第8课时 对数与对数函数
[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
考点一 对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_______，其中_叫做对数的底数，_叫做真数．
以__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为____．
以_为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为____．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝_，logaa＝_(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝___________；
②loga＝___________；
③logaMn＝______ (n∈R)．
(3)对数恒等式
＝_(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：logab＝．
[常用结论]
1．logab＝．
．logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R且m≠0)．
[典例1] (1)(2024·梅州五华区期中)下列等式正确的是( )
A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1
B．log35·log32·log59＝3
C．＋eln 2＋＝π
D．＝1
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)的解答关键：①将同底对数的和、差、倍合并，如选项A．
②利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式，如选项B．
③利用对数恒等式求值，如选项C．
本例(2)的关键：利用对数的换底公式，换成同底的对数．
巩固迁移1 (1)lg＝________．
(2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且＝2，则m＝________．
(3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________．
考点二 对数函数的图象及应用
1．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中_是自变量，定义域是______．
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0
图象
定义域 (0，＋∞)
值域 _
性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y_0； 当01时，y_0； 当0在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线___对称．
[常用结论] 对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[典例2] (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝图象可能是( )
A B
C D
(2)方程2 025x＋log2 025x＝0的实根个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．2 025
[听课记录]
反思领悟 本例(1)直接利用对数运算性质logaM＋logaN＝loga(MN)得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质loga1＝0得到ab＝1，再结合互为反函数的函数图象关于y＝x对称及函数性质得选B．本例(2)是对数型方程，常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
巩固迁移2 (1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象大致是( )
A B
C D
(2)(多选)(2025·威海模拟)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．0C．b<－1 D．－1考点三 对数函数的性质及应用
比较对数值的大小
[典例3] (人教A版必修第一册P141T13(2))比较下列三个值的大小：log23，log34，log45．
[听课记录]
反思领悟 方法一的两种解法是通过转化为同底的对数值，结合比较大小的常规方法(作差法、综合法)进行解答；方法二的关键是利用换底公式将底数、真数取相同的幂，然后插入与其中一个对数值同真数，与另一个对数值同底数的中间量比较大小；方法三插入两个数值，使log23>>log34>>log45成立，从而比较大小．在插值中“0”与“1”是常见两个插入数值．
巩固迁移3 设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
解对数不等式
[典例4] (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a>0，且满足53a+2>54a+1，则不等式loga(3x＋2)[听课记录]
反思领悟 (1)指数函数、对数函数的单调性取决于其底数的取值范围(大于1还是大于0且小于1)，底数不定要分类讨论．
(2)在涉及指对型函数的有关问题时易忽略对数函数的真数大于0的限制条件．
巩固迁移4 不等式logx(x＋2)>1的解集是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
对数函数性质的综合应用
[典例5] 若函数f (x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．
C． D．(1，＋∞)
[听课记录]
反思领悟 本例要弄清楚四个问题：①定义域；②底数与1的大小关系；③复合函数的构成；④复合函数的单调性“同增异减”．
巩固迁移5 (多选)(2024·邯郸一模)已知函数f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则( )
A．f (x)的定义域是(－6，4)
B．f (x)有最大值
C．不等式f (x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D．f (x)在[0，4]上单调递增
1．(2024·安徽期末)计算log54－2log510＝( )
A．2 B．－1
C．－2 D．－5
2．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[0，3) D．[0，3]
3．已知函数f (x)＝若a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则abc的取值范围是( )
A．[10，12] B．(10，12]
C．(10，12) D．[10，12)
4．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．第8课时 对数与对数函数
[考试要求] 1．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．3．了解指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
考点一 对数与对数运算
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg N．
以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为ln N．
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1(a＞0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)对数恒等式
＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：logab＝．
[常用结论]
1．logab＝．
．logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R且m≠0)．
[典例1] (1)(2024·梅州五华区期中)下列等式正确的是( )
A．(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1
B．log35·log32·log59＝3
C．＋eln 2＋＝π
D．＝1
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且，则a＝________．
(1)A (2)64 [(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2＝(1－lg 2)2＋2lg 2－(lg 2)2＝1，A正确；
log35·log32·log59＝≠3，B错误；
＋eln 2＋＝log78＋2＋5－π≠π，C错误；
×(0.4)-1＝≠1，D错误．
故选A．
(2)由题意log2a＝－，整理得(log2a)2－5log2a－6＝0，
解得log2a＝－1或log2a＝6．又a>1，
所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64．]
反思领悟 本例(1)的解答关键：①将同底对数的和、差、倍合并，如选项A．
②利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式，如选项B．
③利用对数恒等式求值，如选项C．
本例(2)的关键：利用对数的换底公式，换成同底的对数．
巩固迁移1 (1)lg＝________．
(2)(2024·上海高三校联考阶段练习)若12a＝3b＝m，且＝2，则m＝________．
(3)(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝________．
(1)4 (2)2 (3)e [(1)lg＝－2－＋6＝4．
(2)∵12a＝3b＝m，且＝2，
∴m>0且m≠1，
∴a＝log12m，b＝log3m，
∴＝logm12，＝logm3，
∴＝logm12－logm3＝logm4＝2，
∴m＝2．
(3)因为f (ln 2)＝aln 2，f (ln 4)＝aln 4，所以f (ln 2)·f (ln 4)＝aln 2·aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，所以aln 2＝2，所以a＝e．]
考点二 对数函数的图象及应用
1．对数函数
(1)一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
项目 a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
2．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
[常用结论] 对数函数的图象与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b．由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
[典例2] (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，则函数f (x)＝ax与g(x)＝图象可能是( )
A B
C D
(2)方程2 025x＋log2 025x＝0的实根个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．2 025
(1)B (2)B [(1)∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝，
∴g(x)＝＝logax，函数f (x)＝ax与函数g(x)＝互为反函数，
∴函数f (x)＝ax与g(x)＝的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)2 025x＋log2 025x＝0，即2 025x＝－log2 025x．
在同一坐标系中作出函数y1＝2 025x，
y2＝－log2 025x的示意图，如图所示，
函数y1＝2 025x为增函数，y2＝－log2 025x为减函数，可知两函数图象有且只有一个交点，
所以方程2 025x＋log2 025x＝0有一个实根，故选B．]
反思领悟 本例(1)直接利用对数运算性质logaM＋logaN＝loga(MN)得到lg a＋lg b＝lg (ab)，再由对数的性质loga1＝0得到ab＝1，再结合互为反函数的函数图象关于y＝x对称及函数性质得选B．本例(2)是对数型方程，常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
巩固迁移2 (1)函数y＝|lg (x＋1)|的图象大致是( )
A B
C D
(2)(多选)(2025·威海模拟)已知函数f (x)＝loga(x－b)(a>0且a≠1，a，b为常数)的图象如图，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．0C．b<－1 D．－1(1)A (2)BD [(1)由于函数y＝lg (x＋1)的图象可由函数y＝lg x的图象向左平移一个单位长度得到，函数y＝lg x的图象与x轴的交点是(1，0)，故函数y＝lg (x＋1)的图象与x轴的交点是(0，0)，所以函数y＝|lg (x＋1)|的图象与x轴的交点是(0，0)．故选A．
(2)因为函数f (x)＝loga(x－b)为减函数，所以00，即b>－1，又因为函数f (x)的图象与y轴有交点，所以b<0，所以－1考点三 对数函数的性质及应用
比较对数值的大小
[典例3] (人教A版必修第一册P141T13(2))比较下列三个值的大小：log23，log34，log45．
[解] 方法一(化同底数比较大小)
法一(作差法)：log23－log34＝，因为ln 2·ln 4<＝2<(ln 3)2，所以log23－log34>0．
log34－log45＝，
因为ln 3·ln 5<＝2<(ln 4)2，所以log34－log45>0．
综上有：log23>log34>log45．
法二(综合法)：因为当n>1时，lg n·lg (n＋2)<<
＝lg2(n＋1)，即lg n·lg (n＋2)，即logn(n＋1)>log(n＋1)(n＋2)，所以取n＝2和3可得log23>log34>log45．
方法二(化同真数比较大小)
法三：不妨先证：log23>log34 证log827>log916，因为log827>log927>log916，所以log23>log34，再证log34>log45 证log2431 024>log256625，因为log2431 024>log2561 024>log256625，所以log34>log45．
综上有：log23>log34>log45．
方法三(插值法比较大小)
法四：因为log23>log22 42<33，所以log34<，因为 36<45，所以log34>，所以综上有：log23>log34>log45．
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为( )
A．x>y>z B．x>z>y
C．y＞x>z D．y>z>x
B [令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B.]
反思领悟 方法一的两种解法是通过转化为同底的对数值，结合比较大小的常规方法(作差法、综合法)进行解答；方法二的关键是利用换底公式将底数、真数取相同的幂，然后插入与其中一个对数值同真数，与另一个对数值同底数的中间量比较大小；方法三插入两个数值，使log23>>log34>>log45成立，从而比较大小．在插值中“0”与“1”是常见两个插入数值．
巩固迁移3 设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则( )
A．a>b>c B．b>c>a
C．a>c>b D．c>b>a
A [a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，
∵log43>log53>log63，∴a>b>c．故选A．]
解对数不等式
[典例4] (2024·安徽江淮十校联考)已知实数a>0，且满足53a+2>54a+1，则不等式loga(3x＋2) [由实数a>0，且满足53a+2>54a+1，
根据指数函数的单调性，可得3a＋2>4a＋1，
解得0所以函数y＝logax为减函数，
由不等式loga(3x＋2)可得解得即不等式的解集为．]
反思领悟 (1)指数函数、对数函数的单调性取决于其底数的取值范围(大于1还是大于0且小于1)，底数不定要分类讨论．
(2)在涉及指对型函数的有关问题时易忽略对数函数的真数大于0的限制条件．
巩固迁移4 不等式logx(x＋2)>1的解集是( )
A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)
B [logx(x＋2)>1 ①或②
①无解，②的解为x>1，∴x>1，故选B．]
对数函数性质的综合应用
[典例5] 若函数f (x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A．(0，1) B．
C． D．(1，＋∞)
C [设u(x)＝3－2ax(a>0且a≠1)，则u(x)是减函数，要使得函数f (x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增，只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax>0在x∈[1，2]上恒成立，所以解得0所以实数a的取值范围为．]
反思领悟 本例要弄清楚四个问题：①定义域；②底数与1的大小关系；③复合函数的构成；④复合函数的单调性“同增异减”．
巩固迁移5 (多选)(2024·邯郸一模)已知函数f (x)＝log2(x＋6)＋log2(4－x)，则( )
A．f (x)的定义域是(－6，4)
B．f (x)有最大值
C．不等式f (x)<4的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)
D．f (x)在[0，4]上单调递增
AB [由题意可得
解得－6【教用·备选题】
1．设函数f (x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f (x)( )
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
D [由f (x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，
得f (x)的定义域为，
关于坐标原点对称，
又f (－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f (x)，
∴f (x)为定义域上的奇函数，故排除A，C；
当x∈时，f (x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，
∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增，y＝ln (1－2x)在上单调递减，
∴f (x)在上单调递增，故排除B；
当x∈时，
f (x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)
＝ln ＝ln ，
∵u＝1＋在上单调递减，y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
根据复合函数单调性可知f (x)在上单调递减，故D正确．]
2．(2024·浙江杭州高一校考期末)已知函数f (x)＝loga(x2＋2ax＋2a－1)．
(1)当a＝时，求函数f (x)的单调区间；
(2)若f (x)在(－∞，－2)上单调递减，求实数a的取值范围．
[解] (1)根据题意，当a＝时，
f (x)＝，
由x2＋x>0，解得x<－1或x>0，
故f (x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，
令t＝x2＋x＝，则该函数在(－∞，－1)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
因为函数y＝为减函数，
所以f (x)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)令函数g(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋a)2－a2＋2a－1，该函数在(－∞，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增．
①当a>1时，要使f (x)在(－∞，－2)上单调递减，
则g(x)在(－∞，－2)上单调递减，且g(x)>0恒成立，
故又a>1，
所以1②当0则g(x)在(－∞，－2)上单调递增，且g(x)>0恒成立，
因为g(x)在(－∞，－a)上单调递减，故函数g(x)在(－∞，－2)上不能单调递增，此种情况不可能．
综上，实数a的取值范围为．
1．(2024·安徽期末)计算log54－2log510＝( )
A．2 B．－1
C．－2 D．－5
C [log54－2log510＝log54－log5100＝log5＝－2．故选C．]
2．函数f (x)＝＋ln (3－x)的定义域为( )
A．[0，＋∞) B．(3，＋∞)
C．[0，3) D．[0，3]
C [由题意得解得0≤x＜3，故其定义域为[0，3)．
故选C．]
3．已知函数f (x)＝若a，b，c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则abc的取值范围是( )
A．[10，12] B．(10，12]
C．(10，12) D．[10，12)
C [不妨设a如图所示，
由图象可知0由f (a)＝f (b)，得|lg a|＝|lg b|，
即－lg a＝lg b，
∴lg (ab)＝0，则ab＝1，
∴abc＝c，又10∴abc的取值范围是(10，12)．]
4．已知log0.45(x＋2)>log0.45(1－x)，则实数x的取值范围是________．
[由y＝log0.45x在定义域上是减函数和真数大于零得，
解得－2故实数x的取值范围是．]
【教用·备选题】
1．(2024·宜宾兴文县开学)若log2x·log34·log59＝8，则x＝( )
A．8 B．25
C．16 D．4
B [∵log2x·log34·log59＝8，
∴··＝8，
∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25．故选B．]
2．(2025·成都青羊区模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x|y＝＋log3(2－x)}，则A∩B＝( )
A．{0，1，2} B．{1，2}
C．{－1，0} D．{0，1}
D [B＝{x|y＝＋log3(2－x)}＝[0，2)，A＝{－2，－1，0，1，2}，
故A∩B＝{0，1}．故选D．]
3．(2024·南宁青秀区月考)若函数f (x)＝loga|x－1|在区间(1，2)上有f (x)＞0，则f (x)的单调递增区间是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
A [设t＝|x－1|，当1＜x＜2时，0＜t＜1，
因为f (x)＞0，所以0＜a＜1，函数y＝logat在(0，＋∞)上单调递减，
因为y＝|x－1|的单调递减区间为(－∞，1)，
所以f (x)的单调递增区间为(－∞，1)．故选A．]
课后习题(十三) 对数与对数函数
1．(北师大版必修第一册P106习题4－2A组T2改编)下列结论正确的是( )
A．若log2x＝3，则x＝6
B．若e＝ln x，则x＝e2
C．lg(ln e)＝0
D．＝
C [若log2x＝3，则x＝23＝8，故A错误；若e＝ln x，则x＝ee，故B错误；lg(ln e)＝lg 1＝0，故C正确；＝5-2＝，故D错误．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P140习题4.4T2改编)下列结论中正确的是( )
A．若log3mB．若log0.3mn>0
C．若logamD．若logm51
ABD [函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又因为log3m函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又因为log0.3mn>0，所以B中结论正确；
当0n>0，所以C中结论错误；
因为5<7，且logm51，所以D中结论正确．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P161复习参考题4T11改编)已知函数f (x)＝－log2(x＋4)，则下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的定义域是[－4，2]
B．函数y＝f (x－1)是偶函数
C．函数f (x)在区间[－1，2)上单调递增
D．函数f (x)的图象关于直线x＝－1对称
BCD [由得－44．(人教A版必修第一册P141习题4.4T10改编)声强级LI(单位：dB)由公式LI＝10lg 给出，其中I为声强(单位：W/m2)．平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，则其声强级为________dB；一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10-12W/m2，则人听觉的声强级(单位：dB)范围为________．
60 [0，120] [当I＝10-6时，LI＝10lg＝10lg 106＝60，所以声强级为60 dB．
当I＝1时，LI＝10lg ＝120；
当I＝10-12时，LI＝10lg 1＝0，所以人听觉的声强级(单位：dB)范围为[0，120]．]
5．(2024·郑州月考)函数f (x)＝logx－1的定义域为( )
A．{x|x＞1且x≠2} B．{x|1＜x＜2}
C．{x|x＞2} D．{x|x≠1}
C [由题得解得x＞2，即函数f (x)的定义域为{x|x＞2}．故选C．]
6．(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．aC [a＝log30.5b＝log3π>log33＝1，即b>1；
0＝log41∴a7．(2024·黔西南州期末)函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可能是( )
A．f (x)＝|log2(x＋1)|
B．f (x)＝log2(x＋1)
C．f (x)＝|2x－1|
D．f (x)＝2x－1
A [结合题图可知f (x)的定义域为(－1，＋∞)，
对于C，D选项，f (x)＝|2x－1|，f (x)＝2x－1的定义域为R，故排除C，D；
对于B选项，f (x)＝log2(x＋1)定义域为(－1，＋∞)，
当x＝－时，f (x)＝log2＝－1，不合题意，排除B；
对于A，f (x)＝|log2(x＋1)|的定义域为(－1，＋∞)，且其在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故A正确．
故选A．]
8．(2025·凉山州模拟)工厂废气排放前要过滤废气中的污染物再进行排放，废气中污染物含量y(单位：mg/L)与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at(y0，a均为正常数)．已知前5小时过滤掉了10%污染物，那么当污染物过滤掉50%还需要经过( )
(最终结果精确到1 h，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
A．43 h B．38 h
C．33 h D．28 h
D [∵废气中污染物含量y与过滤时间t小时的关系为y＝y0e－at，
令t＝0，得废气中初始污染物含量为y＝y0，
又∵前5小时过滤掉了10%污染物，
∴(1－10%)y0＝y0e-5a，则a＝－＝，
∴当污染物过滤掉50%时，(1－50%)y0＝y0e－at，
则t＝＝＝＝＝≈33 h，
∴当污染物过滤掉50%还需要经过33－5＝28 h．故选D．]
9．(2024·四川成都高三校考阶段练习)函数f (x)＝2＋loga(x－1)(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
(2，2) [由函数f (x)＝2＋loga(x－1)，令x－1＝1，即x＝2，
可得f (2)＝2＋loga(2－1)＝2＋loga1＝2，所以函数f (x)的图象恒过定点(2，2)．]
10．(2024·辽宁大连二十四中校联考期末)已知函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)，若f (x)在区间上单调递减，则实数a的取值范围是________．
[0，2] [因为函数f (x)＝ln (ax2－2x＋2)在区间上单调递减，
设g(x)＝ax2－2x＋2，
所以g(x)＝ax2－2x＋2在区间上单调递减，且g(x)>0在区间上恒成立，
当a＝0时，g(x)＝－2x＋2，满足题意；
当a<0时，g(x)＝ax2－2x＋2，开口向下，在区间上不单调递减，不满足题意；
当a>0时，g(x)＝ax2－2x＋2，
所以解得0所以综上可得0≤a≤2．
故实数a的取值范围为[0，2]．]
11．(2024·保山期末)已知函数f (x)＝loga(2x＋1)，a＞0且a≠1．
(1)若a＝2，解不等式f (x)＞2；
(2)若f (x)在[1，3]上的最大值与最小值的差为1，求a的值．
[解] (1)当a＝2时，f (x)＝log2(2x＋1)＞2化为2x＋1＞22，解得x>，
所以不等式的解集为．
(2)当a＞1时，函数f (x)在[1，3]上单调递增，
则当x＝1时，f (x)min＝loga3，当x＝3时，f (x)max＝loga7，
所以loga7－loga3＝loga＝1，解得a＝；
当0＜a＜1时，函数f (x)在[1，3]上单调递减，
则f (x)min＝f (3)＝loga7，f (x)max＝f (1)＝loga3，
则loga3－loga7＝loga＝1，解得a＝．
综上，实数a的值为或．
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