阶段提能(三) 函数
1．(人教A版必修第一册P74习题3.1T16)给定数集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①
(1)任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f (u)是否为函数；
(2)任给v∈B，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．
2．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，求实数a的取值范围．
3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
5．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
[A] f (x)＝－ln x [B] f (x)＝
[C] f (x)＝－ [D] f (x)＝3|x-1|
6．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( )
[A] f (x)＝ [B] f (x)＝
[C] f (x)＝ [D] f (x)＝
7．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
[A] －2 [B] －1
[C] 1 [D] 2
8．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f ＝，则f ＝( )
[A] － [B] －
[C] [D]
9．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
[A] f (x－1)－1 [B] f (x－1)＋1
[C] f (x＋1)－1 [D] f (x＋1)＋1
10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则( )
[A] f ＝0 [B] f (－1)＝0
[C] f (2)＝0 [D] f (4)＝0
11．(2024·上海卷)已知f (x)＝x3＋a，x∈R，且f (x)是奇函数，则a＝________．
12．(2022·全国乙卷)若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
1/1阶段提能(三) 函数
1．(人教A版必修第一册P74习题3.1T16)给定数集A＝R，B＝(－∞，0]，方程u2＋2v＝0，①
(1)任给u∈A，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断v＝f (u)是否为函数；
(2)任给v∈B，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断u＝g(v)是否为函数．
[解] (1)由u∈R，对应关系f使方程①的解v与u对应v＝－u2，每一个u∈R，都有唯一的v≤0与之对应，故v＝f (u)是函数．
(2)因为v∈B＝(－∞，0]，由u2＋2v＝0可得u2＝－2v≥0，
此时每一个v(v＝0除外)，都有2个不同的u与之对应，故u＝g(v)不是函数．
2．(湘教版必修第一册P82例3)若函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] 因为二次函数f (x)＝x2＋2(a－1)x＋2的图象的对称轴为直线x＝1－a，且开口向上，所以函数f (x)在区间(－∞，1－a]上单调递减．
又已知该函数在区间(－∞，4)上单调递减，则1－a≥4，即a≤－3．
故实数a的取值范围为(－∞，－3]．
3．(人教A版必修第一册P87习题3.2T13)我们知道，函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数．
(1)求函数f (x)＝x3－3x2图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f (x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为偶函数”的一个推广结论．
[解] (1)∵f (x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3(x－1)－2，∴y＝f (x＋1)＋2＝x3－3x．
设g(x)＝x3－3x，则g(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－g(x)．
∴g(x)为奇函数．
∴f (x)＝x3－3x2的图象关于点(1，－2)对称．
即f (x)＝x3－3x2的图象的对称中心是点(1，－2)．
(2)函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)为偶函数．
4．(人教A版必修第一册P101复习参考题3T12)试讨论函数y＝x－的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象．
[解] 定义域为{x|x≠0}，值域为R．
x1，x2∈(－∞，0)，且x1则y1－y2＝x1－
＝．
∵x1，x2∈(－∞，0)，且x1∴x1x2>0，x1－x2<0，x1x2＋1>0，
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－在(－∞，0)上单调递增．
x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则y1－y2＝．
∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1∴x1x2>0，x1x2＋1>0，x1－x2<0．
∴y1－y2<0，即y1∴y＝x－在(0，＋∞)上单调递增．
设f (x)＝y＝x－，
∵f (－x)＝－x－＝－＝－f (x)．
∴f (x)＝y＝x－是奇函数．
y＝x－的图象如图．
5．(2023·北京卷)下列函数在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f (x)＝－ln x B．f (x)＝
C．f (x)＝－ D．f (x)＝3|x-1|
C [对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，当06．(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是( )
A．f (x)＝ B．f (x)＝
C．f (x)＝ D．f (x)＝
B [对于A，f (x)＝，函数定义域为R，f (－x)＝＝≠f (x)，故f (x)不是偶函数，故A错误；
对于B，f (x)＝，函数定义域为R，
且f (－x)＝＝＝f (x)，则f (x)为偶函数，故B正确；
对于C，f (x)＝，函数定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则f (x)不是偶函数，故C错误；
对于D，f (x)＝，函数定义域为R，f (－x)＝＝＝－＝－f (x)，则f (x)是奇函数，故D错误．
故选B．]
7．(2023·全国乙卷)已知f (x)＝是偶函数，则a＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D [法一：f (x)的定义域为{x|x≠0}，因为f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)，即＝，即e(1-a)x－ex＝－e(a-1)x＋e－x，即e(1-a)x＋e(a-1)x＝ex＋e－x，所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2，故选D．
法二：f (x)＝＝，f (x)是偶函数，又y＝x是奇函数，所以y＝e(a-1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D．]
8．(2021·全国甲卷)设f (x)是定义域为R的奇函数，且f (1＋x)＝f (－x)．若f ＝，则f ＝( )
A．－ B．－
C． D．
C [因为f (x)是定义在R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)．又f (1＋x)＝f (－x)，所以f (2＋x)＝f (1＋(1＋x))＝f (－(1＋x))＝－f (1＋x)＝－f (－x)＝f (x)，所以函数f (x)是以2为周期的周期函数，f ＝f ＝f ＝．故选C．]
9．(2021·全国乙卷)设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f (x－1)－1 B．f (x－1)＋1
C．f (x＋1)－1 D．f (x＋1)＋1
B [法一：因为f (x)＝，所以f (x－1)＝＝，f (x＋1)＝＝．
对于A，F (x)＝f (x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F (x)＝－F (－x)；
对于B，G(x)＝f (x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f (x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f (x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
故选B．
法二：f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f (x－1)＋1，故选B．]
10．(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)的定义域为R，f (x＋2)为偶函数，f (2x＋1)为奇函数，则( )
A．f ＝0 B．f (－1)＝0
C．f (2)＝0 D．f (4)＝0
B [法一：因为函数f (x＋2)是偶函数，所以f (x＋2)＝f (－x＋2)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称．因为函数f (2x＋1)是奇函数，所以f (－2x＋1)＝－f (2x＋1)，则f (1)＝0，且函数f (x)的图象关于点(1，0)对称．f (x)＝f (4－x)＝－f (2－(4－x))＝－f (x－2)，f (x＋2)＝－f (x)，则f (x＋4)＝－f (x＋2)＝－[－f (x)]＝f (x)，所以函数f (x)是以4为周期的周期函数，所以f (5)＝f (1＋4)＝f (1)＝0，又函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，所以f (5)＝f (4－5)＝f (－1)＝0，故选B．
法二：构造一个符合条件的函数f (x)＝cos x，可以验证只有f (－1)＝0，故选B．]
11．(2024·上海卷)已知f (x)＝x3＋a，x∈R，且f (x)是奇函数，则a＝________．
0 [由题意，可得f (0)＝0＋a＝0，解得a＝0，
当a＝0时，f (x)＝x3，满足f (－x)＝(－x)3＝＝－f (x)，
即f (x)是奇函数，故a＝0符合题意．]
12．(2022·全国乙卷)若f＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________．
－ ln 2 [因为函数f＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由a＋≠0可得，≠0，所以x≠＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为，再由f＝0可得，b＝ln 2．即f＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f＝－f，符合题意．]
【教用·备选题】
1．(2023·全国甲卷)若f (x)＝(x－1)2＋ax＋sin 为偶函数，则a＝________．
2 [法一(定义法)：因为f (x)为偶函数，所以f (－x)＝f (x)，即(－x－1)2－ax＋sin ＝(x－1)2＋ax＋sin ，得a＝2．
法二(特值法)：因为f (x)为偶函数，
所以f ＝f ，即－a＝＋a，得a＝2．经检验，a＝2符合题意．]
2．(经典题)若定义在R上的奇函数f (x)在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则满足xf (x－1)≥0的x的取值范围是( )
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
D [法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝－f (2)＝f (0)＝0．当x＞0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意．
综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D．
法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f (4－1)＝f (3)＜0，此时不符合题意，排除选项A，C．
故选D．]
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