第4课时 倍角公式及简单的三角恒等变换
[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
考点一 二倍角的三角公式
1．二倍角公式
(1)基本公式
①sin 2α＝______________________；
②cos 2α＝______________________＝________________＝________________；
③tan2α＝．
(2)公式变形
①升幂公式：1－cosα＝2sin2；1＋cosα＝__________；tanα＝；1±sinα＝．
②降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝．
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；
tan ＝±．
提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
[典例1] (2024·吉安期末)已知α∈(0，π)，且＝－，则tan ＝( )
A．－ B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 本例中，已知条件是角α的2倍，所求是角α一半的正切，显然应利用二倍角公式“降角升幂”．同时要注意角的取值范围的限制．
巩固迁移1 (1)(2025·南通模拟)sin2的值为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·深圳福田区模拟)若sin＝3sin ，则tan ＝( )
A． B．2
C． D．
考点二 三角函数式的化简
[典例2] (1)cos20°cos 40°cos 80°＝________．
(2)(2024·济南一模)若<θ<π，化简．
[听课记录]
反思领悟 三角函数式的化简要遵循“3看”原则
巩固迁移2 化简：．
考点三 三角函数式的求值
1．角的变换：在化简、求值、证明中，需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等．
2．名称统一：“切化弦，弦化切”是名称变换常见策略，“切化弦”是统一名称最常用的方法．
3．次数的统一：三角函数次数不统一时，一般要统一次数，而且常化为一次式，这时常用升幂或降幂公式．
给角求值
[典例3] 已知sin 37°≈，则的近似值为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 本例中，出现“”，考虑“值变角”，＝sin 45°；“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
巩固迁移3 的值为( )
A．1 B．
C． D．2
给值求值
[典例4] (2025·山东威海模拟)已知sin ＝，则cos ＝( )
A． B．－
C． D．－
[听课记录]
反思领悟 本例解答的关键是用已知角α－表示未知角－2α＝－2．一般地，当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
巩固迁移4 (2024·大理州期末)若sinα·tan α＝，则cos 2α＝( )
A． B．－
C． D．－
给值求角
[典例5] (人教A版必修第一册P229习题5.5T2改编)已知α，β均为锐角，cosα＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
[听课记录]
反思领悟 本例求“2α－β”的关键是根据角2α－β的范围选择要用的公式．根据本例条件，要求2α－β，可以求sin (2α－β)，也可以求cos (2α－β)，但cos (2α－β)在上不单调，故应选择求sin (2α－β)．
巩固迁移5 已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
1．(2025·乌鲁木齐沙依巴克区模拟)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos 等于( )
A． B．－
C． D．－
2．已知θ∈，且sin 2θ＝，则sin θ的值为( )
A． B．
C． D．
3．2等于( )
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
4．(2024·武汉月考)化简：－＝________．
1/1第4课时 倍角公式及简单的三角恒等变换
[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
考点一 二倍角的三角公式
1．二倍角公式
(1)基本公式
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan2α＝．
(2)公式变形
①升幂公式：1－cosα＝2sin2；1＋cosα＝2cos2；tanα＝；1±sinα＝．
②降幂公式：sin2α＝；cos2α＝；tan2α＝．
2．半角公式(不要求记忆)
sin ＝±；cos ＝±；
tan ＝±．
提醒：(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切公式中α＝β的特殊情况．
(2)二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．
[典例1] (2024·吉安期末)已知α∈(0，π)，且＝－，则tan ＝( )
A．－ B．
C． D．
D [由题意可得＝＝＝＝－，
故tan α＝－3，即＝－3，又∈，
故tan＝(负值舍去)．故选D．]
反思领悟 本例中，已知条件是角α的2倍，所求是角α一半的正切，显然应利用二倍角公式“降角升幂”．同时要注意角的取值范围的限制．
巩固迁移1 (1)(2025·南通模拟)sin2的值为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·深圳福田区模拟)若sin＝3sin ，则tan ＝( )
A． B．2
C． D．
(1)A (2)A [(1)sin2＝＝．故选A．
(2)因为sin ＝3sin ，
可得sin ＝cos ＝3sin ，
所以tan ＝，
则tan ＝tan 2＝＝＝．
故选A．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知0＜α＜π，cos ＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
D [cos α＝2cos2－1＝2×－1＝－，因为0＜α＜π，所以sinα＝，所以sin ＝(sin α－cos α)＝＝.]
考点二 三角函数式的化简
[典例2] (1)cos20°cos 40°cos 80°＝________．
(2)(2024·济南一模)若<θ<π，化简．
(1) [原式＝
＝
＝
＝＝＝．]
(2)[解] 因为<θ<π，所以cos θ<0，sin θ>0，
所以
＝
＝
＝
＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ．
反思领悟 三角函数式的化简要遵循“3看”原则
巩固迁移2 化简：．
[解]
＝
＝
＝＝．
考点三 三角函数式的求值
1．角的变换：在化简、求值、证明中，需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等．
2．名称统一：“切化弦，弦化切”是名称变换常见策略，“切化弦”是统一名称最常用的方法．
3．次数的统一：三角函数次数不统一时，一般要统一次数，而且常化为一次式，这时常用升幂或降幂公式．
给角求值
[典例3] 已知sin 37°≈，则的近似值为( )
A． B．
C． D．
A [因为sin 37°≈，所以cos 37°＝≈．
所以＝
＝
＝
＝＝
＝＝≈．故选A．]
反思领悟 本例中，出现“”，考虑“值变角”，＝sin 45°；“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
巩固迁移3 的值为( )
A．1 B．
C． D．2
C [原式＝
＝＝＝．]
给值求值
[典例4] (2025·山东威海模拟)已知sin ＝，则cos ＝( )
A． B．－
C． D．－
C [因为sin ＝，
所以cos ＝cos
＝cos ＝1－2sin2
＝1－2×＝．故选C．]
反思领悟 本例解答的关键是用已知角α－表示未知角－2α＝－2．一般地，当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
巩固迁移4 (2024·大理州期末)若sinα·tan α＝，则cos 2α＝( )
A． B．－
C． D．－
B [根据题意可得sin α·tan α＝＝＝，
所以4cos 2α＋15cos α－4＝0，解得cos α＝或cos α＝－4(舍去)，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－．故选B．]
给值求角
[典例5] (人教A版必修第一册P229习题5.5T2改编)已知α，β均为锐角，cosα＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________．
[因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝．
又因为α，β均为锐角，sinβ＝，
所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝＝．
因为α为锐角，所以0<2α<π．
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝．]
反思领悟 本例求“2α－β”的关键是根据角2α－β的范围选择要用的公式．根据本例条件，要求2α－β，可以求sin (2α－β)，也可以求cos (2α－β)，但cos (2α－β)在上不单调，故应选择求sin (2α－β)．
巩固迁移5 已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
－ [∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝＝＝＞0，
∴0＜α＜．
又∵tan 2α＝＝＝＞0，∴0＜2α＜，∴tan(2α－β)＝＝＝1．
∵tan β＝－＜0，∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，
∴2α－β＝－．]
【教用·备选题】
(2024·云南曲靖质检)已知向量a＝，函数f (x)＝a·b．
(1)求函数f (x)的最大值，并指出f (x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cos (α＋β)＝，f (β)＝，求f 的值．
[解] (1)f (x)＝cos2－sin2sin·cos ＝cos x＋sin x＝2sin ，
令x＋＋2kπ(k∈Z)，得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴f (x)的最大值为2，此时x的取值集合为．
(2)由α，β为锐角，cos (α＋β)＝，
得sin (α＋β)＝，
∵0<β<，∴<β＋<，
又f (β)＝2sin ，
∴sin ∈，
∴<β＋<，
∴cos ，
∴cos ＝cos
＝cos (α＋β)cos ＋sin (α＋β)sin ，
∴f ＝2sin
＝2sin ＝2cos ．
1．(2025·乌鲁木齐沙依巴克区模拟)已知cos α＝，α∈(π，2π)，则cos 等于( )
A． B．－
C． D．－
D [因为cos α＝＝2cos2－1，
所以cos2，又α∈(π，2π)，
所以∈，
所以cos．故选D．]
2．已知θ∈，且sin 2θ＝，则sin θ的值为( )
A． B．
C． D．
C [由题知θ∈，则2θ∈．
又sin 2θ＝，所以cos 2θ＝－，则有cos 2θ＝1－2sin2θ＝－，即sin2θ＝．
又由θ∈，所以sinθ＝．故选C．]
3．2等于( )
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
B [
＝2
＝2＝2|sin2＋cos 2|＋2|cos 2|．
∵<2<π，∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin ，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2．
故选B．]
4．(2024·武汉月考)化简：－＝________．
3sin α [－cos＋sin α＝3sin α．]
【教用·备选题】
1．cos 20°－cos 40°cos 20°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [因为cos 60°＝，则cos 20°－cos 40°·cos 20°＝cos 60°cos 20°－cos 40°cos 20°
＝(cos 60°－cos 40°)cos 20°
＝[cos(50°＋10°)－cos(50°－10°)]cos 20°
＝(cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°－cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°)cos 20°
＝－2sin 50°sin 10°cos 20°
＝－2cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝
＝
＝．
故选A．]
2．(2024·十堰茅箭区期末)＝( )
A． B．
C． D．2
B [原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选B．]
3．已知α∈(0，π)，sin 2α＝－，sin α<．
(1)求tan α的值；
(2)若β∈，且cos β＝－，求α＋β的值．
[解] (1)因为α∈(0，π)，sin 2α＝－＝2sin αcos α＝，
解得tanα＝－2或tan α＝－，
因为sin αcos α＜0且sin α<，
所以<α<π，所以tan α＞－1，故tan α＝－．
(2)若β∈，且cos β＝－，
则sin β＝，tan β＝－，
所以tan (α＋β)＝
＝
＝－1．
因为<α＋β<2π，所以α＋β＝．
课后习题(二十七) 倍角公式及简单的三角恒等变换
1．(人教A版必修第一册P226练习T1改编)已知sin α＝，cos α＝，则tan 等于( )
A．2－ B．2＋
C．－2 D．±
C [∵sin α＝，cos α＝，
∴tan －2．
故选C．]
2．(多选)(苏教版必修第二册P67习题10.1(3)T1改编)下列计算正确的是( )
A．sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝
B．＝1
C．cos4－sin4
D．cos275°＋cos215°＋cos15°sin 15°＝
ACD [sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝sin 72°·cos 12°－cos 72°sin 12°＝sin (72°－12°)＝，故A正确；tan45°＝，故B错误；cos4－sin4＝cos2－sin2＝cos，故C正确；cos275°＋cos215°＋cos15°sin 15°＝sin215°＋cos215°＋sin30°＝1＋，故D正确．故选ACD．]
3．(人教A版必修第一册P226练习T2改编)已知θ∈，且sin θ＝，则sin ＝________；cos ＝________．
－ － [∵θ∈，且sin θ＝，
∴cos θ＝－∈，
∴sin ，
cos ．]
4．(人教A版必修第一册P254复习参考题5T12(4)改编)＝________．
[
＝
＝
＝．]
5．(2024·益阳安化期末)已知sin θ＝，则sin ＝( )
A． B．－
C． D．－
A [因为sin θ＝，所以sin ＝cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×．
故选A．]
6．(2025·邢台模拟)已知cos，则sin ＝( )
A． B．－
C． D．－
B [因为cos ，所以cos ，
则sin ＝sin ＝cos
＝2cos2．故选B．]
7．(多选)(2025·青岛模拟)下列各式中值为1的是( )
A．tan2 025°
B．(cos222.5°－sin222.5°)
C．
D．sin 40°
ABD [选项A，tan 2 025°＝tan(11×180°＋45°)＝tan 45°＝1，即A符合题意；
选项B，(cos222.5°－sin222.5°)＝cos45°＝1，即B符合题意；
选项C，
＝，
即C不符合题意；
选项D，sin40°
＝sin 40°
＝sin 40°×
＝sin 40°×
＝sin 40°×＝1，
即D符合题意．故选ABD．]
8．(2024·揭阳揭西县期末)中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示，即＝2sin 18°，则的值为( )
A． B．＋1
C．－＋1 D．－
D [由＝2sin 18°，且m＝，得m＝2sin 18°，
∴
＝．
故选D．]
9．(2024·沈阳期末)已知tan (α＋β)＝1，tan (α－β)＝2，则tan 2α＝________．
－3 [因为tan (α＋β)＝1，tan (α－β)＝2，
所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝＝－3．]
10．(2024·衢州柯城区月考)已知α是第三象限角，且cos 2α＝－，则cos ＝________，tan ＝________．
－ [由二倍角公式得cos 2α＝1－2sin2α＝－，
因为α是第三象限角，所以sinα＝－，
cos α＝－，
所以tan α＝＝2，tan 2α＝，则cos＝－sin α＝，
tan ．]
11．(2024·梧州期末)已知cos (π＋α)＝－．
(1)求sin ，cos 2α的值；
(2)若α∈，求sin ，tan 的值．
[解] (1)因为cos (π＋α)＝－cos α＝－，
所以cos α＝，
所以sin ＝cos α＝，cos 2α＝2cos2α－1＝2×．
(2)由(1)知cosα＝，因为α∈，
所以sin α＝－，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ．
因为α∈，所以∈，
由2cos2－1＝1－2sin2，得sin，cos ，
所以tan ．
12．(2024·泸州泸县期末)已知角α，β满足sin α＝，cos β＝－，且－<α<，0＜β＜π．
(1)求sin (2α－β)的值；
(2)求α＋的大小．
[解] (1)因为sin α＝，－<α<，
所以cos α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×＝，
cos 2α＝1－2sin2α＝－，
因为cosβ＝－，0＜β＜π，
所以sin β＝，
所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝＝－．
(2)因为sin α＝，－<α<，
所以0<α<，因为cos β＝－，0＜β＜π，
所以<β<π，
故<<<α＋<π，
又因为cos β＝－＝2cos2－1，
所以cos2＝，cos＝，sin ＝，
所以cos ＝cos αcos －sin αsin ＝＝－，
又因为<α＋<π，
所以α＋＝．
1/1
