滚动测试卷(一) 第一～三章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·重庆月考)已知全集U＝{x|x≤6，x∈N}，A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩( UB)＝( )
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2，3，6}
B [全集U＝{x|x≤6，x∈N}，A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，
∴U＝{0，1，2，3，4，5，6}， UB＝{0，1，2，6}，
∴A∩( UB)＝{－1，0，1，2，3}∩{0，1，2，6}＝{0，1，2}．
故选B．]
2．(2025·泸州市古蔺县校级模拟)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为|x－2|＜1，则1＜x＜3，又x2＋x－2＞0，则x＜－2或x＞1，
根据充分条件、必要条件相关知识可得，“1＜x＜3”是“x＜－2或x＞1”的充分不必要条件．
故选A．]
3．(2025·中山模拟)若命题“ x∈R，x2＋4x＋t＜0”是假命题，则实数t的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [若命题“ x∈R，x2＋4x＋t＜0”是假命题，则 x∈R，x2＋4x＋t≥0，
所以16－4t≤0，即t≥4，则实数t的最小值为4．
故选C．]
4．(2025·晋中模拟)下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．f (x)＝2|x|
B．f (x)＝x3
C．f (x)＝－x
D．f (x)＝
C [对于A，函数f (x)的定义域为R，
又f (－x)＝2|－x|＝2|x|＝f (x)，所以f (x)是偶函数，故A错误；
对于B，由幂函数f (x)＝x3的图象可知，f (x)＝x3在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；
对于C，函数f (x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
又f (－x)＝－(－x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数，
又幂函数y＝，y＝－x在(0，＋∞)上都单调递减，
所以函数f (x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，故C正确；
对于D，因为对数函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以函数f (x)＝在(0，＋∞)上单调递增，故D错误．
故选C．]
5．(2024·南通三模)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er＝Ep×10-7，其中Ep是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位：km2，光斑面积与卫星高度有关)．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足Γ＝10lg (单位：dB)，当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为，则此时Γ的大小约为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
A．－76.02 B．－83.98
C．－93.01 D．－96.02
B [由Er＝Ep×10-7，S＝75，得＝4×10-9，代入Γ＝10lg ，得Γ＝10lg (4×10-9)＝10(－9＋lg 4)＝10(－9＋2lg 2)≈－83.98．
故选B．]
6．(2024·大庆市让胡路区二模)已知偶函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且a＝log52，b＝－ln 3，c＝2-0.3，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为( )
A．f (c)＞f (a)＞f (b)
B．f (b)＞f (c)＞f (a)
C．f (a)＞f (b)＞f (c)
D．f (c)＞f (b)＞f (a)
B [因为0
因为2-1＜2-0.3＜20，所以又偶函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，故f (－b)＞f (c)＞f (a)，
即f (b)＞f (c)＞f (a)．故选B．]
7．函数y＝sin x·ln 的图象可能是( )
A B
C D
A [因为y＝f (x)＝sin x·ln 的定义域为{x|x≠0}，
且f (－x)＝sin (－x)·ln ＝－sin x·ln ＝－f (x)，
所以y＝sin x·ln 为奇函数，函数图象关于原点对称，故B，D都不正确；
对于C，x∈(0，π)时，sin x>0，＝1＋>1，
所以ln >0，
所以y＝sin x·ln >0，故C不正确；
对于选项A，符合函数图象关于原点对称，也符合x∈(0，π)时，y＝sin x·ln >0，故A正确．故选A．]
8．(2025·驻马店模拟)若函数f (x)＝ax3－x ln x＋2x－3为定义域内的增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，e] B．
C． D．[e，＋∞)
B [易知f (x)的定义域为(0，＋∞)，可得f ′(x)＝ax2－ln x＋1，
因为函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即a≥在(0，＋∞)上恒成立，
设g(x)＝，函数定义域为(0，＋∞)，可得g′(x)＝，
当0＜x＜时，g′(x)＞0，g(x)单调递增；
当x＞时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
所以g(x)≤g＝，即a≥，则实数a的取值范围为．故选B．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·龙岩模拟)下列命题正确的是( )
A．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
B．若a＜b＜0，则ac2＜bc2
C．若0＜a＜b＜c，则>
D．若0＜a＜b，则2a＋>2
AC [根据题意，依次分析选项：
对于A，若a＜b＜0，则－a＞－b＞0，
则有(－a)2＞(－a)(－b)＞(－b)2，即a2＞ab＞b2，A正确；
对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，B错误；
对于C，＝＝，若0＜a＜b＜c，则ab>0，b－a＞0，c＞0，所以＞0，即＞，C正确；
对于D，若0＜a＜b，不妨取a＝1，b＝4，此时2a＋＝4＝2，故D错误．故选AC．]
10．(2024·白银会宁县期末)已知函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A．ab＞1 B．a＋b＞1
C．ba＞1 D．2b－a＜1
ABD [由题图可知，函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)在R上单调递增，则a＞1，
且当x＝0时，y＝1－b∈(0，1)，可得0＜b＜1．
对于A选项，ab＞a0＝1，A正确；
对于B选项，a＋b＞a＞1，B正确；
对于C选项，ba＜b0＝1，C错误；
对于D选项，由题意可知，0＜b＜1＜a，则b－a＜0，
所以2b－a＜20＝1，D正确．
故选ABD．]
11．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是( )
A．a＋b＝0
B．a＋b＝－7
C．f (x)一定有两个极值点
D．f (x)一定存在单调递减区间
BCD [函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2的定义域为R，求导得f ′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意，即
解得或
当时，f ′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，函数f (x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；
当时，f ′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)·(x－1)，当x<－或x>1时，f ′(x)>0，当－三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·衡阳市石鼓区模拟)已知函数f (x)＝则f的值是________．
[f ＝log2＝－2，f ＝f (－2)＝3-2＝．]
13．函数f (x)＝x sin x＋x＋2的图象在x＝处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为________．
1 [由题意可得f ′(x)＝sin x＋x cos x＋1，则f ′＝2，f ＝π＋2，故f (x)的图象在x＝处的切线方程为y－(π＋2)＝2，即y＝2x＋2．令x＝0，得y＝2；令y＝0，得x＝－1，则所求图形的面积为×2×1＝1．]
14．(2025·衡水模拟)已知函数f (x)＝对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则实数a的取值范围是________．
[因为对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，
可得函数f (x)是R上的减函数，
由f (x)＝
则满足解得－≤a<0，
即实数a的取值范围是．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·琼海模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)·(x2＋1)＝－1，求k的值．
[解] (1)∵一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根，
∴Δ≥0，即32－4(k－2)≥0，解得k≤，
故实数k的取值范围为．
(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1＋x2＝－3，x1·x2＝k－2，
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，
∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－1，
∴k－2－3＋1＝－1，
解得k＝3．
16．(15分)(2025·石嘴山市大武口区模拟)已知函数f (x)＝x2－x＋1－aex．
(1)当a＝－1时，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)有三个零点，求a的取值范围．
[解] (1)将a＝－1代入可得f (x)＝x2－x＋1＋ex，其定义域为R，
则f ′(x)＝2x－1＋ex，
因为y＝2x－1和y＝ex在R上都是增函数，
所以f ′(x)＝2x－1＋ex在R上单调递增且f ′(0)＝0，
所以当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＜0，函数f (x)单调递减，
当x∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，函数f (x)单调递增，
综上所述，函数f (x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．
(2)由f (x)＝0得a＝，令g(x)＝，
则g′(x)＝
＝＝，
所以当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
当x∈(1，2)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，
当x∈(2，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，
由单调性可知，当x→－∞时，g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→0，
当x＝1时，g(x)取得极小值，即g(1)＝，
当x＝2时，g(x)取得极大值，即g(2)＝，
所以y＝g(x)和y＝a的大致图象如图，
综上所述，若f (x)有三个零点，则所以a的取值范围为．
17．(15分)已知定义在R上的函数f (x)满足：对任意x，y∈R都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)>0．
(1)求f (0)的值，并证明：f (x)为奇函数；
(2)证明：函数f (x)在R上单调递增；
(3)若f (k·2x)＋f (4x+1－8x－2x)>0对任意x∈[－1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)令x＝y＝0，可得f (0)＝2f (0)，
可得f (0)＝0．
因为函数f (x)的定义域为R，
在等式f (x＋y)＝f (x)＋f (y)中，令y＝－x，
有f (x)＋f (－x)＝f (0)＝0，
所以f (－x)＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．
(2)证明：令x＝x1，y＝－x2，
则f (x1－x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝f (x1)－f (x2)，
设x1>x2，则x1－x2>0，所以f (x1－x2)>0．
所以f (x1)－f (x2)＝f (x1－x2)>0，
即f (x1)>f (x2)，
所以函数f (x)在R上单调递增．
(3)因为f (k·2x)＋f (4x+1－8x－2x)>0，
所以f (k·2x)>－f (4x+1－8x－2x)＝f (8x＋2x－4x+1)，
又函数f (x)在R上单调递增，
所以k·2x>8x＋2x－4x+1，则k>4x＋1－4·2x．
令t＝2x，则t∈，于是4x＋1－4·2x＝t2－4t＋1＝(t－2)2－3≤1，
当且仅当t＝4时，y＝(t－2)2－3取最大值1，
所以实数k的取值范围为(1，＋∞)．
18．(17分)设函数f (x)＝x3－6x2＋9x＋a．
(1)求函数f (x)在区间[－2，2]上的最值；
(2)若函数f (x)有且只有两个零点，求a的值．
[解] (1)对f (x)求导得f ′(x)＝3x2－12x＋9，令f ′(x)＝0可得x＝1或x＝3．
因为x∈[－2，2]，
所以当x∈[－2，1)时，f ′(x)>0，f (x)在[－2，1)上单调递增；
当x∈(1，2]时，f ′(x)<0，f (x)在(1，2]上单调递减．
又因为f (1)＝4＋a，f (－2)＝－50＋a，f (2)＝2＋a，
所以f (x)min＝－50＋a，f (x)max＝4＋a．
(2)令f (x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x．
设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9．
令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，
列表如下，
x (－∞，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) － 0 ＋ 0 －
g(x) ? 极小值－4 ? 极大值0 ?
所以g(x)的大致图象如图所示，
要使f (x)有且只有两个零点，
只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同交点，
所以a＝－4或a＝0．
19．(17分)(2024·山东威海二模)已知函数f (x)＝ln x－ax＋1．
(1)求f (x)的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex．
[解] (1)由题意得f (x)＝ln x－ax＋1的定义域为(0，＋∞)，
则f ′(x)＝－a＝，
当a≤0时，f ′(x)>0，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，令f ′(x)<0，则x>，令f ′(x)>0，则0即f (x)在上单调递增，在上单调递减，
故x＝为函数的极大值点，函数极大值为f ＝－ln a，无极小值．
(2)证明：设g(x)＝xex－ln x－x－1，x>0，
g′(x)＝(x＋1)ex－－1，
令h(x)＝(x＋1)ex－－1，
则h′(x)＝(x＋2)ex＋>0(x>0)，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递增，
h＝－3<0，h(e)＝(e＋1)ee－－1>0，
故 x0∈，使得h(x0)＝0，即＝1，
当x∈(0，x0)时，h(x)<0，g(x)在(0，x0)上单调递减，
当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，g(x)在(x0，＋∞)上单调递增，
故g(x)min＝g(x0)＝－x0－1＝0，
即g(x)≥0，即xex≥ln x＋x＋1，则ln x＋x＋1≤xex．
1/1滚动测试卷(一) 第一～三章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2024·重庆月考)已知全集U＝{x|x≤6，x∈N}，A＝{－1，0，1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩( UB)＝( )
[A] {1，2} [B] {0，1，2}
[C] {1，2，3} [D] {1，2，3，6}
2．(2025·泸州市古蔺县校级模拟)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
3．(2025·中山模拟)若命题“ x∈R，x2＋4x＋t＜0”是假命题，则实数t的最小值为( )
[A] 1 [B] 2
[C] 4 [D] 8
4．(2025·晋中模拟)下列函数中既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递减的是( )
[A] f (x)＝2|x|
[B] f (x)＝x3
[C] f (x)＝－x
[D] f (x)＝
5．(2024·南通三模)星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为Er＝Ep×10-7，其中Ep是激光器输出的单脉冲能量，Er是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积(单位：km2，光斑面积与卫星高度有关)．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减Γ满足Γ＝10lg (单位：dB)，当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为，则此时Γ的大小约为(参考数据：lg 2≈0.301)( )
[A] －76.02 [B] －83.98
[C] －93.01 [D] －96.02
6．(2024·大庆市让胡路区二模)已知偶函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增，且a＝log52，b＝－ln 3，c＝2-0.3，则f (a)，f (b)，f (c)的大小关系为( )
[A] f (c)＞f (a)＞f (b)
[B] f (b)＞f (c)＞f (a)
[C] f (a)＞f (b)＞f (c)
[D] f (c)＞f (b)＞f (a)
7．函数y＝sin x·ln 的图象可能是( )
A B
C D
8．(2025·驻马店模拟)若函数f (x)＝ax3－x ln x＋2x－3为定义域内的增函数，则实数a的取值范围是( )
[A] (0，e] [B]
[C] [D] [e，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．(2025·龙岩模拟)下列命题正确的是( )
[A] 若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
[B] 若a＜b＜0，则ac2＜bc2
[C] 若0＜a＜b＜c，则>
[D] 若0＜a＜b，则2a＋>2
10．(2024·白银会宁县期末)已知函数y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
[A] ab＞1 [B] a＋b＞1
[C] ba＞1 [D] 2b－a＜1
11．已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则下列说法正确的是( )
[A] a＋b＝0
[B] a＋b＝－7
[C] f (x)一定有两个极值点
[D] f (x)一定存在单调递减区间
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．(2025·衡阳市石鼓区模拟)已知函数f (x)＝则f 的值是________．
13．函数f (x)＝x sin x＋x＋2的图象在x＝处的切线与坐标轴所围成的图形的面积为________．
14．(2025·衡水模拟)已知函数f (x)＝对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2025·琼海模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根．
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)·(x2＋1)＝－1，求k的值．
16．(15分)(2025·石嘴山市大武口区模拟)已知函数f (x)＝x2－x＋1－aex．
(1)当a＝－1时，求f (x)的单调区间；
(2)若f (x)有三个零点，求a的取值范围．
17．(15分)已知定义在R上的函数f (x)满足：对任意x，y∈R都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)，且当x>0时，f (x)>0．
(1)求f (0)的值，并证明：f (x)为奇函数；
(2)证明：函数f (x)在R上单调递增；
(3)若f (k·2x)＋f (4x+1－8x－2x)>0对任意x∈[－1，2]恒成立，求实数k的取值范围．
18．(17分)设函数f (x)＝x3－6x2＋9x＋[A]
(1)求函数f (x)在区间[－2，2]上的最值；
(2)若函数f (x)有且只有两个零点，求a的值．
19．(17分)(2024·山东威海二模)已知函数f (x)＝ln x－ax＋1．
(1)求f (x)的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex．
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