第7课时 指数与指数函数
[考试要求] 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
考点一 指数与指数幂的运算
1．根式
(1)如果xn＝a，那么_叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子叫做__，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝_．
当n为奇数时，＝_；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂的意义是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
规定：0的正分数指数幂等于_，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝____；
(2)(ar)s＝___；
(3)(ab)r＝____．
(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
[典例1] (1)化简＝( )
A．1 B．－1
C．7－2π D．2π－7
(2)(人教A版必修第一册P107例4改编)①计算：＋；
②化简．
[听课记录]
反思领悟 (1)当n为偶数时，＝|a|，注意与n为奇数时的区别．
(2)必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序不可随意改变．
巩固迁移1 (1)(多选)下列各式正确的是( )
A．＝
B．
C．＝－2
D．若＝3，则a2＋a-2＝47
(2)(2024·渭南一模)－＋2560.75－3-1＋2×70的值是( )
A．105 B．33
C．69 D．－23
考点二 指数函数的图象及应用
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是_，_是底数．
2．指数函数的图象与性质
项目 a>1 0
图象
定义域 R
值域 ______
性质 过定点_____，即x＝0时，y＝_
当x>0时，___； 当x<0时，_____ 当x<0时，___； 当x>0时，_____
在(－∞，＋∞)上是_函数 在(－∞，＋∞)上是_函数
提醒：(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，．
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与03．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[典例2] (1)(多选)已知函数f (x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则( )
A．a>1
B．0C．b>1
D．0(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)这一指数型函数y＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象问题，可以从最基本的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象入手，通过平移变换得到；本例(2)中底数a与1的大小关系不确定，应注意分a>1与0巩固迁移2 (1)函数y＝ax－a-1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
(2)若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
考点三 指数函数的性质及应用
1．比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或借助1，0等中间量进行比较．
2．简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
比较指数式的大小
[典例3] (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
[听课记录]
反思领悟 本例中a与b底数相同，先利用指数函数单调性判断a巩固迁移3 (2025·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则( )
A．cC．c 解简单的指数方程或不等式
[典例4] 设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是________．
[听课记录]
反思领悟 本例中，当a<0时，f (a)<1是指数不等式，其求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
巩固迁移4 若x满足不等式≤，则函数y＝2x的值域是( )
A． B．
C． D．[2，＋∞)
指数函数性质的综合应用
[典例5] (1)若函数f (x)＝a2x2－ax＋1(a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，4] D．(－∞，4]
(2)(多选)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的图象关于坐标原点对称
B．f (x)的图象关于y轴对称
C．f (x)的最大值为1
D．f (x)在定义域上单调递减
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，f (x)＝ (a>0且a≠1)由函数y＝at和t＝2x2－ax＋1复合而成，求a的范围的关键是借助“同增异减”这一性质列不等式组求解；本例(2)中，涉及指数函数综合问题，要熟练应用指数函数的相关性质及函数性质分析判断．
巩固迁移5 (多选)已知函数f (x)＝，则( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，2]
C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．f ()>f (4)
1．(2024·长沙月考)计算－(－1)0＋＝( )
A．－ B．－
C．－ D．
2．已知函数f (x)＝－3x，则f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
3．函数f (x)＝a2x+1－1(a>0且a≠1)过定点________．
4．已知函数f (x)＝ex－，若f (a－2)＋f (a2)≤0，则实数a的取值范围是________．第7课时 指数与指数函数
[考试要求] 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象．3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
考点一 指数与指数幂的运算
1．根式
(1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)()n＝a．
当n为奇数时，＝a；
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂的意义是＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂的意义是＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s；
(2)(ar)s＝ars；
(3)(ab)r＝arbr．
(其中a>0，b>0，r，s∈Q)．
[典例1] (1)化简＝( )
A．1 B．－1
C．7－2π D．2π－7
(2)(人教A版必修第一册P107例4改编)①计算：＋；
②化简．
(1)A [＝|π－4|＋π－3＝4－π＋π－3＝1．故选A．]
(2)[解] ①＋＝＝－1－＋8＝7＋＝．
②＝5×(－4)×．
反思领悟 (1)当n为偶数时，＝|a|，注意与n为奇数时的区别．
(2)必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序不可随意改变．
巩固迁移1 (1)(多选)下列各式正确的是( )
A．＝
B．
C．＝－2
D．若＝3，则a2＋a-2＝47
(2)(2024·渭南一模)－＋2560.75－3-1＋2×70的值是( )
A．105 B．33
C．69 D．－23
(1)CD (2)B [(1)选项A，＝＝，故错误；
选项B，，故错误；
选项C，＝－2，故正确；
选项D，将＝3两边平方，得a＋a-1＋2＝9，所以a＋a-1＝7，将a＋a-1＝7两边平方，得a2＋a-2＋2＝49，所以a2＋a-2＝47．故正确．故选CD．
(2)由题意得－＋2560.75－3-1＋2×70
＝－＋2＝(0.3)-1－36＋26－＋2
＝－36＋64－＋2＝33．
故选B．]
考点二 指数函数的图象及应用
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
2．指数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
提醒：(1)画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，．
(2)指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，要特别注意应分a>1与03．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
[典例2] (1)(多选)已知函数f (x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则( )
A．a>1
B．0C．b>1
D．0(2)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________．
(1)BD (2) [(1)观察题图得，函数f (x)＝ax－b是减函数，
因此0法一：设图象与y轴交点的纵坐标为y0，则0当x＝0时，y0＝1－b，于是得0<1－b<1，解得0所以0法二：函数f (x)的图象可看作是y＝ax(0(2)y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的．当a>1时，如图1，两个图象只有一个交点，不合题意；当0]
反思领悟 本例(1)这一指数型函数y＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象问题，可以从最基本的指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象入手，通过平移变换得到；本例(2)中底数a与1的大小关系不确定，应注意分a>1与0巩固迁移2 (1)函数y＝ax－a-1(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
A B
C D
(2)若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．
(1)D (2)(0，2) [(1)函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B错误；当01，平移距离大于1，所以C错误．故选D．
(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．所以当0]
考点三 指数函数的性质及应用
1．比较大小问题：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或借助1，0等中间量进行比较．
2．简单的指数方程或不等式的求解问题：解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
比较指数式的大小
[典例3] (2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为( )
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>b>c D．b>a>c
D [由y＝1.01x在R上单调递增，则1由y＝0.6x在R上单调递减，则0.60.5<1．
所以b>a>c．故选D．]
反思领悟 本例中a与b底数相同，先利用指数函数单调性判断a巩固迁移3 (2025·海口模拟)已知a＝1.30.6，b＝，c＝，则( )
A．cC．cD [a＝1.30.6>1.30＝1，b＝＝，
c＝，
因为指数函数y＝是减函数，
所以<<＝1，
所以b 解简单的指数方程或不等式
[典例4] 设函数f (x)＝若f (a)<1，则实数a的取值范围是________．
(－3，1) [当a<0时，原不等式化为－7<1，
则2－a<8，解得a>－3，所以－3当a≥0时，则<1，0≤a<1．
综上，实数a的取值范围是(－3，1)．]
反思领悟 本例中，当a<0时，f (a)<1是指数不等式，其求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
巩固迁移4 若x满足不等式≤，则函数y＝2x的值域是( )
A． B．
C． D．[2，＋∞)
B [由≤可得≤3-2(x-2)，因为y＝3x在R上单调递增，所以x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤21，即函数y＝2x的值域是．故选B．]
指数函数性质的综合应用
[典例5] (1)若函数f (x)＝ (a>0且a≠1)在区间(1，3)上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(1，2) B．(0，1)
C．(1，4] D．(－∞，4]
(2)(多选)已知函数f (x)＝，则下列结论正确的是( )
A．f (x)的图象关于坐标原点对称
B．f (x)的图象关于y轴对称
C．f (x)的最大值为1
D．f (x)在定义域上单调递减
(1)C (2)AD [(1)令t＝2x2－ax＋1，则y＝at，t＝2x2－ax＋1的对称轴为x＝，则t＝2x2－ax＋1在上单调递减，在上单调递增．当01时，y＝at在定义域内单调递增，所以f (x)在上单调递减，在上单调递增．因为f (x)在(1，3)上单调递增，所以解得1(2)因为f (－x)＝＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确；因为f (1)＝＝－，f (－1)＝＝，f (1)≠f (－1)，所以f (x)不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，又3x>0，所以3x＋1>1，所以0<<2，所以f (x)∈(－1，1)，故C不正确；因为f (x)＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f (x)在定义域(－∞，＋∞)上单调递减，故D正确．]
反思领悟 本例(1)中，f (x)＝ (a>0且a≠1)由函数y＝at和t＝2x2－ax＋1复合而成，求a的范围的关键是借助“同增异减”这一性质列不等式组求解；本例(2)中，涉及指数函数综合问题，要熟练应用指数函数的相关性质及函数性质分析判断．
巩固迁移5 (多选)已知函数f (x)＝，则( )
A．函数f (x)的定义域为R
B．函数f (x)的值域为(0，2]
C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增
D．f ()>f (4)
ABD [令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)．对于选项A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B，因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确；对于选项C、D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝，u∈[－1，＋∞)单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C不正确，D正确．故选ABD．]
1．(2024·长沙月考)计算－(－1)0＋＝( )
A．－ B．－
C．－ D．
C [－(－1)0＋＝－1＋＝－4＋3－1＋＝－．
故选C．]
2．已知函数f (x)＝－3x，则f (x)( )
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
C [函数的定义域为R，
因为f (－x)＝3x－＝－f (x)，所以函数f (x)为奇函数，
又因为函数y＝，y＝－3x在R上都是减函数，
所以函数f (x)＝－3x在R上是减函数．故选C．]
3．函数f (x)＝a2x+1－1(a>0且a≠1)过定点________．
[因为y＝at(a>0且a≠1)过定点(0，1)，令2x＋1＝0，得x＝－，
故f ＝1－1＝0，故f (x)过定点．]
4．已知函数f (x)＝ex－，若f (a－2)＋f (a2)≤0，则实数a的取值范围是________．
[－2，1] [因为f (x)＝ex－，定义域为R，f (－x)＝e－x－＝－ex＝－f (x)，
所以f (x)＝ex－为奇函数．
又因为f (x)＝ex－在R上为增函数，
所以f (a－2)＋f (a2)≤0 f (a－2)≤－f (a2) f (a－2)≤f (－a2)，即a－2≤－a2，则a2＋a－2≤0，解得－2≤a≤1．
所以实数a的取值范围是[－2，1]．]
【教用·备选题】
1．(2024·北京平谷区期末)函数y＝3|x|－1的定义域为[－1，2]，则函数的值域为( )
A．[2，8] B．[0，8]
C．[1，8] D．[－1，8]
B [设t＝|x|，
∵函数y＝3|x|－1的定义域为[－1，2]，
∴t∈[0，2]，∴y＝3t－1，
∴y＝3t－1在t∈[0，2]的值域为[0，8]．
故选B．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
D [法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以对称轴x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝－在(0，1)单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C．故选D．]
3．(2023·全国甲卷)已知函数f (x)＝．记a＝f ，b＝f ，c＝f ，则( )
A．b>c>a B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
A [函数f (x)＝是由函数y＝eu和u＝复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－(x－1)2在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．易知f (x)的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f ＝f ，又<2－<<1，所以f c>a．
故选A．]
4．(2024·湖北期末)化简或计算下列各式．
(1)；
(2)－．
[解] (1)原式＝
＝＝a-1＝．
(2)原式＝＋＝0.09．
课后习题(十二) 指数与指数函数
1．(多选)(人教A版必修第一册P118练习T1改编)已知函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )
A B
C D
AB [由题图可得a1＝2，即a＝2，
y＝a－x＝单调递减，且图象过点(－1，2)，故A正确；
y＝x－a＝x-2为偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，且图象过点(－1，1)和(1，1)，故B正确；
y＝a|x|＝2|x|＝为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
y＝|ax|＝|2x|，根据指数函数及绝对值函数的图象可知D错误．故选AB．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P109习题4.1T4改编) 下列化简结果正确的有( )
A．＝3－π
B．
C．
D．8＝m2n-3(其中m>0，n>0)
BCD [对于A，＝|3－π|＝π－3，故A错误；
对于B，，其中a>0，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，8＝＝m2n-3，其中m>0，n>0，故D正确．故选BCD．]
3．(北师大版必修第一册P92习题3－3B组T1改编)已知0A．axa－y
C． D．
C [因为0ay，故A错误；因为－x>－y，所以a－x，所以，故C正确；因为>1，所以y＝在R上单调递增，又>，所以，故D错误．]
4．(苏教版必修第一册P150习题6.2T2改编)用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的．设漂洗前衣服上的污垢量为1，则衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式是________，若要使存留的污垢不超过原有的1%，至少要漂洗________次．
y＝，x∈N* 4 [根据题意，衣服上存留的污垢量y与漂洗次数x之间的函数关系式为y＝，x∈N*．
设需要漂洗x次，则≤1×1%，即，
又x∈N*，∴x≥4，x∈N*，∴至少要漂洗4次．]
5．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9改编)已知函数f＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f＝________．
[因为f的图象过原点，所以f (0)＝＋b＝0，即a＋b＝0．又因为f的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝－1，所以f＋1，
所以f．]
6．(2024·衡阳耒阳市月考)若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于( )
A．－1或2 B．－1
C．2 D．
C [根据题意可得，得m＝2，故选C．]
7．(2024·甘肃兰州期末)如果a＞1，b＜－1，那么函数f (x)＝ax＋b的图象在( )
A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限
B [∵a＞1，∴y＝ax的图象过第一、第二象限，且是增函数，经过(0，1)，
f (x)＝ax＋b 的图象可看成把 y＝ax的图象向下平移－b(－b＞1)个单位长度得到的，
故函数f (x)＝ax＋b的图象经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限．
故选B．]
8．(2024·天津河东区期中)化简 (a，b为正数)的结果是( )
A．ab B．
C． D．a2b
B [∵a＞0，b＞0，
∴
＝．
故选B．]
9．(2024·上海黄浦区期末)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝＝0.95K时，标志着已初步遏制该疾病，则t*约为(ln 19≈3)( )
A．60 B．63
C．66 D．69
C [由已知可得＝，
两边取对数有－0.23(t*－53)＝－ln 19，解得t*≈66，故选C．]
10．(2025·成都青羊区模拟)函数y＝32x与y＝31-2x的图象( )
A．关于x＝2对称 B．关于x＝1对称
C．关于x＝对称 D．关于x＝对称
D [设f (x)＝31-2x，则f ＝32x，
则f ＝f (x)，则f (x)的图象关于直线x＝对称．故选D．]
11．(2024·淮安清河区期末)函数y＝2x-1－2(x≤2)的值域为________．
(－2，0] [∵函数f (x)＝2x-1－2在(－∞，2]上单调递增，∴f (x)≤f (2)，
∴f (2)＝22-1－2＝0，∴f (x)≤f (2)＝0，
∵2x-1＞0，∴2x-1－2＞－2，∴－2＜2x-1－2≤0，
∴函数y＝2x-1－2(x≤2)的值域为(－2，0]．]
12．(2024·茂名化州市期中)定义运算：a b＝则函数f (x)＝3－x 3x的值域为________．
(0，1] [如图为y＝f (x)＝3－x 3x的图象(实线部分)，
由图可知f (x)的值域为(0，1]．
]
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