函数的基本性质综合性较强，应用起来灵活多变，且渗透性很高，是高考的热点和难点．高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数性质的应用，常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
(2024·新高考Ⅰ卷T6)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
[阅读与思考] 因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1．
综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B．
归纳总结：根据函数单调性构建参数满足的不等式(组)是解答本题的关键．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
本题源自北师大版教材必修第一册P73复习题二C组T3．教材原题与真题实质都是以分段函数为载体，考查利用函数单调性求参数的取值(范围)．求解方法完全一样，都是根据单调性构建参数满足的不等式组，不同之处在于教材原题中当x≥0时，f (x)＝－x＋3a，为一次函数；而真题中，当x≥0时f (x)＝ex＋ln (x＋1)，为指对复合函数，难度稍高于教材．
试题评价：本题以判断函数单调性的方法为素材，考查学生的逻辑推理能力，运算能力．在学习中，我们应遵循教育规律，突出数学本质，夯实基础，回归课标，重视教材和课本基本概念的学习理念．
附：(北师大版必修第一册复习题二P73C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
[听课记录]
第1课时 函数的概念及其表示
[考试要求] 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考点一 函数的概念
概念 一般地，设A，B是______，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_______和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 定义域 x的取值范围A
对应 关系 y＝f (x)，x∈A
值域 与x的值相对应的y值的集合___________
提醒：以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为．
[典例1] (1)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，如图所示的图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
A B
C D
(2)已知函数f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则f (2x－1)的定义域为( )
A．(－4，1) B．
C．(－9，1) D．
(3)(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域为____________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)考查对函数概念的理解，关键在于集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)中，f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则由－5
巩固迁移1 (1)若函数f (x)＝的定义域为M，则M＝( )
A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[2，3) D．[2，3)∪(3，＋∞)
(2)若函数f (x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为( )
A．(1，8] B．[－4，1)∪(1，8]
C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2]
(3)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．[0，2] B．[0，8)
C．(0，8] D．(0，8)
考点二 同一个函数
如果两个函数的___相同，并且____完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[典例2] (2025·深圳坪山区模拟)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x－1
C．y＝与y＝x
D．y＝与y＝x
[听课记录]
反思领悟 只有定义域和对应关系(化简之后的解析式)都相同的两个函数才是同一个函数．
巩固迁移2 下列选项中是同一个函数的是( )
A．y＝x0－1与y＝0
B．y＝·与y＝
C．y＝x与z＝
D．y＝x2＋x与y＝
考点三 函数解析式
[典例3] 求下列函数的解析式．
(1)已知f ＝ln x，求f (x)；
(2)已知f ＝x4＋，求f (x)；
(3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)用的“换元法”，关键令＋1＝t，要注意换元前后自变量范围的变化；本例(2)用的“配凑法”，关键是发现x4＋＝－2；本例(3)用的“待定系数法”，已知函数类型，均可用此法；本例(4)用的“解方程组法”，关键是用－x替换已知式中的x，构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
提醒：定义域不要漏写．
巩固迁移3 (1)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
考点四 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
提醒：(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[典例4] (1)已知函数f (x)＝那么f (3)的值是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________．
[听课记录]
反思领悟 由于分段函数在x的不同取值范围内对应的解析式不同，所以做题时应注意函数解析式的选择．本例(1)因为3>0，所以代入f (x)＝2x中；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f ()的值为2，再求f (f ())＝f (2)＝1＋a．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
巩固迁移4 (1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
(2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是________________．
1．(2025·长沙雨花区模拟)函数f (x)＝的定义域是( )
A．[－2，2] B．(－2，2)
C．{x|x＜－2，或x＞2} D．{－2，2}
2．(2024·济南二模)下列四组函数，表示同一个函数的是( )
A．f (x)＝x＋1，g(x)＝
B．f (x)＝，g(x)＝x
C．f (x)＝|x|，g(x)＝－x
D．f (x)＝x＋1，g(t)＝t＋1
3．(2024·聊城一中期中)已知函数f (x)＝则f (3)＋f (4)＝( )
A．37 B．41
C．19 D．23
4．已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)的解析式为________． 函数的基本性质综合性较强，应用起来灵活多变，且渗透性很高，是高考的热点和难点．高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数性质的应用，常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．
(2024·新高考Ⅰ卷T6)已知函数f (x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
[阅读与思考] 因为函数f (x)在R 上单调递增，且当x<0时，f (x)＝－x2－2ax－a，所以f (x)＝－2ax－a在(－∞，0)上单调递增，所以－＝－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f (x)＝ex＋ln (x＋1)，所以函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增．若函数f (x)在R上单调递增，则－a≤f (0)＝e0＋ln 1＝1，即a≥－1．
综上，实数a的取值范围是[－1，0]．故选B．
归纳总结：根据函数单调性构建参数满足的不等式(组)是解答本题的关键．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
本题源自北师大版教材必修第一册P73复习题二C组T3．教材原题与真题实质都是以分段函数为载体，考查利用函数单调性求参数的取值(范围)．求解方法完全一样，都是根据单调性构建参数满足的不等式组，不同之处在于教材原题中当x≥0时，f (x)＝－x＋3a，为一次函数；而真题中，当x≥0时f (x)＝ex＋ln (x＋1)，为指对复合函数，难度稍高于教材．
试题评价：本题以判断函数单调性的方法为素材，考查学生的逻辑推理能力，运算能力．在学习中，我们应遵循教育规律，突出数学本质，夯实基础，回归课标，重视教材和课本基本概念的学习理念．
附：(北师大版必修第一册复习题二P73C组T3)已知函数f (x)＝在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
第1课时 函数的概念及其表示
[考试要求] 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
考点一 函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 定义域 x的取值范围A
对应 关系 y＝f (x)，x∈A
值域 与x的值相对应的y值的集合{f (x)|x∈A}
提醒：以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合．
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合．
(3)f (x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f (x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)正切函数y＝tan x的定义域为．
[典例1] (1)已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，如图所示的图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是( )
A B
C D
(2)已知函数f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则f (2x－1)的定义域为( )
A．(－4，1) B．
C．(－9，1) D．
(3)(人教A版必修第一册P65例2改编)函数f (x)＝＋(x－1)0的定义域为____________．
(1)D (2)B (3)∪(1，＋∞) [(1)对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2(2)因为函数f (x＋1)的定义域是(－5，0)，设t＝x＋1，所以t∈(－4，1)，则f (t)的定义域为(－4，1)，所以2x－1∈(－4，1)，解得x∈．故选B．
(3)要使函数f (x)＝＋(x－1)0有意义，则解得x>且x≠1，因此，函数f (x)的定义域为∪(1，＋∞)．]
反思领悟 本例(1)考查对函数概念的理解，关键在于集合A中任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数y与之对应；本例(2)中，f (x＋1)的定义域为(－5，0)，则由－5【教用·反思领悟】
求函数的定义域的策略
(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求抽象函数的定义域：
①若f (x)的定义域为[m，n]，则在f (g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f (g(x))的定义域．
②若f (g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f (x)的定义域．
巩固迁移1 (1)若函数f (x)＝的定义域为M，则M＝( )
A．[2，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[2，3) D．[2，3)∪(3，＋∞)
(2)若函数f (x)的定义域为[－2，4]，则y＝的定义域为( )
A．(1，8] B．[－4，1)∪(1，8]
C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2]
(3)已知函数f (x)＝的定义域为R，则实数a的取值范围是( )
A．[0，2] B．[0，8)
C．(0，8] D．(0，8)
(1)D (2)D (3)B [(1)由已知得解得x≥2且x≠±3，即函数f (x)＝的定义域为[2，3)∪(3，＋∞)．故选D．
(2)由题意得解得－1≤x≤2且x≠1．故选D．
(3)因为函数定义域为R，所以ax2＋ax＋2≠0在x∈R上恒成立．当a＝0时，ax2＋ax＋2＝2≠0满足要求；当a≠0时，要满足Δ＝a2－8a<0，解得0考点二 同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
[典例2] (2025·深圳坪山区模拟)下列各组函数是同一个函数的是( )
A．y＝与y＝1
B．y＝与y＝x－1
C．y＝与y＝x
D．y＝与y＝x
D [对于选项A：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为R，故错误；
对于选项B：y＝＝|x－1|和函数y＝x－1的对应关系不同，故错误；
对于选项C：y＝的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为R，故错误；
对于选项D：y＝＝x的定义域为R，函数y＝x的定义域为R，故正确．
故选D．]
反思领悟 只有定义域和对应关系(化简之后的解析式)都相同的两个函数才是同一个函数．
巩固迁移2 下列选项中是同一个函数的是( )
A．y＝x0－1与y＝0
B．y＝·与y＝
C．y＝x与z＝
D．y＝x2＋x与y＝
C [y＝x0－1的定义域为{x|x≠0}，y＝0的定义域为R，故A错误；
y＝·的定义域为{x|x≥2}，y＝的定义域为{x|x≥2，或x≤－2}，故B错误；
y＝x，z＝＝y，定义域、值域、对应关系均相同，故C正确；
y＝x2＋x的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠0}，故D错误．故选C．]
考点三 函数解析式
[典例3] 求下列函数的解析式．
(1)已知f ＝ln x，求f (x)；
(2)已知f ＝x4＋，求f (x)；
(3)已知f (x)是一次函数，且满足3f (x＋1)－2f (x－1)＝2x＋17，求f (x)；
(4)已知f (x)满足2f (x)＋f (－x)＝3x，求f (x)．
[解] (1)令＋1＝t(t>1)，则x＝，
∴f (t)＝ln ，
∴f (x)＝ln (x>1)．
(2)∵f ＝x4＋＝－2，
令t＝x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时取等号，
∴f (t)＝t2－2(t≥2)，
∴f (x)＝x2－2(x≥2)．
(3)设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则3f (x＋1)－2f (x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f (x)＝2x＋7．
(4)∵2f (x)＋f (－x)＝3x，①
∴将x用－x替换得2f (－x)＋f (x)＝－3x，②
由①②解得f (x)＝3x．
反思领悟 本例(1)用的“换元法”，关键令＋1＝t，要注意换元前后自变量范围的变化；本例(2)用的“配凑法”，关键是发现x4＋＝－2；本例(3)用的“待定系数法”，已知函数类型，均可用此法；本例(4)用的“解方程组法”，关键是用－x替换已知式中的x，构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x)．
提醒：定义域不要漏写．
巩固迁移3 (1)已知f (＋1)＝x－2，则f (x)＝________．
(2)已知f (x)满足f (x)－2f ＝2x，则f (x)＝________．
(3)设函数f (x)是单调递增的一次函数，满足f (f (x))＝16x＋5，则f (x)＝________．
(1)x2－4x＋3(x≥1) (2)－x－ (3)4x＋1 [(1)法一(换元法)：令t＝＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，
代入原式有f (t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，
所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
法二(配凑法)：f (＋1)＝x＋2＋1－4－4＋3＝(＋1)2－4(＋1)＋3，
因为＋1≥1，所以f (x)＝x2－4x＋3(x≥1)．
(2)因为f (x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f (x)＝，②
①＋②×2得－3f (x)＝2x＋，
所以f (x)＝－x－．
(3)因为f (x)为单调递增的一次函数，所以设f (x)＝ax＋b，a>0，故f (f (x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，
所以a2＝16，ab＋b＝5，解得a＝4，b＝1．因此f (x)＝4x＋1．]
考点四 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
提醒：(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
[典例4] (1)已知函数f (x)＝那么f (3)的值是( )
A．8 B．7
C．6 D．5
(2)已知a∈R，函数f (x)＝若f (f ())＝3，则a＝________．
(1)A (2)2 [(1)因为函数f (x)＝
所以f (3)＝23＝8．故选A．
(2)因为>2，所以f ()＝6－4＝2，
所以f (f ())＝f (2)＝1＋a＝3，解得a＝2．]
反思领悟 由于分段函数在x的不同取值范围内对应的解析式不同，所以做题时应注意函数解析式的选择．本例(1)因为3>0，所以代入f (x)＝2x中；本例(2)在求解时要先内后外，即先求出f ()的值为2，再求f (f ())＝f (2)＝1＋a．
提醒：当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
巩固迁移4 (1)(多选)已知函数f (x)＝则下列关于函数f (x)的结论正确的是( )
A．f (x)的定义域为R
B．f (x)的值域为(－∞，4]
C．若f (x)＝2，则x的值是－
D．f (x)<1的解集为(－1，1)
(2)已知函数f (x)＝若f (a)＝4，则实数a的值是________；若f (a)≥2，则实数a的取值范围是________________．
(1)BC (2)－2或5 [－3，－1)∪[4，＋∞) [(1)函数f (x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；
当－2≤x<1时，f (x)＝x2的值域为[0，4]，当x≥1时，f (x)＝－x＋2的值域为(－∞，1]，故f (x)的值域为(－∞，4]，故B正确；
当x≥1时，令f (x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f (x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；
当－2≤x<1时，令f (x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f (x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f (x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误．故选BC．
(2)若f (a)＝4，
则或
解得a＝－2或a＝5．
若f (a)≥2，则或
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．]
1．(2025·长沙雨花区模拟)函数f (x)＝的定义域是( )
A．[－2，2] B．(－2，2)
C．{x|x＜－2，或x＞2} D．{－2，2}
D [f (x)＝，则
解得x＝2或－2，
故所求定义域为{－2，2}．
故选D．]
2．(2024·济南二模)下列四组函数，表示同一个函数的是( )
A．f (x)＝x＋1，g(x)＝
B．f (x)＝，g(x)＝x
C．f (x)＝|x|，g(x)＝－x
D．f (x)＝x＋1，g(t)＝t＋1
D [对于A，因为f (x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，
所以两个函数的定义域不相等，所以这两个函数不是同一个函数，所以A错误；
对于B，f (x)，g(x)的定义域都为R，因为f (x)＝＝|x|≠g(x)，
所以两个函数不是同一个函数，所以B错误；
对于C，f (x)，g(x)的定义域都为R，
因为f (x)＝|x|＝与g(x)＝－x解析式不同，
所以这两个函数不是同一个函数，所以C错误；
对于D，因为f (x)，g(t)的定义域都为R，且对应关系相同，所以f (x)与g(t)是同一个函数，
所以D正确．
故选D．]
3．(2024·聊城一中期中)已知函数f (x)＝则f (3)＋f (4)＝( )
A．37 B．41
C．19 D．23
B [因为f (x)＝则f (3)＝f (9)＝3×9＋1＝28，f (4)＝3×4＋1＝13，
因此，f (3)＋f (4)＝41．
故选B．]
4．已知f (x)是二次函数且f (0)＝2，f (x＋1)－f (x)＝x－1，则f (x)的解析式为________．
f (x)＝x2－x＋2 [设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝2，得c＝2，
又f (x＋1)－f (x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，
即2ax＋a＋b＝x－1，
∴即
∴f (x)＝x2－x＋2．]
【教用·备选题】
1．(2025·湖北省武昌实验中学校考模拟)已知函数f (x)＝则f (1＋log23) 的值为( )
A．6 B．11
C．24 D．36
C [1＋log23∈(2，3)，
所以f (1＋log23)＝f (3＋log23)＝
＝23·＝8×3＝24．
故选C．]
2．(2025·福建福州模拟)下列四组函数中，f (x)与g(x)是同一个函数的是( )
A．f (x)＝x，g(x)＝
B．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg x2
C．f (x)＝|x|，g(x)＝
D．f (x)＝，g(x)＝
C [A选项，f (x)＝x的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；
B选项，f (x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数；
C选项，g(x)＝＝|x|＝f (x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数；
D选项，f (x)＝的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数．
故选C．]
3．设函数f (x)＝
(1)如果f (1)＝3，那么实数a＝________；
(2)如果函数y＝f (x)－2有且仅有两个零点，那么实数 a的取值范围是________．
(1)－2或4 (2)(－1，3] [(1)由题意f (1)＝|1－a|＝3，解得a＝－2或a＝4．
(2)当x>1时，由f (x)－2＝0得f (x)＝2，
即log3x＝2，解得x＝9；
若函数y＝f (x)－2有且仅有两个零点，
则等价为x≤1时，|x－a|＝2只有一个根，
由|x－a|＝2，解得x＝a＋2或x＝a－2，
若当x≤1时，|x－a|＝2只有一个根，
则满足a＋2>1且a－2≤1，
即a>－1且a≤3，
即－1课后习题(六) 函数的概念及其表示
1．(人教A版必修第一册P67练习T1改编)函数f (x)＝的定义域为( )
A． B．
C． D．
D [要使f (x)有意义，只需满足即x≤且x≠0．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P67练习T3改编)下列各组函数为同一个函数的是( )
A．f (x)＝1，g(x)＝x0
B．f (x)＝，g(x)＝|x|
C．表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2
D．f (t)＝，g(t)＝t＋4(t≠4)
BD [对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；
对于C，函数h＝130t－5t2中，0≤t≤26，而函数y＝130x－5x2中，x∈R，即这两个函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．故选BD．]
3．(多选)(苏教版必修第一册P112习题5.1T4，T6改编)下列说法正确的是( )
A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数
B．函数y＝f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点
C．若f (x)＝|x－1|－|x|，则f ＝1
D．f (x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一个函数
BCD [对于A选项，有不等式组无解，A错误；对于B选项，根据函数的概念知，当函数f (x)在x＝1处无定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1无交点，当函数f (x)在x＝1处有定义时，函数f (x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数f (x)的图象与直线x＝1最多有1个交点，B正确；对于C选项，因为f (x)＝|x－1|－|x|，所以f ＝0，故f ＝f (0)＝1，C正确；对于D选项，两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，故这两个函数是同一个函数，D正确．故选BCD．]
4．(多选)(人教A版必修第一册P73习题3.1T8改编)如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，那么下列关系中正确的是( )
A．y＝，x>0 B．d＝，x>0
C．l＝2x＋，x>0 D．l＝，d≥2
ABC [∵矩形的面积为10，长为x，宽为y，∴xy＝10，∴y＝，x>0，根据d＝，得到d＝，x>0，
∵周长l＝2(x＋y)，∴l＝2x＋，x>0，
根据d2＝x2＋，l2＝4＝4＝4(d2＋20)，∴l＝2，d≥2．故选ABC．]
5．(人教A版必修第一册P100复习参考题3T7改编)已知函数f (x)＝若f (a)＝，则a＝________．
2或± [当a>1时，f (a)＝1＋＝，
∴a＝2>1；当－1≤a≤1时，f (a)＝a2＋1＝，
∴a＝±∈[－1，1]；当a<－1时，f (a)＝2a＋3＝，∴a＝－>－1，舍去．
综上，a＝2或a＝±．]
6．(2025·临汾襄汾县模拟)f (x)＝的定义域为( )
A．[－2，＋∞) B．[－2，2)
C．(－2，2] D．(－∞，2]
B [要使函数有意义，则解得－2≤x＜2．
∴f (x)＝的定义域为[－2，2)．故选B．]
7．(2025·宁波模拟)已知函数f (x)的定义域为，则函数f (x2)的定义域为( )
A． B．
C． D．(－2，2)
C [函数f (x)的定义域为，则－4故函数f (x2)的定义域为．
故选C．]
8．(2024·浙江学业考试)下列各组函数表示同一个函数的是( )
A．y＝x和y＝()2
B．y＝和y＝
C．y＝|x|和y＝
D．y＝x－ex与y＝－ex
C [对于A，y＝x的定义域是R，y＝()2的定义域是[0，＋∞)，
∴y＝x和y＝()2不表示同一个函数，故A错误；
对于B，y＝＝x，y＝＝当x＜0时，对应关系不同，
∴y＝与y＝不能表示同一个函数，故B错误；
对于C，y＝|x|和y＝的定义域都是R，对应关系一致，
∴y＝|x|和y＝表示同一个函数，故C正确；
对于D，y＝x－ex的定义域是R，y＝－ex的定义域是{x|x≠0}，
∴y＝x－ex与y＝－ex不表示同一个函数，故D错误．故选C．]
9．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f (x＋1)＝4x＋1，则f (x)的解析式是( )
A．f (x)＝4x＋3 B．f (x)＝4x－3
C．f (x)＝3x＋2 D．f (x)＝3x－4
B [∵f (x＋1)＝4x＋1＝4(x＋1)－3，
∴f (x)＝4x－3．]
10．(2025·安徽蚌埠模拟)已知函数f (x)是一次函数，且f (f (x)－2x)＝3恒成立，则f (3)＝( )
A．1 B．3
C．5 D．7
D [设f (x)＝ax＋b(a≠0)，
由f (f (x)－2x)＝3恒成立，
得a[f (x)－2x]＋b＝3，即a2x－2ax＋ab＋b＝3恒成立．
∴解得
∴f (x)＝2x＋1，
∴f (3)＝7．故选D．]
11．(2024·山东济宁三模)已知函数f (x)＝则f＝________．
[因为f (x)＝
所以f ＝log4＝－log42＝－．
所以f ＝f＝＝＝．]
12．(2024·青岛第五十八中学高三一模)设函数f (x)＝若f (a)＝0，则a＝________．
1 [由题知，当a≤0时，f (a)＝a2＋1＝0无解；
当a>0时，f (a)＝lg a＝0，解得a＝1，成立．
所以a＝1．]
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