第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求] 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．掌握诱导公式，并会简单应用．
考点一 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝__．
2．商数关系：tanα＝．
3．同角三角函数的基本关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α；
cos2α＝1－sin2α．
(2)(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
弦切互化
[典例1] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
(2)(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tan α＝，则＝__________；sin2α＋sinαcos α＋2＝____________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，利用sin2α＋cos2α＝1可实现角的正弦、余弦的互化，即sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；利用tanα＝可实现角α的弦切互化．本例(2)中，当分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或可化为sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
巩固迁移1 (1)(2024·桂林期末)已知cos α＝－，并且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A． B．－
C． D．－
(2)(2024·鄂西北六校联考)已知tan α＝2，则sin αcos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
“和(差)”“积”转换
[典例2] 已知x∈(－π，0)，sinx＋cos x＝，则sin x－cos x＝________．
[听课记录]
反思领悟 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α(结合sin2α＋cos2α＝1)可实现sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的“知一求二”．
巩固迁移2 (2025·岳阳湘阴县模拟)设α∈(0，π)，若sin α＋cos α＝，则cos α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
考点二 诱导公式的应用
三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α ___________ ___________ _________ _________ _________
余弦 cos α ___________ _________ ___________ _________ ___________
正切 tan α _________ ___________ ___________
口诀 奇变偶不变，符号看象限
提醒：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例3] (1)(2024·眉山东坡区期末)sin ·cos ·tan 的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知sin ＝，则cos 等于( )
A． B．
C．－ D．－
[听课记录]
反思领悟 1．诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角三角函数．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
巩固迁移3 (1)已知cos ＝，则cos 等于( )
A．－ B．－
C． D．
(2)已知f (α)＝，则f的值为________．
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[典例4] (1)(2025·沈阳模拟)已知tan α＝，则＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
(2)(2025·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)关键是利用诱导公式化简待求式，要特别注意三角函数在各个象限的符号；本例(2)关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式变形，同时要注意α为锐角时，sin α只能为正．
巩固迁移4 (2024·泸州期末)已知f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)已知f (α)＝－2，求的值．
1．(2024·广西期末)关于α∈R，下列等式恒成立的是( )
A．tan (π＋α)＝tan (2π－α)
B．cos ＝sin α
C．cos (－α)＝－cos α
D．sin (3π－α)＝sin α
2．(2024·北京西城区期末)sin 的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
3．(2025·成都郫都区模拟)已知角α的终边经过点P(－1，3)，则＝( )
A． B．－
C． D．－
4．(2024·北京海淀区期末)已知α是第四象限角，且tan α＝－，则cos α＝________，cos ＝________．
1/1第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式
[考试要求] 1．理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．掌握诱导公式，并会简单应用．
考点一 同角三角函数的基本关系
1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
2．商数关系：tanα＝．
3．同角三角函数的基本关系的几种变形
(1)sin2α＝1－cos2α；
cos2α＝1－sin2α．
(2)(sinα±cos α)2＝1±2sin αcos α．
(3)sin α＝tan αcos α．
弦切互化
[典例1] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
(2)(人教A版必修第一册P186习题5.2T15改编)已知tan α＝，则＝__________；sin2α＋sinαcos α＋2＝____________．
(1)－ (2)－ [(1)由且θ∈，
解得故sin θ－cos θ＝－．
(2)因为tan α＝，
所以＝＝－．
sin2α＋sinαcos α＋2＝＋2
＝＋2＝＋2＝．]
反思领悟 本例(1)中，利用sin2α＋cos2α＝1可实现角的正弦、余弦的互化，即sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α；利用tanα＝可实现角α的弦切互化．本例(2)中，当分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式或可化为sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
巩固迁移1 (1)(2024·桂林期末)已知cos α＝－，并且α是第二象限角，则tan α的值为( )
A． B．－
C． D．－
(2)(2024·鄂西北六校联考)已知tan α＝2，则sin αcos α＝( )
A．－ B．－
C． D．
(1)D (2)D [(1)∵cos α＝－，且α是第二象限角，∴sin α＝＝＝，
∴tanα＝＝＝－．故选D．
(2)因为tan α＝2，
所以sin αcos α＝＝＝．故选D．]
“和(差)”“积”转换
[典例2] 已知x∈(－π，0)，sinx＋cos x＝，则sin x－cos x＝________．
－ [由sin x＋cos x＝，
平方得sin2x＋2sinx cos x＋cos2x＝，
整理得2sinx cos x＝－．
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin x cos x＝．
由x∈(－π，0)，知sin x＜0，
又sin x＋cos x＞0，
∴cos x＞0，则sin x－cos x＜0，
故sin x－cos x＝－．]
反思领悟 利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α(结合sin2α＋cos2α＝1)可实现sinα＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的“知一求二”．
巩固迁移2 (2025·岳阳湘阴县模拟)设α∈(0，π)，若sin α＋cos α＝，则cos α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵sin α＋cos α＝，①
两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－，∵α∈(0，π)，∴cos α＜0，sin α＞0，
∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
即sin α－cos α＝，②
联立①②，解得cos α＝－．故选A．]
考点二 诱导公式的应用
三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
提醒：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．
[典例3] (1)(2024·眉山东坡区期末)sin ·cos ·tan 的值是( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)已知sin ＝，则cos 等于( )
A． B．
C．－ D．－
(1)A (2)B [(1)sin ·cos ·tan
＝sin ·cos
＝
＝×(－)＝－．故选A．
(2)∵sin ＝，
∴cos ＝sin
＝sin ＝．故选B．]
【教用·备选题】
母题探究 若把本例(2)中条件换为“cos ＝－”，那么sin 的值为________．
－ [因为cos ＝－，
所以sin ＝sin
＝cos ＝－．]
反思领悟 1．诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π的角的三角函数锐角三角函数．
2．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了．
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
巩固迁移3 (1)已知cos ＝，则cos 等于( )
A．－ B．－
C． D．
(2)已知f (α)＝，则f的值为________．
(1)B (2) [(1)cos ＝cos ＝－cos ＝－．
(2)因为f (α)＝
＝＝cos α，
所以f＝cos ＝cos ＝．]
考点三 同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
[典例4] (1)(2025·沈阳模拟)已知tan α＝，则＝( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
(2)(2025·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan (π－α)－3cos ＋5＝0，tan (π＋α)＋6sin (π＋β)－1＝0，则sin α的值是( )
A． B．
C． D．
(1)D (2)C [(1)由于tan α＝，
故＝
＝＝3．
故选D．
(2)由已知得消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，又α为锐角，则sinα＝．故选C．]
反思领悟 本例(1)关键是利用诱导公式化简待求式，要特别注意三角函数在各个象限的符号；本例(2)关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式变形，同时要注意α为锐角时，sin α只能为正．
巩固迁移4 (2024·泸州期末)已知f (α)＝．
(1)化简f (α)；
(2)已知f (α)＝－2，求的值．
[解] (1)f (α)＝
＝
＝－＝－tan α．
(2)因为f (α)＝－2，所以tan α＝2，
所以＝＝＝3．
【教用·备选题】
是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－·cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得
由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2．
∴sin2α＝，∴sinα＝±．
∵α∈，∴α＝±．
当α＝时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；
当α＝－时，由②式知cos β＝，
又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．
∴存在α＝，β＝满足条件．
1．(2024·广西期末)关于α∈R，下列等式恒成立的是( )
A．tan (π＋α)＝tan (2π－α)
B．cos ＝sin α
C．cos (－α)＝－cos α
D．sin (3π－α)＝sin α
D [对于A，tan (π＋α)＝tan α，tan (2π－α)＝tan (－α)＝－tan α，故A错误；
对于B，cos ＝cos ＝cos ＝cos ＝－sin α，故B错误；
对于C，cos (－α)＝cos α，故C错误；
对于D，sin (3π－α)＝sin (π－α)＝sin α，故D正确．故选D．]
2．(2024·北京西城区期末)sin 的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
B [sin ＝sin ＝sin ＝．故选B．]
3．(2025·成都郫都区模拟)已知角α的终边经过点P(－1，3)，则＝( )
A． B．－
C． D．－
B [因为角α的终边经过点P(－1，3)，可得cos α≠0，且tan α＝－3，
利用诱导公式化简可得：＝＝＝＝－．
故选B．]
4．(2024·北京海淀区期末)已知α是第四象限角，且tan α＝－，则cos α＝________，cos ＝________．
[因为α是第四象限角，且tan α＝－，
则cos α＝＝，sinα＝－＝－，
故cos＝－sin α＝．]
【教用·备选题】
1．(2024·南昌期末)已知sin ＝，则cos (π＋α)＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [因为sin ＝cos α＝，则cos (π＋α)＝－cos α＝－．故选A．]
2．(2025·沧州泊头市模拟)已知cos ＝，则sin ＝( )
A．－ B．
C． D．－
A [因为cos ＝，所以sin ＝sin ＝，
则sin ＝sin ＝－sin ＝－．
故选A．]
3．(2024·莆田期末)若sin ＝，则sin －cos ＝( )
A．0 B．
C． D．
B [因为sin ＝，
则sin －cos
＝sin －cos
＝sin
＝＝．故选B．]
4．(2024·衢州柯城区月考)已知＝2，则sin (θ－5π)·sin ＝( )
A． B．±
C． D．－
C [因为＝2＝，
所以tan θ＝3，
则sin (θ－5π)·sin ＝－sin θ(－cos θ)＝sin θcos θ＝＝＝＝．
故选C．]
5．在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝－x上，则＝( )
A．2＋ B．2－
C． D．－
B [由于角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝－x上，
则tan θ＝－．
故＝
＝＝＝2－．
故选B．]
6．(2024·梧州苍梧县月考)化简求值：
(1)；
(2)．
[解] (1)
＝
＝1．
(2)
＝
＝
＝
＝－1．
课后习题(二十五) 同角三角函数的基本关系与诱导公式
1．(人教A版必修第一册P183例6改编)已知sin α＝≤α≤π，则tan α＝( )
A．－2 B．2
C． D．－
D [因为≤α≤π，所以cos α＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－．]
2．(人教B版必修第三册P26练习B T2改编)如果tan α＝2，那么＝________，sin2α－cos2α＝________，sin4α－cos4α＝________．
1 [由tanα＝2，得＝＝＝1，
sin2α－cos2α＝＝＝＝，sin4α－cos4α＝(sin2α－cos2α)(sin2α＋cos2α)＝．]
3．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8改编)已知sin＝，则cos ＝________； sin ＝________．
[因为＝，所以cos＝cos ＝sin ＝；
sin ＝sin
＝sin ＝．]
4．(人教A版必修第一册P194练习T3改编)已知f (α)＝．
(1)若α∈(0，2π)，且f (α)＝－，求α的值；
(2)若f (α)－f＝，且α∈，求tan α的值．
[解] (1)f (α)＝
＝
＝＝sin α．
所以f (α)＝sin α＝－，
因为α∈(0，2π)，所以α＝或α＝．
(2)由(1)知f (α)＝sin α，
所以f (α)－f＝sin α－sin ＝sin α＋cos α＝，
所以sin α＝－cos α，
所以cos2α＋＝1，
即(5cos α－4)(5cos α＋3)＝0，
所以cos α＝或cos α＝－．
又因为α∈，
所以cos α＝－，
所以sin α＝－cos α＝＝．
所以tan α＝＝＝－．
5．(2024·锦州期末)cos 870°＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [cos 870°＝cos (－30°＋180°＋360°＋360°)＝－cos (－30°)＝－cos 30°＝－．
故选A．]
6．(2024·自贡二模)若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
C [因为sin α＝，且α是第二象限角，所以cos α＝－＝－，
则tanα＝＝－．
故选C．]
7．(2024·阜宁期末)已知sin ＝，则cos 等于( )
A． B．
C．－ D．－
C [设－x＝θ，则x＝－θ，则sin θ＝，
则cos ＝cos ＝cos
＝－cos ＝－sin θ＝－．
故选C．]
8．(多选)(2024·黄冈黄梅县月考)已知sin θ＝2×(－1)n cos θ(n∈Z)，则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ＝( )
A．－ B．0
C．－ D．
BD [∵sinθ＝2×(－1)n cos θ(n∈Z)，
∴tan θ＝2×(－1)n＝±2，
则sin2θ＋sinθcos θ－2cos2θ
＝
＝，
当tanθ＝2时，原式＝＝；
当tan θ＝－2时，原式＝＝0．
故选BD．]
9．(2024·上饶期末)若tan θ＝2，则sin θ(cos θ－sin θ)＝________．
－ [因为tan θ＝2，
所以sin θ(cos θ－sin θ)＝sin θcos θ－sin2θ＝＝＝＝－．]
10．(2024·南阳宛城区月考)已知角α终边上一点P(－4，3)，则的值为________．
[∵角α终边上一点P(－4，3)，
∴tan α＝－，
则原式＝
＝＝＝＝．]
11．(2024·南阳邓州市月考)解答下列问题：
(1)求的值；
(2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，求的值．
[解] (1)
＝
－
＝
＝＝－＝－．
(2)因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线2x－y＝0上，所以tan α＝2，
所以
＝
＝＝＝－．
12．(2025·大连模拟)已知θ∈(－π，0)，且sin θ，cos θ为方程5x2－x＋m＝0的两根．
(1)求m的值；
(2)求＋的值．
[解] (1)由题意得，sin θ＋cos θ＝，
则1＋2sin θcos θ＝，
∴sin θcos θ＝－，又sin θcos θ＝＝－，
则m＝－．
(2)＋
＝
＝＝，
由(1)知sin θcos θ＝－<0，且θ∈(－π，0)，
∴θ∈，
则sin θ<0，cos θ>0，可得sin θ－cos θ<0，
则sin θ－cos θ＝－＝－＝－，
故
＝－．
1/1
