第4课时 导数与函数的极值
[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
考点一 根据图象判断极值
函数的极小值：若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
函数的极大值：若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．
提醒：(1)对于可导函数f (x)，f ′(x)＝0是f (x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f (x)＝x3，f ′(x)＝3x2，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．
(2)极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大．
[典例1] (2024·西安临潼区二模)如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．y＝f (x)在x＝－1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f (x)的极值点
C．x＝－2是函数y＝f (x)的极小值点
D．函数y＝f (x)在区间(－1，1)上单调递减
C [由题干图象知，当x＜－2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减；
当x≥－2时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，
所以当x＝－2时，函数f (x)取得极小值，无极大值，故选项C正确，选项A，B错误，
又函数y＝f (x)在(－∞，－2)上单调递减，故选项D错误．故选C．]
反思领悟 由图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由导函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f ′(x)的图象可以看出y＝f ′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性．两者结合可得极值点．
巩固迁移1 设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)·f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)
B．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1)
C．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2)
D．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2)
D [由题图可知，当x<－2时，f ′(x)>0；
当－2
当12时，f ′(x)>0．
由此可以得到函数f (x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．]
考点二 求函数的极值或极值点
求函数f (x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x);
(2)求方程f ′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得极小值；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f (x)在这个根处无极值．
[典例2] (人教A版选择性必修第二册P91例5改编)设函数f (x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f (x)的单调性并判断f (x)有无极值，若有极值，求出f (x)的极值．
[解] f ′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋a)ex＝(x＋2)(x＋a)ex，
当a＝2时，f ′(x)≥0，
所以函数f (x)在R上单调递增，无极值；
当a≠2时，令f ′(x)＝0，
解得x＝－2或x＝－a，
不妨令x1列表如下：
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) ? 极大值 ? 极小值 ?
当－a>－2，即a<2时，取x1＝－2，x2＝－a，其单调区间如表所示，
极大值为f (－2)＝(4－a)e-2，极小值为f (－a)＝ae－a．
当－a<－2，即a>2时，取x1＝－a，x2＝－2，其单调区间如表所示，
极小值为f (－2)＝(4－a)e-2，极大值为f (－a)＝ae－a．
反思领悟 一般地，当f ′(x0)＝0时，若f ′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f (x)在x＝x0处存在极值；若f ′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f (x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点取得极值所对应的条件检验每一组解对应的函数在该点是否能取得极值，从而进行取舍．
巩固迁移2 (1)若f (x)＝x3－3x的两个极值点为x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
(2)已知函数f (x)＝ln (1＋x)－mx，求函数f (x)的极值．
(1)B [由f (x)＝x3－3x，得f ′(x)＝3x2－3，令f ′(x)＞0，解得x＜－1或x＞1，
令f ′(x)＜0，解得－1＜x＜1，
所以f (x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，
所以函数的极值点为－1和1，则x1＋x2＝0．故选B．]
(2)[解] f (x)＝ln (1＋x)－mx，
则f (x)的定义域为(－1，＋∞)，
f ′(x)＝－m(x>－1)．
①当m≤0时，f ′(x)>0，
则f (x)在(－1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x)无极值．
②当m>0时，由f ′(x)>0，
得－1由f ′(x)<0，得x>－1．
所以f (x)在上单调递增，在上单调递减．
故当x＝－1时，f (x)有极大值f ＝m－1－ln m，无极小值．
综上所述，当m≤0时，f (x)无极值；当m>0时，f (x)有极大值m－1－ln m，无极小值．
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则( )
A．f(0)＝0
B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2
C．f(x)≥2，当且仅当x≥
D．x＝－1是f(x)的极大值点
ABD [因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故A正确；当x＜0时，－x＞0，因此f(－x)＝[(－x)2－3]e－x＋2＝－f(x)，因此f(x)＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；当x＞0时，f(x)＝(x2－3)·ex＋2，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex＝(x＋3)(x－1)ex，令f′(x)＞0，得x＞1，令f′(x)＜0，得0＜x＜1，因此f(x)在x＝1处取得极小值，因此奇函数f(x)在x＝－1处取得极大值，故D正确；当x＞0时，f(x)≥2，即(x2－3)ex≥0，解得x≥，当x＜0时，f(x)在x＝－1处取得极大值，f(－1)＝－(1－3)e－2＝2e－2＞2，因此在(－∞，0)上也存在满足f(x)≥2的区间，故C错误．故选ABD.]
考点三 由函数的极值求参数
[典例3] (1)若函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则b＋a＝( )
A．－7 B．0
C．7 D．0或7
(2)若函数f (x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为________．
(1)C (2)(0，1) [(1)函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2，求导得f ′(x)＝3x2－2ax－b，依题意，解得a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11．当a＝3，b＝－3时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数f (x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；当a＝－4，b＝11时，f ′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，当－1时，f ′(x)>0，于是x＝1是函数f (x)的极值点，符合题意，所以b＋a＝7．
(2)由f (x)＝x3－3ax＋1可得f ′(x)＝3x2－3a，当a≤0时，f ′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f (x)在(0，1)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f ′(x)＝3x2－3a>0，可得x>或x<－；
令f ′(x)＝3x2－3a<0，可得－0时，f (x)＝x3－3ax＋1在x＝处取得极小值，
若函数f (x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则0<<1，解得0综上所述，实数a的取值范围为(0，1)．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________．
－4 [f′(x)＝(x－2)′[(x－1)(x－a)]＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′＝(x－1)(x－a)＋(x－2)[(x－1)(x－a)]′，因为x＝2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)＝0，即(2－1)(2－a)＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f(x)＝(x－1)(x－2)2，所以f(0)＝－4.]
反思领悟 (1)已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验．
(2)判断极值点的个数，转化为判断导数的零点的个数．
巩固迁移3 (1)(2025·拉萨模拟)已知函数f (x)＝ae2x-2＋bx在x＝1处取得极大值1，则f ′(2)＝( )
A．2－e2 B．2－2e2
C．2e2－2 D．e2－2
(2)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，则c的值为________．
(1)B (2)3 [(1)函数f (x)＝ae2x-2＋bx的导数为f ′(x)＝2ae2x-2＋b，
由函数f (x)＝ae2x-2＋bx在x＝1处取得极大值1，
可得f ′(1)＝0，f (1)＝1，即2a＋b＝0，a＋b＝1，解得a＝－1，b＝2，
则f (x)＝－e2x-2＋2x，导数为f ′(x)＝－2e2x-2＋2，
验证可得，x＝1为极大值点，故a＝－1，b＝2，
可得f ′(2)＝－2e2＋2．故选B．
(2)因为f (x)＝x(x－c)2，
所以f ′(x)＝(x－c)(3x－c)，
又因为函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，
所以f ′(3)＝(3－c)(9－c)＝0，解得c＝3或c＝9，
当c＝3时，f ′(x)＝(x－3)(3x－3)，
所以x>3时，f ′(x)>0，1所以函数f (x)在x＝3处取得极小值；
当c＝9时，f ′(x)＝(x－9)(3x－9)，
所以30，
所以函数f (x)在x＝3处取得极大值，不合题意，舍去．综上，c的值为3．]
1．(2024·北京海淀区二模)函数f (x)＝是( )
A．偶函数，且没有极值点
B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点
D．奇函数，且有一个极值点
B [f (x)的定义域为R，关于原点对称，设x＞0，则f (x)＝，
f (－x)＝3－x＝＝f (x)，所以f (x)为偶函数，当x≤0时，f ′(x)＝3x ln 3＞0，
当x＞0时，f ′(x)＝ ln ＜0，所以f (x)先增后减，有一个极值点．故选B．]
2．已知函数f (x)＝x2－(1＋a)x＋a ln x在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1]
C [因为函数f (x)＝x2－(1＋a)x＋a ln x，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x)＝x－(1＋a)＋＝．当a∈(0，1)时，由f ′(x)>0，可得01，由f ′(x)<0，可得a0，可得0a，由f ′(x)<0，可得13．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值点是________，极小值点是________．
x2 x4 [因为x2，x4点处的导数都为零，且这两点左右两侧的导数值异号，所以x2，x4是函数的极值点．因为当x∈(x1，x2)时，f ′(x)>0，当x∈(x2，x3)时，f ′(x)<0，所以x2是极大值点．因为当x∈(x3，x4)时，f ′(x)<0，当x∈(x4，x5)时，f ′(x)>0，所以x4是极小值点．]
4．设函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝－1和x＝1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a＋b＋c＝________．
1 [由题可得f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f (x)在x＝1和x＝－1处均有极值，且f (－1)＝－1，
所以即
解得经检验符合题意，所以a＋b＋c＝1．]
【教用·备选题】 1．(2025·衡水桃城区模拟)函数f (x)＝2x－tan x－π在区间上的极大值、极小值分别为( ) A．＋1，－＋1 B．－＋1，－＋1 C．－1，－＋1 D．－－1，－＋1 D [由题意，得f ′(x)＝2－′＝2－＝， 当x∈时，2cos2x－1＜0，f ′(x)＜0； 当x∈时，2cos2x－1＞0，f ′(x)＞0． 所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当x＝－时，f (x)取得极小值，为f ＝－＋1； 当x＝时，f (x)取得极大值，为f ＝－－1．故选D．] 2．(2025·宝鸡模拟)若函数f (x)＝－x2＋4x－2a ln x有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞) C [因为f (x)＝－x2＋4x－2a ln x有两个不同的极值点， 所以f ′(x)＝－x＋4－＝在(0，＋∞)上有2个不同的零点，且零点两侧异号， 所以x2－4x＋2a＝0在(0，＋∞)上有2个不同的实数根x1，x2，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号， 所以，解得0＜a＜2． 故选C．] 3．(多选)若函数f (x)＝a ln x－2x2＋bx既有极小值又有极大值，则( ) A．ab＜0 B．a＜0 C．b2＋16a＞0 D．|a－b|＜4 ABC [f ′(x)＝－4x＋b＝， ∵f (x)＝a ln x－2x2＋bx既有极小值又有极大值， ∴－4x2＋bx＋a＝0在(0，＋∞)上有两个不同的实数根， ∴，∴， ∴ab＜0，a＜0，b2＋16a＞0，显然|a－b|＜4不一定成立．故选ABC．] 4．(2024·眉山仁寿县月考)函数y＝f (x)的导数y＝f ′(x)仍是x的函数，通常把导函数y＝f ′(x)的导数叫做函数y＝f (x)的二阶导数，记作y＝f ″(x)．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…．一般地，n－1阶导数的导数叫做n阶导数，函数y＝f (x)的n阶导数记作y＝f (n)(x)，例如y＝ex的n阶导数(ex)(n)＝ex．若f (x)＝xex＋sin x，则f (2 024)(0)＝( ) A．2 022 B．2 023 C．2 024 D．2 025 C [依题意，f ′(x)＝(x＋1)ex＋cos x，f ″(x)＝(x＋2)ex－sin x，f (3)(x)＝(x＋3)ex－cos x， f (4)(x)＝(x＋4)ex＋sin x，f (5)(x)＝(x＋5)ex＋cos x，f (6)(x)＝(x＋6)ex－sin x， f (7)(x)＝(x＋7)ex－cos x，f (8)(x)＝(x＋8)ex＋sin x，…， 由此得f (4n)(x)＝(x＋4n)ex＋sin x， f (4n+1)(x)＝(x＋4n＋1)ex＋cos x， f (4n+2)(x)＝(x＋4n＋2)ex－sin x，f (4n+3)(x)＝(x＋4n＋3)ex－cos x，n∈N*， 因此f (2 024)(x)＝(x＋2 024)ex＋sin x，所以f (2 024)(0)＝2 024． 故选C．] 5．已知函数f (x)＝． (1)求函数f (x)的极值； (2)若曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线与曲线y＝ax2＋(2a＋5)x－2只有一个公共点，求a的值． [解] (1)易知f (x)定义域为R，f ′(x)＝＝， 当x∈(－∞，2)时，f ′(x)＞0，当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＜0． 所以f (x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减， 故f (x)在x＝2处取得极大值且极大值f (2)＝，无极小值． (2)由(1)知f ′(x)＝，则f ′(0)＝2，又f (0)＝0． 所以曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线为y＝2x， 把y＝2x代入曲线方程y＝ax2＋(2a＋5)x－2， 得ax2＋(2a＋3)x－2＝0有唯一解． ①当a＝0时，方程为3x－2＝0，有唯一解x＝，符合题意； ②当a≠0且Δ＝0时，即(2a＋3)2－4a×(－2)＝4a2＋20a＋9＝0， 解得a＝－或a＝－． 综上可得，a＝－或－或0． 6．(2025·昭通模拟)已知函数f (x)＝a ln x＋bx2－7x＋在点(1，f (1))处的切线方程为2x＋y＋3＝0． (1)求a，b； (2)求f (x)的单调区间和极值． [解] (1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＋2bx－7， 将点(1，f (1))代入2x＋y＋3＝0中， 2×1＋f (1)＋3＝0，∴f (1)＝－5． (2)f (x)＝2ln x＋x2－7x＋， f ′(x)＝＋3x－7＝＝， 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示． x 2(2，＋∞)f ′(x)＋0－0＋f (x)单调 递增极大 值单调 递减极小 值单调 递增
f (x)的单调递增区间为，(2，＋∞)，单调递减区间为； f (x)的极大值为f ＝－－2ln 3，极小值为f (2)＝－＋2ln 2．
课后习题(二十) 导数与函数的极值
1．(人教A版选择性必修第二册P95例7改编)函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是( )
A． B．
C．e D．e2
C [f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e．当0＜x＜e时，f ′(x)＞0；当x＞e时，f ′(x)＜0．所以x＝e时，f (x)取到极大值，f (x)极大值＝f (e)＝e．]
2．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T9改编)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )
A．4 B．2或6
C．2 D．6
C [函数f (x)＝x(x－c)2的导数为f ′(x)＝3x2－4cx＋c2．
由题意知，f (x)在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或c＝6．
又函数f (x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正．当c＝2时，f (x)＝x(x－2)2的导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，即在x＝2处有极小值．而当c＝6时，f (x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值．故c＝2．]
3．(人教B版选择性必修第三册P101练习BT3改编)已知函数f (x)＝x3＋x2－cx－d有极值，则c的取值范围为( )
A． B．
C． D．
D [由题意知，f (x)的定义域为R，f ′(x)＝x2＋x－c，要使函数f (x)有极值，则f ′(x)＝0必有两个不等的实根，则Δ＝1＋4c>0，解得c>－．故选D．]
4．(人教A版选择性必修第二册P92练习T2改编)已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f (x)的极值；
(2)讨论函数f (x)在定义域内极值点的个数．
[解] (1)当a＝时，f (x)＝ln x－x，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝＝．
令f ′(x)＝0，得x＝2．
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示．
x (0，2) 2 (2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ? ln 2－1 ?
故f (x)在x＝2处取得极大值，即f (x)极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值．
(2)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝－a＝．
当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
此时函数f (x)在定义域内无极值点．
当a>0时，令f ′(x)>0，得0令f ′(x)<0，得x>，
故为函数f (x)的极大值点．
综上可知，当a≤0时，函数f (x)在定义域内无极值点，
当a>0时，函数f (x)在定义域内有一个极大值点．
5．(2024·西安莲湖区四模)函数f (x)＝(x2－8)ex的极小值点为( )
A．2 B．－4e2
C．－4 D．8e-4
A [因为f ′(x)＝(x－2)(x＋4)ex，令f ′(x)＝0，得x＝2或x＝－4，则f (x)在(－∞，－4)，(2，＋∞)上单调递增，在(－4，2)上单调递减，
所以极小值点为2．故选A．]
6．(2025·无锡梁溪区模拟)若函数y＝f (x)的导函数y＝φ(x)＝f ′(x)图象如图所示，则( )
A．φ′(x)＜0的解集为(－∞，－3)
B．函数y＝f (x)有两个极值点
C．函数y＝f (x)的单调递减区间为(－2，1)
D．－3是函数y＝f (x)的极小值点
D [A．φ′(x)＜0的解集为函数y＝f ′(x)的单调递减区间，为(－2，－1)，故A错误；
B．函数y＝f ′(x)只有1个变号零点－3，所以函数y＝f (x)有1个极值点，故B错误；
C．当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，所以函数y＝f (x)的单调递减区间为(－∞，－3)，故C错误；
D．当x∈(－∞，－3)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，当x∈(－3，＋∞)时，f ′(x)≥0，f (x)单调递增，所以－3是函数y＝f (x)的极小值点，故D正确．故选D．]
7．(多选)(2024·龙岩三模)已知函数f (x)＝(x－1)·ln x，则( )
A．f (x)在(0，＋∞)上单调递增
B．x＝1是f (x)的零点
C．f (x)的极小值为0
D．f (x)是奇函数
BC [由题意得f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝ln x＋1－，
当x＞1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
当0＜x＜1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x)的极小值为f (1)＝0，故A错误，C正确；
因为f (1)＝0，所以x＝1是f (x)的零点，故B正确；
因为f (x)的定义域不关于原点对称，所以f (x)不是奇函数，故D错误．故选BC．]
8．(2025·石嘴山模拟)若函数f (x)＝(x2－ax－2)ex在x＝－2处取得极大值，则f (x)的极小值为( )
A．－6e2 B．－4e
C．－2e2 D．－e
C [因为f ′(x)＝(x2－ax－2＋2x－a)ex，
因为f (x)在x＝－2处取得极大值，
所以f ′(－2)＝(4＋2a－2－4－a)e-2＝0，
解得a＝2，故f ′(x)＝(x2－4)ex，
当x＞2或x＜－2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，
当－2＜x＜2时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
故x＝2时，函数取得极小值，f (2)＝－2e2．故选C．]
9．(2025·合肥模拟)若当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得极小值4，则a＋b＝( )
A．7 B．8
C．9 D．10
A [因为f (x)＝a ln x＋，
所以f ′(x)＝，
根据题意有f ′(1)＝a－(b＋1)＝0，
且f (1)＝b＋1＝4，
解得a＝4，b＝3，a＋b＝7．
此时f ′(x)＝＝，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0，1)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增．
所以函数f (x)在x＝1处取得极小值，满足题意，故a＋b＝7．]
10．(2024·合肥包河区期末)已知a＞0，函数f (x)＝ax3－x＋2有两个不同极值点x1，x2，则f (x1)＋f (x2)＝________．
4 [令f ′(x)＝3ax2－＝0，解得x1＝，x2＝－，
当x＞x1时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当x＜x2时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增，当x2＜x＜x1时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x1)＋f (x2)＝f ＋f ＝4．]
11．(2025·哈尔滨市道里区模拟)已知函数f (x)＝x3－px2－qx在x＝1处取得极小值0，则p＋q＝________．
1 [因为f (x)＝x3－px2－qx，所以f ′(x)＝3x2－2px－q，
由题有，解得p＝2，q＝－1，
此时f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
当x<或x＞1时，f ′(x)＞0，当所以x＝1是函数f (x)的极小值点，
故p＝2，q＝－1满足题意，所以p＋q＝2－1＝1．]
12．(2025·长沙雨花区模拟)已知函数f (x)＝ax－－(a＋1)ln x(a∈R)．
(1)求证：当a＝0时，曲线y＝f (x)与直线y＝－1只有一个交点；
(2)若f (x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围．
[解] (1)证明：当a＝0时，函数f (x)＝－－ln x，求导得，f ′(x)＝，
令f ′(x)＞0，得0＜x＜1；令f ′(x)＜0，得x＞1，
则函数f (x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
故f (x)max＝f (1)＝－1，
所以曲线y＝f (x)与直线y＝－1只有一个交点．
(2)函数f (x)＝ax－－(a＋1)ln x的定义域为(0，＋∞)，
求导得f ′(x)＝a＋
＝，
设g(x)＝ax2－(a＋1)x＋1＝(ax－1)(x－1)，
令g(x)＝0，解得x1＝，x2＝1．
因为f (x)既存在极大值，又存在极小值，即g(x)在(0，＋∞)上有两个不同零点，
则，解得a＞0且a≠1，
综上所述，a的取值范围为(0，1)∪(1，＋∞)．
1/1第4课时 导数与函数的极值
[考试要求] 1．借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．会用导数求函数的极大值、极小值．3．会利用极值求参数．
考点一 根据图象判断极值
函数的极小值：若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)__0，右侧f ′(x)__0，则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．
函数的极大值：若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)__0，右侧f ′(x)__0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．
极大值点、极小值点统称为______，极大值、极小值统称为____．
提醒：(1)对于可导函数f (x)，f ′(x)＝0是f (x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件，例如，f (x)＝x3，f ′(x)＝3x2，f ′(0)＝0，但x＝0不是f (x)＝x3的极值点．
(2)极值点不是点，而是一个实数，极大值与极小值没有必然联系，极小值可能比极大值还大．
[典例1] (2024·西安临潼区二模)如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A．y＝f (x)在x＝－1处取得极大值
B．x＝1是函数y＝f (x)的极值点
C．x＝－2是函数y＝f (x)的极小值点
D．函数y＝f (x)在区间(－1，1)上单调递减
[听课记录]
反思领悟 由图象判断函数y＝f (x)的极值，要抓住两点：(1)由导函数y＝f ′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f (x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f ′(x)的图象可以看出y＝f ′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f (x)的单调性．两者结合可得极值点．
巩固迁移1 设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y＝(1－x)·f ′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (1)
B．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (1)
C．函数f (x)有极大值f (2)和极小值f (－2)
D．函数f (x)有极大值f (－2)和极小值f (2)
考点二 求函数的极值或极值点
求函数f (x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x);
(2)求方程f ′(x)＝0的根；
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得______；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得______；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f (x)在这个根处无极值．
[典例2] (人教A版选择性必修第二册P91例5改编)设函数f (x)＝(x2＋ax＋a)ex，讨论f (x)的单调性并判断f (x)有无极值，若有极值，求出f (x)的极值．
[听课记录]
反思领悟 一般地，当f ′(x0)＝0时，若f ′(x)在x＝x0两侧符号相反，则函数f (x)在x＝x0处存在极值；若f ′(x)在x＝x0两侧符号相同，则函数f (x)在x＝x0处不存在极值．因此，在根据极值条件求参数的值的问题中，应按照函数在这一点取得极值所对应的条件检验每一组解对应的函数在该点是否能取得极值，从而进行取舍．
巩固迁移2 (1)若f (x)＝x3－3x的两个极值点为x1，x2，则x1＋x2＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．3
(2)已知函数f (x)＝ln (1＋x)－mx，求函数f (x)的极值．
考点三 由函数的极值求参数
[典例3] (1)若函数f (x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则b＋a＝( )
A．－7 B．0
C．7 D．0或7
(2)若函数f (x)＝x3－3ax＋1在区间(0，1)内有极小值，则实数a的取值范围为________．
[听课记录]
反思领悟 (1)已知函数极值确定函数解析式中的参数时，要根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解，求解后要检验．
(2)判断极值点的个数，转化为判断导数的零点的个数．
巩固迁移3 (1)(2025·拉萨模拟)已知函数f (x)＝ae2x-2＋bx在x＝1处取得极大值1，则f ′(2)＝( )
A．2－e2 B．2－2e2
C．2e2－2 D．e2－2
(2)若函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，则c的值为________．
1．(2024·北京海淀区二模)函数f (x)＝是( )
A．偶函数，且没有极值点
B．偶函数，且有一个极值点
C．奇函数，且没有极值点
D．奇函数，且有一个极值点
2．已知函数f (x)＝x2－(1＋a)x＋a ln x在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(0，1) D．(0，1]
3．(人教A版选择性必修第二册P92练习T1)已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的极大值点是________，极小值点是________．
4．设函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝－1和x＝1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a＋b＋c＝________．
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