导数及其应用
[典例] (15分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由题意，求切线，故求导．(ex)′＝ex；x′＝1；c′＝0 解：(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1， ∴f ′(x)＝ex－1，…………(1分) ①记清求导公式； ②“在某点”“过某点”求切线时的解法区别．
②已知切点(1，f (1))，还需求出切线斜率k＝f ′(1)，得切线方程y－f (1)＝f ′(1)(x－1)． 则f ′(1)＝e－1，…………(2分) f (1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，(3分) 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．…………………(5分) 切线问题常用的三个关系： ①切点(x0，y0)在切线上； ②切点(x0，y0)在曲线上； ③k＝f ′(x0)．
③由已知f (x)有极小值且极小值小于0，需研究函数的单调性得极值． (2)易知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a，………………(6分) 研究单调性，定义域优先原则．
④由f ′(x)＝ex－a＝0是否有解进行讨论． 当a≤0时，f ′(x)>0，函数f (x)在R上单调递增，无极值；……(7分) 当a>0时，由f ′(x)>0，得x>ln a， 由f ′(x)<0，得x
0)等价于1－ln a－a2<0(a>0)，…(10分) f ′(x)的符号与a的取值有关． 当a≤0时，f ′(x)恒正； 当a>0时，f ′(x)＝0有解．进行讨论得单调性、极值．
⑤由f (x)的极小值为f (ln a)＝a－a ln a－a3<0(a>0)为超越不等式(不易解)，故借助新函数单调性求解． 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a<0，……(12分) 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减．……………………(13分) 超越不等式及超越方程，常构造函数结合单调性求解． [思考：此时能否借助两函数图象求解？]
⑥g(a)在(0，＋∞)上单调递减，联想函数单调性定义的应用，即g(a)<0＝g(x0)，观察验证知x0＝1时g(1)＝0． 又g(1)＝0，故当00， 当a>1时，g(a)<0＝g(1)， 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． ……………………………(15分) g(x1)x2．
1/1导数及其应用
[典例] (15分)(2024·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x)＝ex－ax－a3．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由题意，求切线，故求导．(ex)′＝ex；x′＝1；c′＝0 解：(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1， ∴f ′(x)＝ex－1，…………(1分) ①记清求导公式； ②“在某点”“过某点”求切线时的解法区别．
②已知切点(1，f (1))，还需求出切线斜率k＝f ′(1)，得切线方程y－f (1)＝f ′(1)(x－1)． 则f ′(1)＝e－1，…………(2分) f (1)＝e－2，所以切点坐标为(1，e－2)，(3分) 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0．…………………(5分) 切线问题常用的三个关系： ①切点(x0，y0)在切线上； ②切点(x0，y0)在曲线上； ③k＝f ′(x0)．
③由已知f (x)有极小值且极小值小于0，需研究函数的单调性得极值． (2)易知函数f (x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－a，………………(6分) 研究单调性，定义域优先原则．
④由f ′(x)＝ex－a＝0是否有解进行讨论． 当a≤0时，f ′(x)>0，函数f (x)在R上单调递增，无极值；……(7分) 当a>0时，由f ′(x)>0，得x>ln a， 由f ′(x)<0，得x0)等价于1－ln a－a2<0(a>0)，…(10分) f ′(x)的符号与a的取值有关． 当a≤0时，f ′(x)恒正； 当a>0时，f ′(x)＝0有解．进行讨论得单调性、极值．
⑤由f (x)的极小值为f (ln a)＝a－a ln a－a3<0(a>0)为超越不等式(不易解)，故借助新函数单调性求解． 令g(a)＝1－ln a－a2(a>0)， 则g′(a)＝－－2a<0，……(12分) 所以函数g(a)在(0，＋∞)上单调递减．……………………(13分) 超越不等式及超越方程，常构造函数结合单调性求解． [思考：此时能否借助两函数图象求解？]
⑥g(a)在(0，＋∞)上单调递减，联想函数单调性定义的应用，即g(a)<0＝g(x0)，观察验证知x0＝1时g(1)＝0． 又g(1)＝0，故当00， 当a>1时，g(a)<0＝g(1)， 故实数a的取值范围为(1，＋∞)． ……………………………(15分) g(x1)x2．
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