第11课时 函数模型及其应用
[考试要求] 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
考点一 用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
[典例1] (多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量
[听课记录]
反思领悟 本例中，解题关键是根据题目中两企业图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．
巩固迁移1 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
考点二 已知函数模型的实际问题
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的 变化 随x的增大 逐渐表现 为与__ 平行 随x的增大 逐渐表现为 与__ 平行 随α值的 变化而各 有不同
2．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)
与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与幂函数 相关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b为常数，n≠0，a≠0)
提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
[典例2] (1)(2024·北京通州潞河中学校考阶段练习)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlog2，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2 000 Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9 999，W＝3 000 Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为( )
A． B．
C． D．3
(2)(2024·云南昆明高三统考期中)工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P＝P0e-0.02t(P0为污染物的初始含量)，则污染物减少到初始含量的20%大约需要(参考数据：ln 5≈1.6)( )
A．60 h B．70 h
C．80 h D．90 h
(3)燃放烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
①若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
②若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求a的最小值．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，将已知条件代入模型中，求C2与C1比值即可，需注意的是要熟练掌握对数的运算；本例(2)中，先将已知条件代入模型中，结合指、对数转化及参考数据求得时间即可；本例(3)中，解题的关键是对题意的准确理解，依题意列出不等关系求解即可．
巩固迁移2 (1)(2025·广东新会区模拟)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx＋b(y为保鲜时间，x为储存温度)，若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时，在常温20 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．18小时
C．20小时 D．24小时
(2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝ (T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据：lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)( )
A．10分钟 B．9分钟
C．8分钟 D．7分钟
考点三 构建函数模型解决实际问题
[典例3] (2025·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝．测得的部分数据如表所示．
x 0 2 6 10 …
y －4 8 8 …
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．
[听课记录]
反思领悟 构建函数模型求解时应关注的三点
(1)认清构造函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
巩固迁移3 (1)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)( )
A．0.58米 B．0.87米
C．1.17米 D．1.73米
(2)(2024·陕西安康高三校联考阶段练习)某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系如下表所示：
时间t 1 2 3 4
浮萍的面积y 3 5 9 17
现有以下三种函数模型可供选择：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·logat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均为常数，a>0且a≠1．
(ⅰ)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式；
(ⅱ)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，211 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，写出一种t1，t2，t3满足的等量关系式，并说明理由．
1．输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13．则函数h＝f (x)的图象为( )
A B
C D
2．(2024·渭南二模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.922 7x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为( )
(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈1.95，ln 0.922 7≈－0.08)
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
3．(2024·贵阳南明区一模)纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
4．(2025·上海虹口区模拟)已知某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000．设该产品年产量为Q时的平均成本为f (Q)(单位：元/件)，则f (Q)的最小值是________．第11课时 函数模型及其应用
[考试要求] 1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
考点一 用函数图象刻画变化过程
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法：
(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．
[典例1] (多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f (t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论，其中正确的结论为( )
A．在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均达标
B．在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等
C．甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值
D．在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量
BD [由题图可知在[t1，t2]这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；
在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；
甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误；
在[0，t1]这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确．]
反思领悟 本例中，解题关键是根据题目中两企业图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．
巩固迁移1 (多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
ABC [从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；第一次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．]
考点二 已知函数模型的实际问题
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xα (α>0)
在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的 变化 随x的增大 逐渐表现 为与y轴 平行 随x的增大 逐渐表现为 与x轴 平行 随α值的 变化而各 有不同
2．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0)
反比例函数模型 f (x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)
与指数函数 相关的模型 f (x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与对数函数 相关的模型 f (x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0，且a≠1)
与幂函数 相关的模型 f (x)＝axn＋b(a，b为常数，n≠0，a≠0)
提醒：(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
[典例2] (1)(2024·北京通州潞河中学校考阶段练习)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：C＝Wlog2，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2 000 Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9 999，W＝3 000 Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为( )
A． B．
C． D．3
(2)(2024·云南昆明高三统考期中)工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：h)的关系为P＝P0e-0.02t(P0为污染物的初始含量)，则污染物减少到初始含量的20%大约需要(参考数据：ln 5≈1.6)( )
A．60 h B．70 h
C．80 h D．90 h
(3)燃放烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和，由试验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．
①若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？
②若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求a的最小值．
(1)D (2)C [(1)根据题意，将＝99，W＝2 000代入可得C1＝2 000log2(1＋99)＝2 000log2100＝2 000×2log210＝4 000log210；
将＝9 999，W＝3 000代入可得C2＝3 000log2(1＋9 999)＝3 000log210 000＝3 000×4log210
＝12 000log210；
所以可知＝＝3．
故选D．
(2)设污染物减少到最初含量的20%需要经过t小时，则P0＝P0e-0.02t，
两边取自然对数得ln ＝－0.02t，ln 5＝0.02t，1.6≈0.02t，解得t≈80，
所以大约需要经过80个小时的时间才能使污染物减少到最初含量的20%．
故选C．]
(3)[解] ①释放的去污剂浓度为f (x)＝
当0当4解得x≤7，即4故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天．
②设从第一次喷洒起，经x(6所以a≥，当且仅当＝，即x＝7时等号成立．
所以a的最小值为．
反思领悟 本例(1)中，将已知条件代入模型中，求C2与C1比值即可，需注意的是要熟练掌握对数的运算；本例(2)中，先将已知条件代入模型中，结合指、对数转化及参考数据求得时间即可；本例(3)中，解题的关键是对题意的准确理解，依题意列出不等关系求解即可．
巩固迁移2 (1)(2025·广东新会区模拟)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系y＝ekx＋b(y为保鲜时间，x为储存温度)，若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时，在常温20 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是( )
A．16小时 B．18小时
C．20小时 D．24小时
(2)(2024·桂林、崇左调研)牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，那么经过t分钟后的温度T满足T－Ta＝ (T0－Ta)，h称为半衰期，其中Ta是环境温度．如果Ta＝25 ℃，现有一杯80 ℃的热水降至75 ℃大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75 ℃降至45 ℃大约还需要(参考数据：lg 2≈0.30，lg 11≈1.04)( )
A．10分钟 B．9分钟
C．8分钟 D．7分钟
(1)A (2)A [(1)由题意，
即
于是当x＝40时，y＝e40k＋b＝(e20k)2·eb＝×144＝16，故选A．
(2)将所给数据代入T－Ta＝ (T0－Ta)得，75－25＝ (80－25)，
即＝＝，
所以＝＝＝≈＝，
当水温从75 ℃降至45 ℃时，
满足45－25＝(75－25)，
可得t＝＝＝≈＝，
故t≈10．故选A．]
考点三 构建函数模型解决实际问题
[典例3] (2025·重庆模拟)某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝．测得的部分数据如表所示．
x 0 2 6 10 …
y －4 8 8 …
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．
[解] (1)当0≤x<7时，y是x的二次函数，设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由x＝0，y＝－4可得c＝－4，
由x＝2，y＝8可得4a＋2b＝12，①
由x＝6，y＝8可得36a＋6b＝12，②
由①②解得a＝－1，b＝8，
即y＝－x2＋8x－4(0≤x<7)．
当x≥7时，y＝，由x＝10，y＝可得m＝8，
即y＝(x≥7)．
综上可得，y＝
(2)当0≤x<7时，y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
即当x＝4时，y取得最大值12；
当x≥7时，y＝单调递减，可得y≤3，即当x＝7时，y取得最大值3．
综上所述，该新合金材料的含量x为4时，产品的性能达到最佳．
反思领悟 构建函数模型求解时应关注的三点
(1)认清构造函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该模型求解实际问题．
巩固迁移3 (1)某乡村要修建一条100米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为120°的等腰梯形(如图)，水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米100元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金3万元，当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为(参考数据：≈1.732)( )
A．0.58米 B．0.87米
C．1.17米 D．1.73米
(2)(2024·陕西安康高三校联考阶段练习)某公园池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系如下表所示：
时间t 1 2 3 4
浮萍的面积y 3 5 9 17
现有以下三种函数模型可供选择：①y＝kt＋b，②y＝p·at＋q，③y＝m·logat＋n，其中k，b，p，q，m，n，a均为常数，a>0且a≠1．
(ⅰ)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y关于t的函数解析式；
(ⅱ)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，211 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，写出一种t1，t2，t3满足的等量关系式，并说明理由．
(1)B [如图，设过水横断面为等腰梯形ABCD，BE⊥CD于E，∠BAD＝∠ABC＝120°，
要使过水横断面面积最大，则此时资金3万元都用完，
则100×(AB＋BC＋AD)×100＝30 000，解得AB＋BC＋AD＝3，
设BC＝x，则AB＝3－2x，BE＝x，CE＝x，故CD＝3－x，且0梯形ABCD的面积S＝
＝(－x2＋2x)，
当x＝1时，Smax＝，
此时BE＝≈0.87，
即当过水横断面面积最大时，水渠的深度(即梯形的高)约为0.87米．]
(2)[解] (ⅰ)由表中数据可知，y随t的增长速度越来越快，故应选择函数模型②y＝p·at＋q．
依题意，得
解得
所以y关于t的函数解析式为y＝2t＋1．
(ⅱ)t1＋t2＝t3＋1．
理由：依题意，得＋1＝＋1＝＋1＝211，
所以＝＝＝210，
所以＝420，
所以＝＝420＝＝2t3＋1，
所以t1＋t2＝t3＋1．
1．输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，如图所示．开始输液时，滴管内匀速滴下液体(滴管内液体忽略不计)，设输液开始后x分钟，瓶内液面与进气管的距离为h cm，已知当x＝0时，h＝13．则函数h＝f (x)的图象为( )
A B
C D
C [由题意，液体的流动速度不变，宽口瓶内液面下降比窄口瓶内液面下降慢，故选C．]
2．(2024·渭南二模)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.922 7x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至60 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为( )
(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 7≈1.95，ln 0.922 7≈－0.08)
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
B [由题意可知，当x＝0时，y＝85，即85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.922 7x＋25．
当y＝60时，60＝60×0.922 7x＋25，0.922 7x＝，
则x ln 0.922 7＝ln 7－ln 12＝ln 7－2ln 2－ln 3，
即－0.08x≈1.95－2×0.69－1.10＝－0.53，所以x≈＝6.625．
所以茶水泡制时间大约为7 min．
故选B．]
3．(2024·贵阳南明区一模)纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
D [由题意可得，所以60×7.5λ＝15×25λ，
所以＝，则有＝，
则λ＝＝＝≈≈1.15．故选D．]
4．(2025·上海虹口区模拟)已知某产品的总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000．设该产品年产量为Q时的平均成本为f (Q)(单位：元/件)，则f (Q)的最小值是________．
60 [根据题意，总成本C(单位：元)与年产量Q(单位：件)之间的关系为C＝Q2＋3 000，
所以f (Q)＝＝＝Q＋≥2＝2×30＝60，当且仅当Q＝，即Q＝100时，等号成立．故f (Q)的最小值是60．]
【教用·备选题】 1．(多选)(2025·重庆沙坪坝区模拟)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为T＝，如表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料材料1材料2材料3T0.60.70.8
设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1、A2、A3，则( ) A．A1＞2A2 B．A2＋A3＞A1 C． D． BCD [根据题意，T＝，即10A＝，则A＝lg ＝－lg T， 则A1＝－lg 0.6，A2＝－lg 0.7，A3＝－lg 0.8， 依次分析选项：对于A，A1＝－lg 0.6，2A2＝－2lg 0.7＝－lg 0.49， 由于lg 0.6＞lg 0.49， 则有－lg 0.6＜－lg 0.49， 即A1＜2A2，A错误； 对于B，A2＋A3＝(－lg 0.7)＋(－lg 0.8)＝－lg 0.56， 由于lg 0.6＞lg 0.56，则有－lg 0.6＜－lg 0.56，即A2＋A3＞A1，B正确； 对于C，A1＋A3＝(－lg 0.6)＋(－lg 0.8)＝－lg 0.48，2A2＝－2lg 0.7＝－lg 0.49， 由于lg 0.48＜lg 0.49，则有－lg 0.48＞－lg 0.49，即A1＋A3＞2A2，C正确； 对于D，A1A3＝(－lg 0.6)(－lg 0.8)＝＝(－lg 0.7)(－lg 0.7)＝lg 0.7×lg 0.7， 由于＝＝＝＝＝＝log0.80.7， log0.70.6<＝log0.7＝log0.7， log0.80.7>＝log0.8＝log0.8， 则有log0.70.6课后习题(十六) 函数模型及其应用
1．(多选)(湘教版必修第一册P148习题4.5T4改编)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．
给出下列四种说法，其中正确的说法是( )
A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本
B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本
C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变
D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本
BC [由图(1)可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当x＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故选BC．]
2．(人教A版必修第一册P139练习T1改编)有一组实验数据如表所示：
x 1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
C [由题表中数据可知y随x的增大而增大且增长速度越来越快，A，D中的函数增长速度越来越慢；B中的函数增长速度保持不变；C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度越来越快．]
3．(多选)(人教A版必修第一册P155习题4.5T9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝at(a＞0，且a≠1)．下列说法正确的是( )
A．浮萍每月的增长率为2
B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2
C．浮萍每月增加的面积都相等
D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
BD [由题图可得，函数过点(1，2)，则2＝a1，即a＝2，故y＝2t．
对于A：浮萍每月的增长率为＝＝1，故A错误；
对于B：第5个月时，即t＝5时，浮萍的面积y＝25＝32＞30，故B正确；
对于C：第二个月比第一个月增加y2－y1＝22－21＝2，第三个月比第二个月增加y3－y2＝23－22＝4，即y2－y1≠y3－y2，故C错误；
对于D：由题意可得2＝，3＝，6＝，所以t1＝log22，t2＝log23，t3＝log26，则t1＋t2＝log22＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，故D正确．
故选BD．]
4．(人教A版必修第一册P161复习参考题4T13改编)为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是( )
A．9：00 B．8：40
C．8：30 D．8：00
A [由题图可知函数的图象过点(10，1)，
代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，
所以y＝
令y≤0.25，可得0.1t≤0.25(0≤t≤10)或≤0.25(t>10)，
解得0所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．]
5．(2025·常德模拟)荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1＋1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1－1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过( )天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg 101≈2.004 3，lg 99≈1.995 6)
A．100 B．230
C．130 D．365
B [设大约经过n天“进步值”大约是“退步值”的100倍，
则＝＝100 n＝≈230天．
故选B．]
6．(2025·浙江模拟)近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，G表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．16 B．72
C．74 D．90
C [由题意知，只要解不等式≤，化简得lg≤lg，
因为lg <0，
所以G≥×18＝×18＝×18＝×18≈73.856，
故选C．]
7．(多选)(2025·惠州模拟)现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60 ℃，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80 ℃，65 ℃，给出两个茶温T(单位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位：分钟)的函数模型：①T＝80·＋20；②T＝60·＋20．根据所给的数据，下列结论中正确的是( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A．选择函数模型①
B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
C．选择函数模型②
D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟
AD [选择函数模型①，则当t＝1时，T＝80·＋20＝80 ℃，当t＝2时，T＝80·＋20＝65 ℃，符合要求，选择函数模型②，则当t＝1时，T＝60·＋20＝60 ℃，不符合要求，故选择函数模型①，即A正确，C错误；令T＝60，则有60＝80·＋20，即t lg ＝lg ，
即t＝＝≈＝2.5，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待2.5分钟，故B错误，D正确．故选AD．]
8．(2025·福州福清市模拟)当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时10%的速度减少．现同时给两位患者分别注射800 mg药品A和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．0.57 h B．1.36 h
C．2.58 h D．3.26 h
C [设经过t小时后两位患者体内药品的残余量恰好相等，
由题意得，800×(1－25%)t＝500×(1－10%)t，
整理得＝，两边取常用对数得，tlg＝lg，
即t(lg 5－lg 6)＝lg 5－lg 8，即t(1－2lg 2－lg 3)＝1－4lg 2，
所以t＝≈≈2.58，
所以大约经过2.58 h时，两位患者体内药品的残余量恰好相等．故选C．]
9．(多选)(2025·重庆模拟)英国经济学家凯恩斯研究了国民收入支配与国家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派——凯恩斯学派．凯恩斯抽象出三个核心要素：国民收入Y，国民消费C和国民投资I，假设国民收入不是用于消费就是用于投资，就有其中常数a0表示房租、水电等固定消费，a(a≤1)为国民“边际消费倾向”．则( )
A．若固定I且I≥0，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若a＝，则收入增长量是投资增长量的5倍
D．若a＝－，则收入增长量是投资增长量的
AC [对于A，由得aY＝C－a0＝Y－I－a0，
所以a＝1－，若固定I且I≥0，由a0＞0，则国民收入Y越高，“边际消费倾向”a越大，选项A正确；对于B，因为I＝Y－C＝Y－a0－aY＝(1－a)Y－a0，因为a≤1，所以1－a≥0，固定Y且Y≥0，则“边际消费倾向”a越大，国民投资I越低，选项B错误；
对于C，a＝时，Y＝C＋I＝a0＋aY＋I＝a0＋Y＋I，所以Y＝5(a0＋I)，所以收入增长量ΔY是投资增长量ΔI的5倍，选项C正确；对于D，a＝－时，Y＝a0－Y＋I，所以Y＝(a0＋I)，则收入增长量是投资增长量的，选项D错误．故选AC．]
10．(2025·金华模拟)某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55～0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h．经测算下调电价后的新增用电量，和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为μ)．该地区的电力成本价为0.3元/kW·h．已知μ＝0.2a，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则最低的电价可定为______元/kW·h．
0.6 [设下调后的电价为x元/kW·h，
依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为0.2a)，
则新增用电量为，即用电量增至＋a，
所以本年度收益y＝(x－0.3)，0.55≤x≤0.75，
要保证收益增长率不低于20%，
则y≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，
即(x－0.3)≥[a×(0.8－0.3)](1＋20%)，
整理得x2－1.1x＋0.3≥0，解得x≥0.6或x≤0.5，
又0.55≤x≤0.75，所以0.60≤x≤0.75，即xmin＝0.6．]
11．(2025·河南济源模拟)随着全民健身运动的开展，人们的健身需求更加多样化和个性化．某健身机构趁机推出线上服务，健身教练开通直播，线上具有获客、运营、传播等便利，线下具有器械、场景丰富等优势，成功吸引新会员留住老会员．据机构统计，当直播间吸引粉丝量不低于2万人时，其线下销售健身卡的利润y(单位：万元)随粉丝量x(单位：万人)的变化情况如下表所示．根据表中数据，我们用函数模型y＝loga(x＋m)＋b进行拟合，建立y关于x的函数解析式．请你按此模型估测，当直播间的粉丝量为17万人时，线下销售健身卡的利润大约为________万元．
x 3 5 9
y
[由题意得
化简得
即＝＝a m＝－1，a＝2，
则＝log2(－1＋3)＋b＝1＋b b＝，
所以y＝log2(x－1)＋，
则x＝17时，y＝log2(17－1)＋＝．]
12．(2025·娄底涟源市模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m≤12且m∈R)克的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝·f (x)，其中f (x)＝
(1)若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
(2)若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
[解] (1)由m＝9可得y＝3f (x)＝
当0≤x＜6时，令≥2，解得x≤11，此时0≤x＜6；
当6≤x≤8时，令12－≥2，解得x≤，此时6≤x≤，
综上可得0≤x≤，
所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时．
(2)当6≤x≤8时，y＝2＋m＝8－x＋，
由y＝8－x，y＝(m≥1)在[6，8]均为减函数，
可得y＝8－x＋在[6，8]单调递减，即有y≥8－8＋＝，
由≥2，可得m≥，可得m的最小值为．
1/1
