函数性质的综合应用
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
题型一 函数的奇偶性与单调性
[典例1] (1)设f (x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1>0且x1＋x2<0，则( )
A．f (x1)>f (x2)
B．f (x1)＝f (x2)
C．f (x1)D．f (x1)与f (x2)的大小关系不确定
(2)(2024·曲靖麒麟区三模)若定义在R上的函数满足f (x－2)＝－f (2－x)，且在(－∞，0)单调递减，f (3)＝0，则满足(x－1)f (x)≥0的x的取值范围是( )
A．[－3，0]∪[1，3]
B．(－∞，－3]∪{0}∪[1，3]
C．[－3，0)∪[1，3]
D．[1，＋∞)
(1)A (2)A [(1)由x1>0，x1＋x2<0，得0f (－x2)，f (x)是偶函数，f (－x2)＝f (x2)，
∴f (x1)>f (x2)．
(2)因为定义在R上的函数满足f (x－2)＝－f (2－x)，
所以f (x)为奇函数，
因为f (x)在(－∞，0)单调递减，f (3)＝0，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，且f (－3)＝－f (3)＝0，f (0)＝0，
由(x－1)f (x)≥0可得或
即或或x＝0，
即1≤x≤3或－3≤x≤0．故选A．]
反思领悟 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法
(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．
(2)抽象不等式问题，解题步骤是：
①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
题型二 函数的奇偶性与周期性
[典例2] 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)单调递增，则( )
A．f (6)B．f (6)C．f (－7)D．f B [∵f (x＋2)＝－f (x)，
∴f (x＋4)＝f ((x＋2)＋2)＝－f (x＋2)＝f (x)，
∴函数f (x)是周期为4的周期函数，
∴f (6)＝f (2)＝－f (0)＝f (0)，
f (－7)＝f (1)，
f ＝f ＝－f ＝f ，
又当x∈[0，1]时f (x)单调递增，
∴f (0)即f (6)反思领悟 本题解题关键是利用奇偶性和周期性将f (6)，f (－7)，f 中的6，－7，转化到单调区间[0，1]内再比较大小．
题型三 函数性质的综合应用
[典例3] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，且y＝f (x＋3)为偶函数．若f (x)在(0，3)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．f (10)B．f ()C．f (ln 2)D．f (ln 2)A [∵f (x＋6)＝f (x)，∴f (x)的周期为6．
又∵y＝f (x＋3)为偶函数，∴f (x＋3)＝f (－x＋3)，∴f (10)＝f (4＋6)＝f (4)＝f (1＋3)＝f (－1＋3)＝f (2)．
∵1<<2，0∴0又∵f (x)在(0，3)上单调递减，∴f (2)故选A．]
反思领悟 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
【教用·备选题】 1．(2024·辽宁六校联考)若定义在R上的奇函数f (x)满足f (2－x)＝f (x)，在区间(0，1)上，有(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0，则下列说法正确的是( ) A．函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称 B．函数f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称 C．在区间(2，3)上，f (x)单调递减 D．f >f C [f (4－x)＝f (2－(x－2))＝f (x－2)＝－f (2－x)＝－f (x)， 即f (4－x)＋f (x)＝0，故f (x)的图象关于点(2，0)成中心对称，B错误； ∵f (2－x)＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，A错误； 根据题意可得，f (x)在(0，1)上单调递增， ∵f (x)的图象关于直线x＝1成轴对称，关于点(2，0)成中心对称，则f (x)在(2，3)上单调递减，C正确； 又∵f (x)＝f (2－x)＝－f (x－2)，则f (x＋2)＝－f (x)， ∴f (x＋4)＝－f (x＋2)＝f (x)，可知f (x)的周期为4， 则f ＝f 进阶训练(一) 函数性质的综合应用
1．(2024·西安临潼区二模)下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝－x|x| D．y＝e－x
C [在A中，y＝是奇函数，减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，故A错误；
在B中，y＝x3是奇函数，没有减区间，增区间为(－∞，＋∞)，故B错误；
在C中，y＝－x|x|＝是奇函数，减区间为(－∞，＋∞)，故C正确；
在D中，y＝e－x是非奇非偶函数，减区间为(－∞，＋∞)，故D错误．
故选C．]
2．(2024·宜宾三模)已知函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)，则不等式f (2x－3)＞f (5)的解集是( )
A．(－∞，1)∪(4，＋∞) B．(－∞，4)
C．(1，＋∞) D．(1，4)
D [因为函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减且对任意x∈R满足f (1＋x)＝f (3－x)，
所以f (x)的图象关于x＝2对称，
故f (x)在(－∞，2)上单调递增，
则不等式f (2x－3)＞f (5)可转化|2x－3－2|＜3，
解得1＜x＜4．故选D．]
3．(多选)(2025·大理南涧县模拟)函数f (x)在其定义域上的图象是如图所示折线段ABC，其中点A，B，C的坐标分别为(1，2)，(－1，0)，(－3，2)，以下说法中正确的是( )
A．f (f (－2))＝2
B．f (x＋1)为偶函数
C．f (x)－1≥0的解集为[－3，－2]∪[0，1]
D．若f (x)在[－3，m]上单调递减，则m的取值范围为(－3，－1]
ACD [由题图可得f (－2)＝1，所以f (f (－2))＝f (1)＝2，A正确；
由题图可得f (x)的图象关于x＝－1对称，所以f (x＋1)的图象关于x＝－2对称，B错误；
由题图可得f (x)－1≥0，即f (x)≥1的解集为[－3，－2]∪[0，1]，C正确；
由题图可得f (x)在[－3，－1]上单调递减，所以m的取值范围为(－3，－1]，D正确．故选ACD．]
4．(多选)(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)＝－，则函数具有下列性质( )
A．函数f (x)的图象关于点(－1，－1)对称
B．函数f (x)在(－1，＋∞)上单调递增
C．函数f (x)的图象过原点
D．函数f (x)的值域为{y|y≠－1}
ACD [函数f (x)＝－＝－1＋，f (－1＋x)＋f (－1－x)＝－1＋－1－＝－2，
可得f (x)的图象关于点(－1，－1)对称，故A正确；
f (x)＝－1＋在(－1，＋∞)上单调递减，故B错误；
由f (0)＝0，可得f (x)的图象经过原点，故C正确；
由f (x)＝－1＋，可得f (x)的值域为{y|y≠－1}，故D正确．故选ACD．]
5．(2025·湖北武汉模拟)已知函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称，当x∈[－1，1]时，f (x)＝ax－1，则f (2 024)＝( )
A．－1 B．－2 C．0 D．2
A [根据题意，函数f (x－1)(x∈R)是偶函数，则函数f (x)图象的对称轴为直线x＝－1，
则有f (x)＝f (－2－x)，又由函数f (x)的图象关于点(1，0)成中心对称，
则f (x)＝－f (2－x)，则有f (－2－x)＝－f (2－x)，则f (x＋4)＝－f (x)，
则有f (x＋8)＝－f (x＋4)＝f (x)，则函数f (x)是周期为8的周期函数，则f (2 024)＝f (0＋253×8)＝f (0)＝－1．
故选A．]
6．(2024·江苏苏州期末)已知定义在R上的函数f (x)的图象连续不间断，有下列四个命题：
甲：f (x)是奇函数；
乙：f (x)的图象关于点(2，0)对称；
丙：f (22)＝0；
丁：f (x＋6)＝f (x)．
如果有且仅有一个是假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [若甲丁成立，则f (－x)＝－f (x)，
f (x＋6)＝f (x)，
∴f (x＋6)＝－f (－x)，
∴f (x)的图象关于点(3，0)对称，
f (22)＝f (4)≠0，乙丙不成立，
∴甲和丁中有一个为假命题，
若甲乙成立，则f (－x)＝－f (x)，
f (4－x)＝－f (x)，∴f (4－x)＝f (－x)，
函数f (x)的周期为4．
∴f (22)＝f (2)＝0，∴丙成立，丁不成立，
∵只有一个假命题，即丁为假命题．故选D．]
7．(多选)(2025·山西大同模拟)奇函数f (x)与偶函数g(x)的定义域均为R，且满足f (x)－g(x)＝2x，则下列判断正确的是( )
A．f (x)＋g(x)≥0
B．f (x)＝
C．f (x)在R上单调递增
D．g(x)的值域为(－∞，－1]
BCD [因为f (x)－g(x)＝2x，①
所以f (－x)－g(－x)＝2－x．
因为f (x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以f (－x)＝－f (x)，g(－x)＝g(x)，
所以－f (x)－g(x)＝2－x，②
由①②得，f (x)＝，g(x)＝－，
则f (x)＋g(x)＝－2－x<0，故A错误，B，C正确．
因为g(x)＝－≤－＝－1，
所以D正确．故选BCD．]
8．(2025·格尔木市模拟)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋2)＝－f (－x)，则f (1 000)＝________．
0 [因为函数f (x)是定义在R上的奇函数，
由奇函数性质可得，f (0)＝0，
又f (x＋2)＝－f (－x)＝f (x)，
可得函数f (x)的周期为2，有f (1 000)＝f (0)＝0．]
9．(2024·沧州期末)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且满足f (x＋1)＝f (x－3)，当x∈(0，2)时，f (x)＝x2－，则f (2 025)＝________．
－1 [∵f (x＋1)＝f (x－3)，∴f (x＋4)＝f (x)，
∴4是f (x)的一个周期，
∴f (2 025)＝f (4×506＋1)＝f (1)＝1－2＝－1．]
1/1 函数性质的综合应用
函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．
题型一 函数的奇偶性与单调性
[典例1] (1)设f (x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，若x1>0且x1＋x2<0，则( )
A．f (x1)>f (x2)
B．f (x1)＝f (x2)
C．f (x1)D．f (x1)与f (x2)的大小关系不确定
(2)(2024·曲靖麒麟区三模)若定义在R上的函数满足f (x－2)＝－f (2－x)，且在(－∞，0)单调递减，f (3)＝0，则满足(x－1)f (x)≥0的x的取值范围是( )
A．[－3，0]∪[1，3]
B．(－∞，－3]∪{0}∪[1，3]
C．[－3，0)∪[1，3]
D．[1，＋∞)
[尝试解答]
反思领悟 奇偶性与单调性综合的两种题型及解法
(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．
(2)抽象不等式问题，解题步骤是：
①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；
②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．
题型二 函数的奇偶性与周期性
[典例2] 已知定义在R上的奇函数f (x)满足f (x＋2)＝－f (x)，当x∈[0，1]时，f (x)单调递增，则( )
A．f (6)B．f (6)C．f (－7)D．f [尝试解答]
反思领悟 本题解题关键是利用奇偶性和周期性将f (6)，f (－7)，f 中的6，－7，转化到单调区间[0，1]内再比较大小．
题型三 函数性质的综合应用
[典例3] 已知定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，且y＝f (x＋3)为偶函数．若f (x)在(0，3)上单调递减，则下列结论正确的是( )
A．f (10)B．f ()C．f (ln 2)D．f (ln 2)[尝试解答]
反思领悟 对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
