导数的概念及其几何意义是近几年高考考查的热点，重在考查导数几何意义的应用，即切线问题，既有选择题、填空题，又可以作为解答题的第一问出现，难度适中．
(2024·新高考Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
[阅读与思考] 第1步：求导．
由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2．
第2步：求y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程．
故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1．
第3步：求导，设出曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点坐标．
由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点坐标为(x0，ln (x0＋1)＋a)．
第4步：利用切线斜率相等，求出x0．
由两曲线有公切线，得＝2，
解得x0＝－，
则切点为．
第5步：由切线重合求a．
切线方程为y－a－ln ＝2，
即y＝2x＋a－ln 2＋1．
由切线重合知a－ln 2＋1＝1，即a＝ln 2．
归纳总结：(1)两曲线y＝f (x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程．
(2)求与曲线y＝f (x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f ′(x1)＝g′(x2)＝，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程．
本题源自人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13，从条件上看，教材原题与高考真题都归结为“两曲线的公切线问题”，考查导数的几何意义及基本运算，属于课程学习情境；两者载体不同，在基本运算方面，高考真题的难度稍高于教材原题．
试题评价：本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等，完美诠释了教材的本位作用．
附：(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值．
第1课时 导数的概念及其意义、导数的运算
[考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
考点一 导数的概念
1．导数的概念
函数f (x)在x＝x0处瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或．
2．导数概念的诠释
(1)增量Δx可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx→0|可以小于给定的任意小的正数；
(2)当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与＝无限____；
(3)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即__________．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬时变化率，即f ′(x0)＝＝．
[典例1] (人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)(0≤x≤8)，若＝－6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为( )
A．－3 ℃/h B．3 ℃/h
C．－6 ℃/h D．6 ℃/h
[听课记录]
反思领悟 本例中，求在第2 h时原油温度的瞬时变化率，实质是求y＝f (x)在x＝2处的导数，即f ′(2)＝，它仅与“x0＝2”有关，与Δx无关．因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (2＋2Δx)－f (2)时，分母也应该是(2＋2Δx)－2＝2Δx，要注意公式的变形．
巩固迁移1 (2024· 眉山仁寿县期末)已知函数f (x)＝sin x＋4x，则＝( )
A．12 B．6
C．3 D．
考点二 导数的运算
1．基本初等函数的导数
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝__________
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ex f ′(x)＝____
f (x)＝ln x f ′(x)＝
f (x)＝sin x f ′(x)＝_________
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
2．导数的四则运算法则
若f ′(x)，g′(x)存在，则
(1)[f (x)±g(x)]′＝________________________；
(2)[f (x)g(x)]′＝__________________________________________；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[cf (x)]′＝______________(c为常数)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的____．
[典例2] (1)(2025·福州模拟)下列求导数的运算中正确的是( )
A．(log2x)′＝
B．′＝cos x－sin
C．(3x)′＝x·3x-1
D．[ln (2x－1)]′＝
(2)(2024·沈阳期末)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)＝3xf ′＋2cos x，则f ′＝( )
A． B．－
C．－ D．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，A，B，C的判断关键是熟练应用求导公式及其运算法则，D选项是复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元；本例(2)这种抽象函数求导的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解．
巩固迁移2 (多选)(2024·浙江名校联考)下列求导正确的是( )
A．(log23)′＝
B．[ln (2x)]′＝
C．(sin2x)′＝sin2x
D．′＝
考点三 导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的____，相应的切线方程为__________________________________________．
提醒：(1)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标未知，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键．
(2)函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f ′(x)|的大小反映了f (x)图象变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
求切线方程
[典例3] (1)(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．
(2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0
[听课记录]
反思领悟 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同，本例(2)属于“过点处”，解决关键是先设切点，由切点坐标求得切线方程，然后将点(0，3)代入切线方程后化简求值．
巩固迁移3 (1)(2024·深圳质量检测)曲线y＝(x3－3x)·ln x在点(1，0)处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．4x＋y－4＝0
(2)已知f (x)＝x2－，过原点作曲线y＝f (x)的切线，则切点的横坐标为( )
A．2 B．－2
C．－ D．
求切点坐标或参数
[典例4] (1)(2025·榆林模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
[听课记录]
反思领悟 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程．
巩固迁移4 (1)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
(2)(2025·宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______．
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
共切点的公切线问题
[典例1] 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f (x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝________．
[听课记录]
反思领悟 求共切点的公切线的一般思路
(1)设两曲线的公共切点P0(x0，y0)；(2)列关系式(3)求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f (x)或y＝h(x)，求y0；(4)所求公切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)或y－y0＝h′(x0)(x－x0)．
应用体验1 (2025·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5
C．1 D．0
不同切点的公切线问题
[典例2] 若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于( )
A．－30 B．－25
C．26 D．28
[听课记录]
反思领悟 求两曲线不同切点的公切线的一般思路
(1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；
(2)分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)；
(3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．
应用体验2 已知曲线f (x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
1．函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
2．曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最短距离是( )
A．2 B．
C． D．
3．若直线y＝1与曲线f (x)＝aex－x2相切，则a＝( )
A．2e B．e
C． D．
4．已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为________．
1/1 导数的概念及其几何意义是近几年高考考查的热点，重在考查导数几何意义的应用，即切线问题，既有选择题、填空题，又可以作为解答题的第一问出现，难度适中．
(2024·新高考Ⅰ卷T13)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________．
[阅读与思考] 第1步：求导．
由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2．
第2步：求y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程．
故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1．
第3步：求导，设出曲线y＝ln (x＋1)＋a的切点坐标．
由y＝ln (x＋1)＋a，得y′＝，
设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点坐标为(x0，ln (x0＋1)＋a)．
第4步：利用切线斜率相等，求出x0．
由两曲线有公切线，得＝2，
解得x0＝－，
则切点为．
第5步：由切线重合求a．
切线方程为y－a－ln ＝2，
即y＝2x＋a－ln 2＋1．
由切线重合知a－ln 2＋1＝1，即a＝ln 2．
归纳总结：(1)两曲线y＝f (x)，y＝g(x)在公共点(a，b)处有相同的切线，则满足方程组解此方程组可得a，进而得b后得出切线方程．
(2)求与曲线y＝f (x)，y＝g(x)切点不同的公切线，分别设出切点坐标(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，满足方程组f ′(x1)＝g′(x2)＝，据此解得x1或者x2，即可求得公切线方程．
本题源自人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13，从条件上看，教材原题与高考真题都归结为“两曲线的公切线问题”，考查导数的几何意义及基本运算，属于课程学习情境；两者载体不同，在基本运算方面，高考真题的难度稍高于教材原题．
试题评价：本题考查了导数的几何意义及利用导数求切线方程的方法，着重考查了数学运算和逻辑推理的核心素养，难度中等，完美诠释了教材的本位作用．
附：(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T13)已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋3)x＋1只有一个公共点，求a的值．
第1课时 导数的概念及其意义、导数的运算
[考试要求] 1．了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数．2．通过函数图象，理解导数的几何意义．3．能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax＋b))的导数．
考点一 导数的概念
1．导数的概念
函数f (x)在x＝x0处瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或．
2．导数概念的诠释
(1)增量Δx可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0．Δx→0的意义：Δx与0之间距离要多近有多近，即|Δx→0|可以小于给定的任意小的正数；
(2)当Δx→0时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与＝无限接近；
(3)导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬时变化率，即f ′(x0)＝＝．
[典例1] (人教A版选择性必修第二册P65例2改编)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热．在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y＝f (x)(0≤x≤8)，若＝－6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为( )
A．－3 ℃/h B．3 ℃/h
C．－6 ℃/h D．6 ℃/h
A [＝－6，
则2＝2f ′(2)＝－6，
解得f ′(2)＝－3，
故在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为－3 ℃/h．故选A．]
反思领悟 本例中，求在第2 h时原油温度的瞬时变化率，实质是求y＝f (x)在x＝2处的导数，即f ′(2)＝，它仅与“x0＝2”有关，与Δx无关．因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f (2＋2Δx)－f (2)时，分母也应该是(2＋2Δx)－2＝2Δx，要注意公式的变形．
巩固迁移1 (2024· 眉山仁寿县期末)已知函数f (x)＝sin x＋4x，则＝( )
A．12 B．6
C．3 D．
B [∵f ′(x)＝cos x＋4，
∴f ′(π)＝3，
∴
＝2＝2f ′(π)＝6．
故选B．]
考点二 导数的运算
1．基本初等函数的导数
基本初等函数 导函数
f (x)＝c(c为常数) f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0) f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝ax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝axln a
f (x)＝logax(a>0，且a≠1) f ′(x)＝
f (x)＝ex f ′(x)＝ex
f (x)＝ln x f ′(x)＝
f (x)＝sin x f ′(x)＝cos_x
f (x)＝cos x f ′(x)＝－sin x
2．导数的四则运算法则
若f ′(x)，g′(x)存在，则
(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3)′＝(g(x)≠0)；
(4)[cf (x)]′＝cf ′(x)(c为常数)．
3．复合函数的导数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
[典例2] (1)(2025·福州模拟)下列求导数的运算中正确的是( )
A．(log2x)′＝
B．′＝cos x－sin
C．(3x)′＝x·3x-1
D．[ln (2x－1)]′＝
(2)(2024·沈阳期末)已知函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)＝3xf ′＋2cos x，则f ′＝( )
A． B．－
C．－ D．
(1)D (2)D [(1)对于A，(log2x)′＝，故A错误；
对于B，′＝cos x，故B错误；
对于C，(3x)′＝3x ln 3，故C错误；
对于D，[ln (2x－1)]′＝×2＝，故D正确．故选D．
(2)f (x)＝3xf ′＋2cos x，则f ′(x)＝3f ′－2sin x，
故f ′＝3f ′－2sin ，解得f ′＝．故选D．]
反思领悟 本例(1)中，A，B，C的判断关键是熟练应用求导公式及其运算法则，D选项是复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时进行换元；本例(2)这种抽象函数求导的关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解．
巩固迁移2 (多选)(2024·浙江名校联考)下列求导正确的是( )
A．(log23)′＝
B．[ln (2x)]′＝
C．(sin2x)′＝sin2x
D．′＝
BC [对于A，(log23)′＝0，故A错误；
对于B，[ln (2x)]′＝(ln 2＋ln x)′＝(ln 2)′＋(ln x)′＝，故B正确；
对于C，(sin2x)′＝2sinx cos x＝sin 2x，故C正确；
对于D，′＝＝
，故D错误．故选BC．]
考点三 导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)·(x－x0)．
提醒：(1)求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标未知，要设出切点坐标，根据：①斜率相等，②切点在切线上，③切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键．
(2)函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f ′(x)|的大小反映了f (x)图象变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
求切线方程
[典例3] (1)(2024·全国甲卷)设函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．
(2)过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0
(1)A (2)B [(1)f ′(x)＝，所以f ′(0)＝3，所以曲线y＝f (x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝，故选A．
(2)由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2，设切点坐标为－2x0＋1)，
则切线的斜率k＝－2，切线方程为－2x0＋1)＝－2)(x－x0)，由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，则切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0，故选B．]
反思领悟 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同，本例(2)属于“过点处”，解决关键是先设切点，由切点坐标求得切线方程，然后将点(0，3)代入切线方程后化简求值．
巩固迁移3 (1)(2024·深圳质量检测)曲线y＝(x3－3x)·ln x在点(1，0)处的切线方程为( )
A．2x＋y－2＝0 B．x＋2y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．4x＋y－4＝0
(2)已知f (x)＝x2－，过原点作曲线y＝f (x)的切线，则切点的横坐标为( )
A．2 B．－2
C．－ D．
(1)A (2)C [(1)因为y′＝(3x2－3)·ln x＋·(x3－3x)，故所求切线斜率k＝y′|x＝1＝－2，故所求切线方程为y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0．
故选A．
(2)由f (x)＝x2－，
得f ′(x)＝x＋，
设切点坐标为，
∴f ′(x0)＝，
则切线方程为＋＝(x－x0)，
∵切线过原点，
∴＋＝＝－，
解得x0＝－．]
求切点坐标或参数
[典例4] (1)(2025·榆林模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋x2的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______．
(1)B (2)(－∞，－4)∪(0，＋∞) [(1)因为f (x)＝a ln x＋x2，所以f ′(x)＝＋2x．
又f (x)的图象在x＝1处的切线方程为3x－y＋b＝0，所以f ′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，
则f (x)＝ln x＋x2，所以f (1)＝1，
将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，
解得b＝－2，故a＋b＝－1．故选B．
(2)∵y＝(x＋a)ex，∴y′＝(x＋1＋a)ex，
设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝，切线斜率k＝，切线方程为＝(x－x0)，
∵切线过原点＝·(－x0)，整理得＋ax0－a＝0，
∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，
∴a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________．
4 [设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为＋x0＋a)，由y＝ex＋x＋a得y′＝ex＋1，所以y′|x＝＝＋1＝2，解得x0＝0，所以切点坐标为(0，1＋a)，又切点(0，1＋a)在切线y＝2x＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4.]
反思领悟 处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上，故满足切线方程；(3)切点在曲线上，故满足曲线方程．
巩固迁移4 (1)已知曲线y＝aex＋x ln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e-1，b＝1 D．a＝e-1，b＝－1
(2)(2025·宣城模拟)若曲线y＝a ln x＋x2(a＞0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝______．
(1)D (2) [(1)由y′＝aex＋ln x＋1，根据导数的几何意义易得y′|x＝1＝ae＋1＝2，解得a＝e-1，从而得到切点坐标为(1，1)，将其代入切线方程y＝2x＋b，得2＋b＝1，解得b＝－1．
(2)因为y＝a ln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，所以＝2，所以a＝．故答案为．]
求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．
共切点的公切线问题
[典例1] 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，设两曲线y＝f (x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m＝________．
5 [依题意，设曲线y＝f (x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．∵f (x)＝x2－m，h(x)＝6ln x－4x，∴f ′(x)＝2x，h′(x)＝－4，
∴即
∵x0>0，∴x0＝1，m＝5．]
反思领悟 求共切点的公切线的一般思路
(1)设两曲线的公共切点P0(x0，y0)；(2)列关系式(3)求公共切点P0的横坐标x0，再代入y＝f (x)或y＝h(x)，求y0；(4)所求公切线方程为y－y0＝f ′(x0)(x－x0)或y－y0＝h′(x0)(x－x0)．
应用体验1 (2025·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5
C．1 D．0
C [设两曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f (x)＝－2x2＋m，
可得f ′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f ′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，
可得g′(x)＝－－1，
则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，
解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f (x)＝－2x2＋m，
可得m＝1．]
不同切点的公切线问题
[典例2] 若直线x＋y＋m＝0是曲线y＝x3＋nx－52与曲线y＝x2－3ln x的公切线，则m－n等于( )
A．－30 B．－25
C．26 D．28
C [设直线x＋y＋m＝0与曲线y＝x3＋nx－52切于点(a，－a－m)，与曲线y＝x2－3ln x切于点(b，－b－m)．
对于函数y＝x2－3ln x，
y′＝2x－，
则2b－＝－1，
解得b＝1或b＝－(舍去)．
所以1－3ln 1＝－1－m，即m＝－2．
对于函数y＝x3＋nx－52，
y′＝3x2＋n，
则3a2＋n＝－1，a3－(3a2＋1)a－52＝－a＋2，
整理得a3＝－27，则a＝－3，
所以n＝－3a2－1＝－28，
故m－n＝26．]
反思领悟 求两曲线不同切点的公切线的一般思路
(1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)；
(2)分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)；
(3)由公切线转化为两切线方程对应项系数相同，列方程组消元求解x1或x2，再求公切线方程．
应用体验2 已知曲线f (x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
[由f (x)＝x3＋ax＋，得f ′(x)＝3x2＋a．∵f ′(0)＝a，f (0)＝，∴曲线y＝f (x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax．设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，g′(x)＝－，∴
将②代入①得ln x0＝，∴x0＝，
∴a＝－．]
【教用·备选题】
已知曲线C：y＝xex过点A(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)
A [对函数y＝xex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex．设切点坐标为，则曲线y＝xex过点A(a，0)的切线的斜率k＝＝，化简得－ax0－a＝0．依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)＞0，解得a＜－4或a＞0．故选A．]
1．函数f (x)＝x4－2x3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
B [因为f (x)＝x4－2x3，所以f ′(x)＝4x3－6x2，所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－2，因此，所求切线的方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．故选B．]
2．曲线y＝ln x上的点到直线y＝x＋2的最短距离是( )
A．2 B．
C． D．
B [设曲线y＝ln x上一点(x0，ln x0)，且在该点处切线的斜率为1，y′＝，所以斜率k＝＝1，解得x0＝1，故切点为(1，0)，切线方程为y＝x－1，两直线间的距离为＝，即为所求．故选B．]
3．若直线y＝1与曲线f (x)＝aex－x2相切，则a＝( )
A．2e B．e
C． D．
C [设直线y＝1与曲线f (x)＝aex－x2相切于点(x0，1)，则必有又f ′(x)＝aex－2x，所以解得故选C．]
4．已知曲线y＝x3＋，那么曲线过点P(2，4)的切线方程为________．
y＝4x－4或y＝x＋2 [设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点，y′＝x2，则切线的斜率为k＝＝，所以切线方程为－＝(x－x0)，代入点P(2，4)，可得－＝(2－x0)，即＋4＝0，解得x0＝2或x0＝－1，故所求的切线方程为y＝4x－4或y＝x＋2．]
【教用·备选题】
1．(2025·长春模拟)函数f (x)＝的图象在x＝0处的切线的斜率为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [f (x)＝，
则f ′(x)＝＝，
故f ′(0)＝＝3，即所求切线的斜率为3．故选C．]
2．(2025·揭阳惠来县模拟)若直线y＝kx与曲线y＝ln x和曲线y＝eax都相切，则a＝________．
[设曲线y＝ln x的切点坐标为P(m，ln m)，
∵y＝ln x，∴y′＝，∴k＝y′|x＝m＝，①
又∵切点P(m，ln m)在切线y＝kx上，
∴ln m＝km，②
由①②，解得k＝，
直线y＝x和曲线y＝eax相切，切点坐标为(n，ean)，
可得y′＝aeax，aean＝，ean＝，
解得a＝．]
课后习题(十七) 导数的概念及其意义、导数的运算
1．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T3改编)已知函数f (x)＝x(19＋ln x)，若f ′(x0)＝20，则x0＝( )
A．e2 B．1
C．ln 2 D．e
B [由f (x)＝x(19＋ln x)，得f ′(x)＝20＋ln x，
又f ′(x0)＝20，所以20＋ln x0＝20，
则ln x0＝0，解得x0＝1．故选B．]
2．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT2改编)已知函数f (x)＝2f ′(3)x－x2＋ln x(f ′(x)是f (x)的导函数)，则f (1)＝( )
A．－ B．－
C． D．
D [由题意得f ′(x)＝2f ′(3)－x＋，
∴f ′(3)＝2f ′(3)－，得f ′(3)＝1，
∴f (x)＝2x－x2＋ln x，
∴f (1)＝2－＝，故选D．]
3．(人教B版选择性必修第三册P91习题6－1CT3改编)若直线y＝4x＋m是曲线y＝x3－nx＋13与曲线y＝x2＋2ln x的公切线，则n－m＝( )
A．11 B．12
C．－8 D．－7
A [由y＝x2＋2ln x，得y′＝2x＋，由2x＋＝4，解得x＝1，
则直线y＝4x＋m与曲线y＝x2＋2ln x相切于点(1，4＋m)，
∴4＋m＝1＋2ln 1＝1，得m＝－3．
∴直线y＝4x－3是曲线y＝x3－nx＋13的切线，
由y＝x3－nx＋13，得y′＝3x2－n，设切点为(t，t3－nt＋13)，
则3t2－n＝4，且t3－nt＋13＝4t－3，联立可得2t3＝16，解得t＝2，由n＝3t2－4，得n＝8．
∴n－m＝8－(－3)＝11．
故选A．]
4．(人教A版选择性必修第二册P81T1，2改编)求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋；(2)y＝x sin x－ln x；
(3)y＝；(4)y＝(x－1)；
(5)y＝ex tan x；(6)y＝；
(7)y＝x sin x＋ex ln x－2；(8)y＝；
(9)y＝(3x＋2)3；(10)y＝sin 2x；
(11)y＝；(12)y＝ln (4x＋5)．
[解] (1)由y＝x2＋，
得y′＝2x－．
(2)由y＝x sin x－ln x，
得y′＝(x sin x)′－(ln x)′
＝sin x＋x cos x－
＝sin x＋x cos x－·ln x－．
(3)由y＝，
得y′＝
＝．
(4)由y＝(x－1)＝，
得y′＝．
(5)由y＝ex tan x＝，得y′＝
＝
＝＝ex．
(6)由y＝，
得y′＝
＝．
(7)由y＝x sin x＋ex ln x－2，
得y′＝sin x＋x cos x＋ex ln x＋．
(8)由y＝，
得y′＝
＝．
(9)由y＝(3x＋2)3，得y′＝3×(3x＋2)2×3＝9(3x＋2)2．
(10)由y＝sin 2x，得y′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x．
(11)由y＝，
得y′＝·(4x－6)′＝＝．
(12)由y＝ln (4x＋5)，得y′＝·(4x＋5)′＝．
5．(2024·重庆九龙坡区月考)下列求导运算正确的是( )
A．′＝3x2＋
B．′＝
C．(22x)′＝22x+1
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
B [对于选项A，′＝3x2－，故A错误；
对于选项B，′＝＝，故B正确；
对于选项C，(22x)′＝2×22x×ln 2＝ln 2×22x+1，故C错误；
对于选项D，(x2cos x)′＝(x2)′cos x＋x2(cos x)′＝2x cos x－x2sin x，故D错误．
故选B．]
6．(2024·北京怀柔区期末)已知函数y＝f (x)的图象如图所示，则下列各式中正确的是( )
A．f ′(1)＞f (3)－f (2)＞f ′(3)
B．f ′(3)＞f ′(1)＞f (3)－f (2)
C．f ′(3)＞f (3)－f (2)＞f ′(1)
D．f ′(1)＞f ′(3)＞f (3)－f (2)
C [由题图可知，函数y＝f (x)的图象在x＝3处的切线斜率大于在x＝1处的切线斜率，
则f ′(3)＞f ′(1)，设x＝2在函数图象上对应的点为A，x＝3在函数图象上对应的点为B，
则kAB＝＝f (3)－f (2)，
由题干图象可知，f ′(3)＞f (3)－f (2)＞f ′(1)．故选C．]
7．(2025·新乡模拟)若曲线y＝x3＋x＋3在点(1，5)处的切线与曲线y＝ln x＋ax在点(1，a)处的切线平行，则a＝( )
A．3 B．2
C． D．
A [由y＝ln x＋ax，得y′＝＋a，由y＝x3＋x＋3，得y′＝3x2＋1，
所以3＋1＝1＋a，得a＝3．
故选A．]
8．(2024·常州天宁区月考)下列命题正确的是( )
A．(sin π)′＝cos π
B．已知函数f (x)＝ln (2x＋1)，若f ′(x0)＝1，则x0＝0
C．已知函数f (x)在R上可导，若f ′(1)＝2，则＝2
D．设函数f (x)的导函数为f ′(x)，且f (x)＝x2＋3xf ′(2)＋ln x，则f ′(2)＝－
D [对A，(sin π)′＝0，故A错误；
对B，f ′(x)＝(2x＋1)′＝，若f ′(x0)＝1，则＝1，即x0＝，故B错误；
对C，＝2f ′(1)＝4，故C错误；
对D，f ′(x)＝2x＋3f ′(2)＋，故f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋，故f ′(2)＝－，故D正确．
故选D．]
9．(2024·山东淄博期末)若函数f (x)满足＝，则f ′(1)＝________．
－ [根据导数的定义可知，＝－＝－f ′(1)＝，
所以f ′(1)＝－．故答案为－．]
10．(2025·信阳模拟)曲线y＝在x＝处的切线方程为________．
y＝－x＋1 [y＝的导数为y′＝，
可得在x＝处的切线的斜率为k＝－，切点为，
曲线y＝在x＝处的切线方程为y－0＝，
即y＝－x＋1．]
11．(2025·牡丹江东安区模拟)已知曲线C：y＝x3＋x－2．
(1)求与直线y＝4x－1平行，且与曲线C相切的直线方程；
(2)设曲线C上任意一点处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．
[解] (1)由y＝x3＋x－2，可得y′＝3x2＋1，
令3x2＋1＝4，解得x＝±1，
当x＝1时，切点坐标为(1，0)，
则切线方程为y＝4(x－1)，即4x－y－4＝0；
当x＝－1时，切点坐标为(－1，－4)，
则切线方程为y＋4＝4(x＋1)，即4x－y＝0；
综上，所求直线方程为4x－y－4＝0或4x－y＝0．
(2)由(1)结合导数的几何意义可得，tan α＝3x2＋1≥1，
又α∈[0，π)，则α∈．
12．(2025·广东模拟节选)已知函数f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1．求曲线y＝f (x)与y＝g(x)的公切线的条数．
[解] 设曲线f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1的切点分别为(x1，f (x1))，(x2，g(x2))，
则f ′(x)＝，g′(x)＝ex，
故曲线f (x)＝ln x＋1，g(x)＝ex－1在切点处的切线方程分别为y＝(x－x1)＋ln x1＋1 y＝x＋ln x1，
y＝－1 y＝－1，
则需满足
故＝－1)(x2－1)＝0，
解得x2＝0或x2＝1，
因此曲线y＝f (x)与y＝g(x)有两条不同的公切线．
1/1
