数的周期为2a．
[典例3] (1)(2024·安康统考)设f (x)是定义域为R的偶函数，且f (2＋x)＝f (－x)，f ＝，则f 等于( )
A．－ B．－
C． D．
(2)(2025·泸州模拟)已知定义在R上的函数f (x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)的值为( )
A．2 024 B．2 023
C．1 D．0
(1)C (2)D [(1)因为f (x)是定义域为R的偶函数，所以f (－x)＝f (x)，
故f (2＋x)＝f (－x)＝f (x)，
所以f (x)的一个周期为2，
故f ＝f ＝f ＝f ＝．
(2)因为f (x)的周期为3，
f (－1)＝1，则f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)＝1，
又f (0)＝－2，则f (3)＝f (0＋3)＝f (0)＝－2，
因为函数f (x)在R上的图象关于y轴对称，
所以f (x)为偶函数，
故f (1)＝f (－1)＝1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＝0．
故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 025)＝675×0＝0．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝5－2(－x＋2)＝1＋2x，所以f＝1－＝－.故选A.]
反思领悟 本例(1)的解题关键是根据题目特征及周期定义，求出函数的周期；本例(2)的解题关键是利用函数的周期性，求出f (1)，f (2)，f (3)的值，进而解决问题．
巩固迁移3 (1)已知f (x)是定义在R上的奇函数， x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，若当x∈[0，1]时，f (x)＝log2(x＋a)，则f (－7)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
(2)若f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，且f (1)＝－5，则f (f (5))＝________．
(1)C (2)5 [(1)∵f (x)是定义在R上的奇函数，
∴f (0)＝0，得a＝1，∴当x∈时，
f (x)＝log2(x＋1)， x∈R，都有f (x＋4)＝f (x)，
∴f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (－7)＝f (－7＋8)＝f (1)＝1．故选C．
(2)因为f (x＋2)＝－f (x)，所以T＝4，所以f (5)＝f (1)＝－5，所以f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)．
令x＝－1，则f (1)＝－f (－1)＝－5，
所以f (f (5))＝f (－1)＝5．]
1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝cos x
C．y＝x3 D．y＝2x
B [对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；
对于B，由余弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；
对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；
对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x既不是奇函数也不是偶函数．故选B．]
2．已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝－f (x)，则f (2 024)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
B [因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (0)＝0，f (x＋2)＝f (x＋1＋1)＝－f (x＋1)＝f (x)，所以f (x)是周期为2的周期函数，所以f (2 024)＝f (0)＝0．]
3．已知函数f (x)＝2x－2－x＋5，若f (m)＝4，则f (－m)等于( )
A．4 B．6
C．－4 D．－6
B [由题意知，函数f (x)的定义域为R，关于原点对称，
设g(x)＝f (x)－5＝2x－2－x，
则g(－x)＝2－x－2x＝－g(x)，
即g(x)是奇函数，
故g(m)＋g(－m)＝0，
即f (m)－5＋f (－m)－5＝0，
即f (m)＋f (－m)＝10，
因为f (m)＝4，
所以f (－m)＝6．]
4．(2024·兰州期中)已知函数f (x)＝是奇函数，则实数a的值为________．
1 [由题得其自变量的取值须满足1－x2＞0，即为－1＜x＜1，中间有0，
又因为奇函数中f (0)＝0，所以f (0)＝＝1－a＝0 a＝1．]
【教用·备选题】
1．(2025·毕节市模拟)已知函数f (x)＝是奇函数，若f (2 023)＞f (2 024)，则实数a的值为( )
A．1 B．－1
C．±1 D．0
B [∵函数f (x)＝是奇函数，
∴f (－x)＋f (x)＝＝＝0，整理，得(1－a2)ex＝0，∴a＝±1，
当a＝1时，f (x)＝＝1－为增函数，不满足f (2 023)＞f (2 024)，故a≠1；
当a＝－1时，f (x)＝＝1＋为减函数，满足f (2 023)＞f (2 024)，符合题意．
故选B．]
2．(多选)(2024·昆明嵩明县期中)已知f (x)是定义在R上的偶函数，f (x＋1)为奇函数，当x∈[－1，0]时，f (x)＝k·3x－2，则下列说法中正确的是( )
A．f (x)图象关于点(1，0)对称
B．k＝6
C．f (2 026)＝－4
D．2是f (x)的一个周期
ABC [根据题意，依次分析选项：
对于A，f (x＋1)为奇函数，则f (1－x)＝－f (1＋x)，即f (x)图象关于点(1，0)对称，A正确；
对于B，由于f (1－x)＝－f (1＋x)，令x＝0可得，f (1)＝0，
又由f (x)为偶函数，得f (－1)＝f (1)＝0，则f (－1)＝k·3-1－2＝0，解得k＝6，B正确；
对于C，由于f (1－x)＝－f (1＋x)，变形可得f (－x)＝－f (x＋2)，
又由f (x)为偶函数，得f (－x)＝f (x)，
则有f (x＋2)＝－f (x)，变形可得f (x＋4)＝f (x)，
则f (2 026)＝f (2)＝－f (0)＝－(6·30－2)＝－4，C正确；
对于D，由于f (x＋2)＝－f (x)，2不是f (x)的周期，D错误．
故选ABC．]
3．(多选)(2025·长沙开福区模拟)设函数f (x)的定义域为R，f (x)为奇函数，f (1＋x)＝f (1－x)，f (3)＝1，则( )
A．f (－1)＝1 B．f (x)＝f (4＋x)
C．f (x)＝f (4－x) D．
ABD [函数f (x)的定义域为R，f (x)为奇函数，f (1＋x)＝f (1－x)，f (3)＝1，
所以f (2－x)＝f (x)，即f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，若C正确，则f (2＋x)＝－f (4－x)，
令x＝1，则f (3)＝0，不符合题意，C错误；
所以f (4＋x)＝f (x)，B正确；
因为f (3)＝1，所以f (－1)＝f (3)＝1，
所以f (1)＝－1，A正确；
由奇函数性质可得，f (0)＝0，所以f (4)＝f (0)＝0，
又f (1)＝－1，f (2)＝f (－2)＝－f (2)，
即f (2)＝0，f (3)＝1，
所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝－1＋0＋1＋0＝0，
＝f (1)＋f (2)＋…＋f (18)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)
＝0－1＋0＝－1，D正确．
故选ABD．]
4．(2024·广东茂南区三模)已知函数f (x)＝cos3x是偶函数，则a＝________．
－1 [因为f (x)＝cos3x是偶函数，
所以f (－x)＝f (x)恒成立，
所以(e－x－aex)cos3(－x)＝cos3x，
整理得(a＋1)＝0恒成立，
所以a＝－1．]
课后习题(九) 函数的奇偶性、周期性
1．(多选)(北师大版必修第一册P67例2改编)下列函数是奇函数的是( )
A．f (x)＝x(x∈[0，1]) B．f (x)＝3x2
C．f (x)＝ D．f (x)＝x|x|
CD [利用奇函数的定义，首先定义域需关于原点对称，排除选项A；函数f (x)是奇函数，需满足f (－x)＝－f (x)，排除选项B．故选CD．]
2．(多选)(苏教版必修第一册P126练习T4改编)对于定义在R上的函数f (x)，下列判断正确的是( )
A．若函数f (x)满足f (－2)＝f (2)，则f (x)是偶函数
B．若函数f (x)满足f (－2)≠f (2)，则f (x)不是偶函数
C．若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)是R上的增函数
D．若函数f (x)满足f (2)>f (1)，则f (x)不是R上的减函数
BD [A选项，若f (x)＝x(x2－4)，则f (－2)＝0，f (2)＝0，故f (－2)＝f (2)，因为f (x)的定义域为R，关于原点对称，且f (－x)＝－x[(－x)2－4]＝－x(x2－4)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，故A错误；
B选项，根据偶函数的定义知，若f (x)为偶函数，则f (－x)＝f (x)，因此满足f (2)≠f (－2)的函数必然不是偶函数，故B正确；
C选项，若f (x)＝x2，则f (2)＝4，f (1)＝1，故f (2)>f (1)，但函数f (x)＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；
D选项，因为2>1，f (2)>f (1)，所以f (x)不是R上的减函数，故D正确．]
3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13改编)已知函数f (x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f (2025)＝k，则f (－2 025)等于( )
A．k B．－k
C．1－k D．2－k
D [法一：令g(x)＝ax3＋bx(ab≠0)，易知g(x)是奇函数，从而f (2 025)＝g(2 025)＋1，f (－2 025)＝g(－2 025)＋1＝－g(2 025)＋1．
又因为f (2 025)＝k，所以g(2 025)＝k－1，
从而f (－2 025)＝－(k－1)＋1＝2－k．
法二：因为f (－x)＋f (x)＝－ax3－bx＋1＋ax3＋bx＋1＝2，所以f (－2 025)＋f (2 025)＝2．
又因为f (2 025)＝k，所以f (－2 025)＝2－k．]
4．(人教A版必修第一册P86习题3.2T11改编)函数f (x)在R上为偶函数，且x>0时，f (x)＝＋1，则当x<0时，f (x)＝________．
＋1 [∵f (x)为偶函数，x>0时，f (x)＝＋1，
∴当x<0时，－x>0，f (x)＝f (－x)＝＋1，
即x<0时，f (x)＝＋1．]
5．(2024·泰安四模)设f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)，则f 的值为( )
A．－1 B．－2
C．2 D．1
B [因为f (x)是定义在R上的奇函数，且f (1＋x)＝f (1－x)，
所以f (2＋x)＝f (－x)＝－f (x)，
所以f (4＋x)＝f (x)，所以函数f (x)的周期为4．
当－1≤x＜0时，f (x)＝log2(－6x＋2)，
所以f ＝log24＝2，则f ＝f ＝f ＝－f ＝－2．故选B．]
6．(2024·晋城三模)若函数y＝f (x)－1是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝( )
A．3 B．2
C．－2 D．－3
A [根据题意，设F (x)＝f (x)－1，则F (x)＋F (－x)＝0，即f (x)－1＋f (－x)－1＝0，
即f (x)＋f (－x)＝2，所以f (1)＋f (－1)＝2．
因为F (0)＝f (0)－1＝0，
所以f (0)＝1，f (－1)＋f (0)＋f (1)＝2＋1＝3．
故选A．]
7．(2024·海南昌江县二模)已知f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x，则f (15)＝( )
A．3 B．－3
C．255 D．－255
B [因为f (x)是R上的奇函数，且f (x＋2)＝－f (x)，
所以f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)的周期T＝4，
当x∈[0，1]时，f (x)＝x2＋2x，
则f (15)＝f (－1)＝－f (1)＝－3．
故选B．]
8．(2025·西安雁塔区模拟)已知函数f (x)＝a＋(ab≠0)是奇函数，则( )
A．2a＋b＝1 B．2a－b＝－1
C．a＋b＝1 D．a－b＝－1
B [函数f (x)＝a＋(ab≠0)，其定义域为{x|x≠0}，
又由f (x)是奇函数，则f (－x)＋f (x)＝0，
即a＋＋a＋＝2a＋＝2a＋
＝2a＋＝2a＋1－b＝0，
所以2a－b＝－1．故选B．]
9．(2024·梅州五华区一模)定义在R上的函数f (x)满足f (1－x)＝f (x＋1)，且y＝f (x＋2)为奇函数．当x∈(2，3]时，f (x)＝(x－2)3－3(x－2)，则f (2 025)＝( )
A．－5 B．2
C．－1 D．1
B [因为函数y＝f (x＋2)为奇函数，则f (－x＋2)＝－f (x＋2)，
即f (2－x)＋f (2＋x)＝0，可得f (4－x)＋f (x)＝0．
又因为f (1－x)＝f (x＋1)，则f (4－x)＝f (x－2)，
所以f (x)＋f (x－2)＝0，可得f (x)＋f (x＋2)＝0，
则f (x＋2)＝f (x－2)，即f (x＋4)＝f (x)，
所以f (x)是周期为4的周期函数，又f (3)＝－2，f (1)＝2，
所以f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝2．
故选B．]
10．(2025·烟台模拟)已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＋f (2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f (x)＝2x，则f (2＋log25)的值为________．
－ [因为f (2－x)＝－f (x)＝f (－x)，
所以f (2＋x)＝f (x)，
所以f (x)的周期为2，
所以f (2＋log25)＝f
＝f ＝－f ，
又－1＜log2＜0，
所以f (2＋log25)＝－f＝＝－．]
11．(2025·合肥肥西县模拟)若函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x)＝则f (5)＋f ＝________．
[根据题意，函数f (x)(x∈R)是周期为4的奇函数，
则f (5)＝f (1)，f ＝f ＝f ＝－f ，
又由函数f (x)在[0，2]上的解析式为f (x)＝
则f (5)＝f (1)＝0，f ＝－f ＝－sin π＝，
则f (5)＋f ＝0＋＝．]
12．(2024·江西宜春高三校考)定义在R上的不恒为零的偶函数f (x)满足xf (x＋2)＝(x＋2)f (x)，且f (2)＝4．则＝________．
120 [由题意可知，＝，且＝2，
则＝＝＝＝＝2，
所以f (2)＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝2(2＋4＋6＋8＋10)＝60，
因为函数f (x)为偶函数，所以f (－2)＋f (－4)＋f (－6)＋f (－8)＋f (－10)＝60，
则＝60＋60＝120．]
1/1第4课时 基本不等式
[考试要求] 1．了解基本不等式的推导过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．掌握基本不等式在实际生活中的应用．
考点一 基本不等式的内容及求最值
1．基本不等式：
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0．
(2)等号成立的条件：当且仅当___时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥___(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值_______．
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值．
提醒：使用基本不等式及其变形求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
直接法求最值
[典例1] 已知函数y＝(x>0)，则y的最大值为( )
A．2＋4 B．2
C．2－4 D．4
[听课记录]
反思领悟 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．
巩固迁移1 (2024·柳州月考)已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为( )
A．4 B．4
C．6 D．8
配凑法求最值
[典例2] (2025·安顺模拟)已知0＜x＜2，则3x(2－x)的最大值是( )
A．－3 B．3
C．1 D．6
[听课记录]
反思领悟 配凑法的关键是配凑出和为常数(积有最值)(如本例)，积为常数(和有最值)的形式，再利用基本不等式求解．
巩固迁移2 (人教A版必修第一册P48习题2.2T1改编)已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于( )
A． B．
C．4 D．6
常数代换法求最值
[典例3] 已知正数a，b满足＝1，则8a＋b的最小值为( )
A．54 B．56
C．72 D．81
[听课记录]
反思领悟 本例解题的关键是利用8a＋b与1的积为自身的性质，通过构造为定值，然后利用基本不等式求最值．
巩固迁移3 已知a，b为正实数，且满足a＋2b＝1，则的最小值为( )
A．4 B．4＋2
C．8 D．6
消元法求最值
[典例4] 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
[听课记录]
反思领悟 本例中有两个变量，可利用x＋3y＋xy＝9消去x(或y)凑出“积为常数”，然后利用基本不等式求最值．
巩固迁移4 若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为( )
A．9 B．6
C．3 D．12
考点二 基本不等式的实际应用
[典例5] 春节期间，车流量较大，可以通过管控车流量，提高行车安全，在某高速公路上的某时间段内车流量y(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：万辆/小时)与汽车的平均速度v(单位：千米/小时)、平均车长l(单位：米)之间满足函数关系y＝(0(1)求该车型的平均车长l；
(2)该车型的汽车在该时间段内行驶，当汽车的平均速度v为多少时车流量y达到最大值？
[听课记录]
反思领悟 利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
巩固迁移5 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元．
若a>0，b>0，则．其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数．要根据题目需要选择合适的形式．
[典例] (多选)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )
A．有最大值 B．有最小值3
C．a2＋b2有最小值 D．有最大值
[听课记录]
反思领悟 利用不等式链可以使得某些判断数(式)的大小问题、最值问题的求解更加简便．
应用体验 当1．已知a＞0，b＞0，＝1，则的最小值为( )
A． B．2
C． D．6
2．(2025·上海普陀区校级模拟)已知实数x，y满足x＋2y＝5，则2x＋4y的最小值为________．
3．某校生物兴趣小组为开展课题研究，分得一块面积为32 m2的矩形空地，并计划在该空地上设置三块全等的矩形试验区(如图所示)．要求试验区四周各空0.5 m，各试验区之间也空0.5 m．则每块试验区的面积的最大值为________m2．
