第5课时 导数与函数的最值
[考试要求] 1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．
考点一 求函数的最值
1．函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则__________为函数的最小值，__________为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则__________为函数的最大值，__________为函数的最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是____值，最小的一个是____值．
[常用结论]
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．
不含参数的函数的最值
[典例1] (经典题)函数f (x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A．－ B．－
C．－＋2 D．－＋2
[听课记录]
反思领悟 本例求f (x)在闭区间[0，2π]上的最大值、最小值，要先求出在闭区间[0，2π]上的极值，再与端点处的函数值f (0)，f (2π)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
巩固迁移1 (人教A版选择性必修第二册P93例6改编)函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
含参函数的最值
[典例2] 已知函数f (x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)求f (x)在上的最大值g(a)．
[听课记录]
反思领悟 本例函数f (x)中含有参数a，应从f ′(x)＝0的根与区间端点的关系入手，确定参数的范围，对参数分类讨论，判断函数单调性，从而得到f (x)的最值．
巩固迁移2 已知函数f (x)＝，设实数a>0，求函数F (x)＝af (x)在[a，2a]上的最小值．
考点二 由函数的最值求参数(范围)
[典例3] 已知函数f (x)＝x＋＋3ln x在(a，2－3a)内有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．0
C．[听课记录]
反思领悟 本题易忽视函数定义域致误．
巩固迁移3 (2025·南京栖霞区模拟)函数f (x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
考点三 生活中的优化问题
[典例4] (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
[听课记录]
反思领悟 解决最优化问题，应从以下几个方面入手：
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
巩固迁移4 (2025·黑龙江模拟)已知某商品的日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝＋3(x－8)2，其中x∈(3，8)，m为常数．当销售价格为5元/套时，每日可售出30套．
(1)实数m＝________；
(2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元(只考虑销售出的套数)，当销售价格x＝________元/套时(精确到0.1)，日销售该商品所获得的利润最大．
1．定义
定义1：形如f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数，称为“三次函数”；
定义2：三次函数的导数f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式．
2．性质
(1)单调性
一般地，当b2－3ac≤0时，三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是单调函数；
当b2－3ac>0时，三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三个单调区间．
(根据a>0，a<0两种不同情况进行分类讨论)
(2)三次函数零点的问题
①当Δ＝4b2－12ac≤0时，由不等式f ′(x)≥0恒成立，函数是单调递增的(a>0)，所以三次函数仅有一个零点．
②当Δ＝4b2－12ac>0时，由方程f ′(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x10为例，x1为函数的极大值点，x2为函数的极小值点，且函数y＝f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，此时结合函数图象可知：
(ⅰ)若f (x1)·f (x2)>0，即函数y＝f (x)的极大值和极小值同号，函数有且只有一个零点；
(ⅱ)若f (x1)·f (x2)<0，即函数y＝f (x)的极大值和极小值异号，函数图象与x轴必有三个交点，所以函数有三个不同零点；
(ⅲ)若f (x1)·f (x2)＝0，则f (x1)与f (x2)中有且只有一个值为0，所以函数有两个不同零点．
[典例] (2024·郑州期末)函数f (x)＝x3－3x在区间(m，2)上有最小值，则m的取值范围是( )
A．(－2，1) B．[－2，1)
C．(－2，－1) D．(－1，1]
[听课记录]
反思领悟 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
应用体验 (2025·南昌红谷滩区模拟)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋12x＋b在x＝2处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈[0，3]时，求函数f (x)的最小值．
1．(2025·北京东城区模拟)已知函数f (x)＝ex－x，则函数f (x)的最小值为( )
A． B．1
C．e－1 D．e
2．若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间(a，a＋1)上存在最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－1，2)
C． D．
3．某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：℃，20≤x≤40)的关系式为y＝x2－x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为( )
A．907元 B．910元
C．915元 D．920元
4．函数f (x)＝x3－x2－3x(x≤0)的最大值是______．
1/1第5课时 导数与函数的最值
[考试要求] 1．理解函数最值与极值的关系．2．会求闭区间上函数的最大值、最小值．3．了解最值在现实生活中的应用．
考点一 求函数的最值
1．函数的最大(小)值
(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
[常用结论]
(1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则其极值点为函数的最值点．
(2)若函数在闭区间[a，b]内的最值点不是端点，则其最值点亦为其极值点．
不含参数的函数的最值
[典例1] (经典题)函数f (x)＝cos x＋(x＋1)sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A．－ B．－
C．－＋2 D．－＋2
D [f ′(x)＝－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x＝(x＋1)cos x，令f ′(x)＝0，解得x＝，x＝或x＝－1(舍去)，所以在区间和上，f ′(x)>0，f (x)单调递增；在区间上，f ′(x)<0，f (x)单调递减．
又f (0)＝f (2π)＝2，f ＝＋2，
f ＝－＋1＝－，
所以f (x)在区间[0，2π]上的最小值为－，最大值为＋2，故选D．]
链接·2025高考试题 (2025·全国一卷)求函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值； 解：法一：因为f(x)＝5cos x－cos 5x， 所以f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x. 令f′(x)＝0，得sin x＝sin 5x，又x∈，所以x＝5x或x＝π－5x， 所以x＝0或x＝， 所以x，f′(x)，f(x)的关系如表所示： x0 f′(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减
因为f＝5cos －cos ＝3， 所以函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值为3. 法二：因为f(x)＝5cos x－cos 5x， 所以f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x. f′(x)＝5(sin x cos 4x＋sin 4x cos x－sin x)＝5sin x(cos 4x＋4cos2x·cos2x－1)＝5sin x·4cos2x(1－4sin2x)， 当x∈时，5sinx·4cos2x≥0，令f′(x)＞0，得x∈，令f′(x)＜0，得x∈. 所以x，f′(x)，f(x)的关系如表所示： x0 f′(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减
因为f＝5cos－cos ＝3， 所以函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值为3. 法三：由题得f′(x)＝－5sin x＋5sin 5x＝5×2cos sin ＝10sin 2x cos 3x， 由x∈，得sin 2x≥0，故x，f′(x)，f(x)的关系如表所示： x0f′(x)0大于00小于0f(x)单调递增极大值单调递减
因为f＝5cos －cos ＝3， 所以函数f(x)＝5cos x－cos 5x在区间的最大值为3.
反思领悟 本例求f (x)在闭区间[0，2π]上的最大值、最小值，要先求出在闭区间[0，2π]上的极值，再与端点处的函数值f (0)，f (2π)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
巩固迁移1 (人教A版选择性必修第二册P93例6改编)函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
1 [函数f (x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
①当x>时，f (x)＝2x－1－2ln x，
所以f ′(x)＝2－＝，
当1时，f ′(x)>0，
所以f (x)min＝f (1)＝2－1－2ln 1＝1；
②当0所以f (x)min＝f＝－2ln ＝2ln 2＝ln 4>ln e＝1．
综上，f (x)min＝1．]
含参函数的最值
[典例2] 已知函数f (x)＝－ln x(a∈R)．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)求f (x)在上的最大值g(a)．
[解] (1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝，
若a≤0，则f ′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减；
若a>0，则当x>a时，f ′(x)<0；
当00，
所以f (x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．
(2)f ′(x)＝，
当a≤时，f (x)在上单调递减，
所以f (x)max＝f ＝2－ae；
当在[a，e]上单调递减，
所以f (x)max＝f (a)＝－ln a；
当a≥e时，f (x)在上单调递增，
所以f (x)max＝f (e)＝－，
综上，g(a)＝
反思领悟 本例函数f (x)中含有参数a，应从f ′(x)＝0的根与区间端点的关系入手，确定参数的范围，对参数分类讨论，判断函数单调性，从而得到f (x)的最值．
巩固迁移2 已知函数f (x)＝，设实数a>0，求函数F (x)＝af (x)在[a，2a]上的最小值．
[解] 因为F (x)＝af (x)，
所以F ′(x)＝(a>0，x>0)，
令F ′(x)>0，得0令F ′(x)<0，得x>e，
所以F (x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
所以F (x)在[a，2a]上的最小值F (x)min＝min{F (a)，F (2a)}．
因为F (a)－F (2a)＝ln a－ln (2a)
＝ln ，
所以当0F (x)min＝F (a)＝ln a．
当a>2时，F (a)－F (2a)>0，
F (x)min＝F (2a)＝ln (2a)．
综上所述，当0当a>2时，F (x)在[a，2a]上的最小值为ln (2a)．
考点二 由函数的最值求参数(范围)
[典例3] 已知函数f (x)＝x＋＋3ln x在(a，2－3a)内有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．0C．B [∵函数f (x)＝x＋＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，又f (x)在(a，2－3a)内有最小值，
所以a≥0，并且a＜2－3a，可得0≤a<，
∴f ′(x)＝，由f ′(x)＝0，得x＝1或x＝－4(舍去)，
x∈(1，＋∞)时，f ′(x)＞0；x∈(0，1)时，f ′(x)＜0；
∴f (x)的单调递增区间是(1，＋∞)，单调递减区间是(0，1)，
∴f (x)的极小值点也是最小值点，为x＝1．
∴a＜1＜2－3a，
∴a＜，即实数a的取值范围是0≤a<．
故选B．]
反思领悟 本题易忽视函数定义域致误．
巩固迁移3 (2025·南京栖霞区模拟)函数f (x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，则a等于( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
B [函数f (x)＝x3－x2－x＋a，则f ′(x)＝3x2－2x－1，
令f ′(x)＝0，解得x＝－(舍)或x＝1，
又f (0)＝a，f (1)＝a－1，f (2)＝a＋2，所以f (x)的最大值为a＋2，
又函数f (x)＝x3－x2－x＋a在区间[0，2]上的最大值是3，
所以a＋2＝3，解得a＝1．故选B．]
考点三 生活中的优化问题
[典例4] (人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T14)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？
[解] 设该容器底面矩形的较短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5) m，此容器的高为y＝[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝3.2－2x，于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x，其中00，函数V(x)单调递增，当x∈(1，1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单调递减，所以当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m3)，即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，且最大容积为1.8 m3．
反思领悟 解决最优化问题，应从以下几个方面入手：
(1)设出变量，找出函数关系式，确定定义域；
(2)在实际应用问题中，若函数f (x)在定义域内只有一个极值点，则它就是最值点．
巩固迁移4 (2025·黑龙江模拟)已知某商品的日销售量y(单位：套)与销售价格x(单位：元/套)满足的函数关系式为y＝＋3(x－8)2，其中x∈(3，8)，m为常数．当销售价格为5元/套时，每日可售出30套．
(1)实数m＝________；
(2)若商店销售该商品的销售成本为每套3元(只考虑销售出的套数)，当销售价格x＝________元/套时(精确到0.1)，日销售该商品所获得的利润最大．
(1)6 (2)4.7 [(1)因为当销售价格为5元/套时，每日可售出30套，
所以30＝＋3(5－8)2，解得m＝6；
(2)设每日销售该商品的利润为W元，由(1)知y＝＋3(x－8)2，
设W(x)＝(x－3)＝3(x－3)(x－8)2＋6，函数定义域为(3，8)，
可得W′(x)＝(x－8)(9x－42)，令W′(x)＝0，解得x＝8(舍)或x＝，
当3＜x＜时，W′(x)＞0，W(x)单调递增；
当＜x＜8时，W′(x)＜0，W(x)单调递减，
所以当x＝时，W(x)取得最大值，此时x＝≈4.7．
则当销售价格x＝4.7元/套时，日销售该商品获得的利润最大．]
1．定义
定义1：形如f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数，称为“三次函数”；
定义2：三次函数的导数f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，把Δ＝4b2－12ac叫做三次函数导函数的判别式．
2．性质
(1)单调性
一般地，当b2－3ac≤0时，三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上是单调函数；
当b2－3ac>0时，三次函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)在R上有三个单调区间．
(根据a>0，a<0两种不同情况进行分类讨论)
(2)三次函数零点的问题
①当Δ＝4b2－12ac≤0时，由不等式f ′(x)≥0恒成立，函数是单调递增的(a>0)，所以三次函数仅有一个零点．
②当Δ＝4b2－12ac>0时，由方程f ′(x)＝0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x10为例，x1为函数的极大值点，x2为函数的极小值点，且函数y＝f (x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，此时结合函数图象可知：
(ⅰ)若f (x1)·f (x2)>0，即函数y＝f (x)的极大值和极小值同号，函数有且只有一个零点；
(ⅱ)若f (x1)·f (x2)<0，即函数y＝f (x)的极大值和极小值异号，函数图象与x轴必有三个交点，所以函数有三个不同零点；
(ⅲ)若f (x1)·f (x2)＝0，则f (x1)与f (x2)中有且只有一个值为0，所以函数有两个不同零点．
[典例] (2024·郑州期末)函数f (x)＝x3－3x在区间(m，2)上有最小值，则m的取值范围是( )
A．(－2，1) B．[－2，1)
C．(－2，－1) D．(－1，1]
B [f ′(x)＝3x2－3，易知f (x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，f (－2)＝－2，f (－1)＝2，f (1)＝－2，f (2)＝2，由图象知－2≤m＜1．故选B．]
反思领悟 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
应用体验 (2025·南昌红谷滩区模拟)已知函数f (x)＝2x3－ax2＋12x＋b在x＝2处取得极小值5．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x∈[0，3]时，求函数f (x)的最小值．
[解] (1)由f (x)＝2x3－ax2＋12x＋b，得f ′(x)＝6x2－2ax＋12，
因为f (x)在x＝2处取得极小值5，所以f ′(2)＝24－4a＋12＝0，解得a＝9，
此时f ′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)，
所以f (x)在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
所以f (x)在x＝2处取极小值，符合题意，
所以a＝9，f (x)＝2x3－9x2＋12x＋b．
又f (2)＝4＋b＝5，所以b＝1，
所以a＝9，b＝1．
(2)f (x)＝2x3－9x2＋12x＋1，所以f ′(x)＝6(x－1)(x－2)，
f (x)和f ′(x)随着x的变化情况如下表所示．
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f (x) 1 ? 极大值6 ? 极小值5 ? 10
所以x∈[0，3]时，f (x)min＝f (0)＝1．
1．(2025·北京东城区模拟)已知函数f (x)＝ex－x，则函数f (x)的最小值为( )
A． B．1
C．e－1 D．e
B [函数f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，可得x＝0．
当x＜0时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减；
当x＞0时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增．
故f (x)min＝f (0)＝e0－0＝1．故选B．]
2．若函数f (x)＝ex(－x2＋2x＋a)在区间(a，a＋1)上存在最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－1，2)
C． D．
C [因为f ′(x)＝ex(－x2＋2x＋a－2x＋2)＝ex(－x2＋a＋2)，且函数f (x)在区间(a，a＋1)上存在最大值，故只需h(x)＝－x2＋a＋2满足h(a)>0，h(a＋1)<0，所以－a2＋a＋2>0，－(a＋1)2＋a＋2<0，解得3．某冷饮店的日销售额y(单位：元)与当天的最高气温x(单位：℃，20≤x≤40)的关系式为y＝x2－x3，则该冷饮店的日销售额的最大值约为( )
A．907元 B．910元
C．915元 D．920元
C [因为y＝x2－x3，20≤x≤40，
所以y′＝x－x2＝－x(x－38)．
所以当20≤x≤38时，y′≥0，即函数在[20，38]上单调递增，当38≤x≤40时，y′≤0，即函数在[38，40]上单调递减，所以当x＝38时，函数取值最大，所以ymax＝×382－×383≈915．]
4．函数f (x)＝x3－x2－3x(x≤0)的最大值是______．
[因为f (x)＝x3－x2－3x(x≤0)，
所以f ′(x)＝x2－2x－3，
令f ′(x)＞0，得x＜－1，令f ′(x)＜0，得－1＜x≤0，
所以函数f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0]上单调递减，
所以f (x)的最大值是f (－1)＝．]
【教用·备选题】
(2024·齐齐哈尔二模)已知函数f (x)＝e2x＋(x－2a)ex＋a2(a∈R)的最小值为g(a)，则g(a)的最小值为( )
A．－e B．－
C．0 D．1
B [f (x)＝e2x＋(x－2a)ex＋a2＝(ex－a)2＋xex≥xex，
令P(x)＝xex，P′(x)＝ex(x＋1)，
当x∈(－∞，－1)时，P′(x)＜0，P(x)单调递减，
当x∈(－1，＋∞)时，P′(x)＞0，P(x)单调递增，
所以P(x)≥P(－1)＝－，∴f (x)≥xex≥－，
所以g(a)的最小值为－．故选B．]
课后习题(二十一) 导数与函数的最值
1．(多选)(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T8改编)若函数f (x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的值可能是( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
ABC [令f ′(x)＝3x2－3＝0，解得x＝±1，所以当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f ′(x)<0，所以x＝1为函数f (x)的极小值点，x＝－1为函数f (x)的极大值点．因为函数f (x)在区间(a，6－a2)上有最小值，所以函数f (x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，所以实数a满足a<1<6－a2，且f (a)＝a3－3a≥f (1)＝－2．由a<1<6－a2，解得－2．(人教A版选择性必修第二册P94练习T1(3)改编)已知函数f (x)＝6＋12x－x3，x∈，则f (x)的最大值为________，最小值为________．
22 [f (x)＝6＋12x－x3，x∈的导数为f ′(x)＝12－3x2，由f ′(x)＝0，
可得x＝2(x＝－2舍去)，f (2)＝6＋24－8＝22，f (3)＝6＋36－27＝15，f ＝6－4＋＝，即f (x)的最大值为22，最小值为．]
3．(人教A版选择性必修第二册P93例6改编)若函数f (x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．
4 [f ′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f ′(x)<0，当x∈(2，3]时，f ′(x)>0，所以f (x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f (0)＝m，f (3)＝－3＋m．所以在[0，3]上，f (x)max＝f (0)＝4，所以m＝4．]
4．(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5T19改编)已知函数f (x)＝－a(a∈R)．
(1)求函数f (x)的单调区间；
(2)若方程f (x)＝0有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
[解] (1)∵f (x)＝－a(a∈R)，
∴f ′(x)＝＝，
∴当x<1时，f ′(x)>0，当x>1时，f ′(x)<0，
∴f (x)的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(2)由f (x)＝－a＝0得a＝，
方程f (x)＝0有两个不相等的实数根，即函数y＝与y＝a的图象有两个不同的交点，
函数y＝与f (x)的单调性相同，结合(1)知函数y＝在x＝1处取得极大值，即最大值，为．
易知当x<0时，y＝<0，当x>0时，y＝>0，且当x→＋∞时，y＝→0，所以可得实数a的取值范围是．
5．(2025·泰安模拟)函数f (x)＝在[2，＋∞)上的最小值为( )
A． B．e2
C． D．2e
A [f ′(x)＝，令f ′(x)＞0，解得x＞3，
令f ′(x)＜0，解得x＜3，故f (x)在[2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
故f (x)的最小值为f (3)＝，故选A．]
6．(2025·固原市原州区模拟)函数f (x)＝sin x－(x＋2)cos x－1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为( )
A．－2π－3，π＋1 B．－2π－3，－3
C．－3，π＋1 D．－3，2
A [f ′(x)＝cos x－cos x＋(x＋2)sin x＝(x＋2)·sin x，
所以f (x)在区间(0，π)上，f ′(x)＞0，即f (x)单调递增；
在区间(π，2π)上，f ′(x)＜0，即f (x)单调递减，
又f (0)＝－3，f (2π)＝－2π－3，f (π)＝π＋1，
所以f (x)在区间[0，2π]上的最小值为－2π－3，最大值为π＋1．故选A．]
7．(2025·甘肃模拟)某厂家生产某种产品，最大年产量是10万件．已知年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)满足y＝g(x)＝ax3＋2x2－2，若年产量是2万件，则年利润是 万元(生产的均可售完)．要使生产厂家获得最大年利润，年产量为( )
A．7万件 B．8万件
C．9万件 D．10万件
B [由题意可知，g(2)＝，所以8a＋8－2＝，解得a＝－，
所以g(x)＝－x3＋2x2－2，x≥0，
则g′(x)＝－x2＋4x＝－x(x－8)，
所以当x∈[0，8)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x∈(8，＋∞)时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以当x＝8时，g(x)取得最大值，
即年产量为8万件时，厂家获得的年利润最大．故选B．]
8．(多选)(2025·周口项城市模拟)已知函数f (x)＝x3－2x2＋ax，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的极值点个数可能为0，1，2
B．若函数f (x)有两个极值点，则a＜
C．若a＝1，则函数f (x)在上的最小值为
D．若a＝1，则函数f (x)在上的最大值为2
BD [因为f (x)＝x3－2x2＋ax，x∈R，所以f ′(x)＝3x2－4x＋a，Δ＝16－12a，
令Δ＞0，解得a＜，此时函数f (x)既有极大值，也有极小值，故B正确；
当f ′(x)＝3x2－4x＋a＝0只有一个解时，Δ＝0，即a＝时，
则有f ′(x)＝3x2－4x＋＝3≥0，
此时，函数没有极值，所以函数没有极值点，
若a＞，则Δ＜0，f ′(x)＞0，则f (x)单调递增，无极值，
由对B的判断可知，当a＜时，函数既有极大值，又有极小值，此时有2个极值点，
综上所述，函数f (x)的极值点的个数为0或2，故A错误；
若f (x)＝x3－2x2＋x，则f ′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，
令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝1，
所以f (x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减，
而f (1)＝0，f (2)＝2，f ＝＝，
故函数f (x)在上的最小值为0，最大值为2，
故C错误，D正确．故选BD．]
9．(2025·杭州模拟)函数f (x)＝x2－27ln x在区间[1，2]上的最大值为________．
[f (x)＝x2－27ln x，f ′(x)＝3x－＝，
当x∈[1，2]时，f ′(x)＜0，f (x)单调递减，
所以f (x)在区间[1，2]上的最大值为f (1)＝．]
10．(2025·保定模拟)已知函数f (x)＝ax－ln x的最小值为0，则a＝________．
[因为f (x)＝ax－ln x，定义域为(0，＋∞)，
所以f ′(x)＝a－＝，
当a≤0时，则f (x)在(0，＋∞)上单调递减，无最小值．
当a＞0时，令f ′(x)＝0，得x＝，
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，当x＞时，f ′(x)＞0，
所以f (x)在上单调递减，在上单调递增，
所以f (x)min＝f ＝1＋ln a＝0，解得a＝．]
11．(2025·衡阳雁峰区模拟)已知函数f (x)＝a ln x－bx2＋1，a，b∈R．若f (x)在x＝1处与直线y＝0相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f (x)在(其中e＝2.718…为自然对数的底数)上的最大值和最小值．
[解] (1)∵函数f (x)＝a ln x－bx2＋1，∴f ′(x)＝－2bx，
∵函数f (x)在x＝1处与直线y＝0相切，
∴，解得．
(2)由(1)可得f (x)＝2ln x－x2＋1，
∴f ′(x)＝－2x＝＝，
∴当≤x＜1时，f ′(x)＞0，当1∴f (x)在(1，e2]上单调递减，在上单调递增，在x＝1处取得极大值即最大值，
∴f (x)max＝f (1)＝0，
又f ＝2ln ＋1＝－－1＞－2，f (e2)＝2ln e2－(e2)2＋1＝－e4＋5＜－2，
∴f (x)min＝f (e2)＝－e4＋5．
12．(2024·鹤壁淇滨区期末)2023年12月28日工业和信息化部等八部门发布了关于加快传统制造业转型升级的指导意见，某机械厂积极响应决定进行转型升级．经过市场调研，转型升级后生产的固定成本为300万元，每生产x万件产品，每件产品需可变成本p(x)元，当产量不足50万件时，p(x)＝x2＋160；当产量不小于50万件时，p(x)＝201＋．每件产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
(1)求利润函数的解析式；
(2)求利润函数的最大值．
[解] (1)由题意得，销售收入为200x万元，
当产量不足50万件时，p(x)＝x2＋160，
利润为f (x)＝200x－x·p(x)－300＝200x－x·－300＝－x3＋40x－300，
当产量不小于50万件时，p(x)＝201＋，
利润为f (x)＝200x－x·p(x)－300＝200x－x－300＝－x－＋1 160，
所以利润函数为f (x)＝．
(2)当0＜x＜50时，f ′(x)＝－(x＋40)(x－40)，
所以当0＜x＜40时，f ′(x)＞0，f (x)在(0，40)上单调递增；
当40＜x＜50时，f ′(x)＜0，f (x)在(40，50)上单调递减，
所以当x＝40时，f (x)取得最大值f (40)＝，
当x≥50时，f (x)＝－＋1 160≤－2＋1 160＝1 000，
当且仅当x＝，即x＝80时，等号成立，
又因为1 000>，
故当x＝80时，所获利润最大，最大值为1 000万元．
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