阶段提能(四) 幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题
1．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48．从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是( )
[A] 1033 [B] 1053
[C] 1073 [D] 1093
2．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
3．(人教A版必修第一册P140习题4.4T5)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．
4．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13)有一道题“若函数f (x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由f (－1)f (1)＝(24a－5)(24a＋3)<0，解得－
上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
5．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为( )
A B
C D
6．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
[A] a>b>c [B] b>a>c
[C] c>a>b [D] b>c>a
7．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是( )
[A] 当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
[B] 当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
[C] 当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
[D] 当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
8．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
[A] 3N2＝2N1 [B] 2N2＝3N1
[C] ＝ [D] ＝
9．(经典题)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
[A] 1.5 [B] 1.2
[C] 0.8 [D] 0.6
10．(经典题)(2020·北京卷)已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集是( )
[A] (－1，1) [B] (－∞，－1)∪(1，＋∞)
[C] (0，1) [D] (－∞，0)∪(1，＋∞)
11．(经典题)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x)＝＋e－x+1)有唯一零点，则a＝( )
[A] － [B]
[C] [D] 1
12．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
[A] p1≥p2 [B] p2>10p3
[C] p3＝100p0 [D] p1≤100p2
1/1阶段提能(四) 幂、指、对(型)函数及其图象、函数零点问题
1．(湘教版必修第一册P152复习题四T11)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080，已知lg 3≈0.48．从数量级的角度考虑，下列各数中与最接近的是( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
D [由题意可得，M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有3＝10lg 3≈100.48，
∴M≈3361≈(100.48)361≈10173，
∴≈＝1093，故选D．]
2．(人教A版必修第一册P120习题4.2T9)已知函数y＝a＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与该直线相交．
(1)求该函数的解析式，并画出图象；
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
[解] (1)因为函数y＝a＋b的图象过原点，
所以0＝a＋b，
由函数的图象无限接近直线y＝2但又不与该直线相交，得b＝2，又a＋b＝0，所以a＝－2，
则y＝－2·＋2，其图象如图．
(2)由图知，y＝－2＋2是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
3．(人教A版必修第一册P140习题4.4T5)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为v＝，其中O表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数．
[解] (1)当一条鱼的耗氧量O＝2 700个单位时，它的游速v＝log3＝log3＝(m/s)．
(2)当v＝log3＝0时，＝1，解得O＝100．
所以鱼静止时耗氧量的单位数为100．
4．(人教A版必修第一册P156习题4.5T13)有一道题“若函数f (x)＝24ax2＋4x－1在区间(－1，1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”，某同学给出了如下解答：
由f (－1)f (1)＝(24a－5)(24a＋3)<0，解得－上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答．
[解] 不正确．理由如下：
当a＝0时，f (x)＝4x－1，此时零点为，符合题意．
当a≠0时，令24ax2＋4x－1＝0，
①当Δ＝0时，16＋96a＝0，解得a＝－，函数f (x)的图象与x轴交于点，f (x)的零点为，符合题意；
②当Δ>0时，16＋96a>0，解得a>－．
a．若f (－1)≠0，且f (1)≠0，则f (－1)·f (1)＝(24a－5)·(24a＋3)<0，解得－b．若f (－1)＝0，则24a－5＝0，解得a＝，此时f (x)＝5x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝－1，x2＝，
∴x＝是(－1，1)内唯一零点．
c．若f (1)＝0，则24a＋3＝0，解得a＝－，此时f (x)＝－3x2＋4x－1，令f (x)＝0，解得x1＝1，x2＝，
∴x＝是(－1，1)内的唯一零点．
综上，a∈，所以给出的解答不正确．
5．(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)cos x在区间的图象大致为( )
A B
C D
A [令f (x)＝(3x－3－x)cos x，x∈，
则f (－x)＝(3－x－3x)cos (－x)
＝－(3x－3－x)cos x＝－f (x)，
所以f (x)为奇函数，排除BD；
又当x∈时，3x－3－x＞0，cos x＞0，
所以f (x)＞0，排除C．
故选A．]
6．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
B [因为y＝4.2x在R上单调递增，且－0.3<0<0.3，
所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3，
所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上单调递增，且0<0.2<1，
所以log4.20.2所以b>a>c．
故选B．]
7．(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是( )
A．当T＝220，P＝1 026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9 987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
D [A选项：lg P＝lg 1 026>3，T＝220，由题图易知处于固态；B选项：lg P＝lg 128>2，T＝270，由题图易知处于液态；C选项：lg P＝lg 9 987≈3.999，T＝300，由题图易知处于固态；D选项：lg P＝lg 729>2，T＝360，由题图易知处于超临界状态．故选D．]
8．(2024·北京卷)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则( )
A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1
C．＝ D．＝
D [由题意，得＝2.1，＝3.15．若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，所以＝．故选D．]
9．(经典题)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
C [由题意知，4.9＝5＋lg V lg V＝－0.1 V＝＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8．]
10．(经典题)(2020·北京卷)已知函数f (x)＝2x－x－1，则不等式f (x)>0的解集是( )
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D [不等式f (x)>0等价于不等式2x>x＋1，作出函数y＝2x和函数y＝x＋1的图象，如图所示，易知两个函数图象的交点坐标为(0，1)和(1，2)，观察函数图象可知，当x<0或x>1时，函数y＝2x的图象在函数y＝x＋1的图象的上方，此时2x>x＋1，故不等式f (x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选D．
]
11．(经典题)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x)＝＋e－x+1)有唯一零点，则a＝( )
A．－ B．
C． D．1
C [法一：f (x)＝x2－2x＋a(ex-1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex-1＋e－(x-1)]－1，
令t＝x－1，则g(t)＝f (t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1．
∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，
∴函数g(t)为偶函数．
∵f (x)有唯一零点，
∴g(t)也有唯一零点．
又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，
∴2a－1＝0，解得a＝．
故选C．
法二：f (x)＝0 a(ex-1＋e－x+1)＝－x2＋2x．
ex-1＋e－x+1≥2＝2，
当且仅当x＝1时取“＝”．
－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．
若a＞0，则a(ex-1＋e－x+1)≥2a，
要使f (x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝．
若a≤0，则f (x)的零点不唯一．
故选C．]
12．(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
ACD [因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且∈[50，60]，所以，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝，因为＝40，所以p3＝＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则＞10，所以Lp2－Lp3＞20，不可能成立，故B不正确；因为＝＝≥1，所以p1≤100p2，故D正确．综上，故选ACD．]
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