阶段提能(六) 三角函数的概念及三角恒等变换
1．(人教A版必修第一册P186习题5.2T18)(1)分别计算sin4－cos4和sin2－cos2的值，你有什么发现？
(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
(3)证明： x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x．
2．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin＝，且03．(人教A版必修第一册P230习题5.5T18)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos 60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos 45°＝．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
4．(人教A版必修第一册P230习题5.5T20)设f (α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N＋}．利用三角变换，估计f (α)在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f (α)的取值范围．
5．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
[A] [B]
[C] [D]
6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则＝( )
[A] － [B] －
[C] [D]
7．(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tan α＝( )
[A] [B]
[C] [D]
8．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则( )
[A] tan (α＋β)＝1 [B] tan (α＋β)＝－1
[C] tan (α－β)＝1 [D] tan (α－β)＝－1
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
[A] [B]
[C] － [D] －
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin ＝( )
[A] [B]
[C] [D]
11．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
12．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝
1/1阶段提能(六) 三角函数的概念及三角恒等变换
1．(人教A版必修第一册P186习题5.2T18)(1)分别计算sin4－cos4和sin2－cos2的值，你有什么发现？
(2)任取一个α的值，分别计算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么发现？
(3)证明： x∈R，sin2x－cos2x＝sin4x－cos4x．
[解] (1)sin4－cos4＝－＝＝＝，
sin2－cos2＝－＝＝＝．
发现：sin4－cos4＝sin2－cos2．
(2)取α＝，sin4－cos4＝－＝＝0，
sin2－cos2＝－＝＝0．
发现：sin4－cos4＝sin2－cos2．
(3)证明：对于任意实数x，都有sin2x－cos2x＝(sin2x－cos2x)·(sin2x＋cos2x)＝sin4x－cos4x．得证．
2．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin＝，且0[解] 因为0所以cos ＝．
所以sin ＝sin
＝cos ＝，
cos ＝cos ＝－cos ＝－．
3．(人教A版必修第一册P230习题5.5T18)观察以下各等式：
sin230°＋cos260°＋sin30°cos 60°＝，
sin220°＋cos250°＋sin20°cos 50°＝，
sin215°＋cos245°＋sin15°cos 45°＝．
分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．
[解] 结论：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos (α＋30°)＝．
证明如下：
sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos (α＋30°)
＝sin2α＋(cosαcos 30°－sin αsin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin αsin 30°)
＝sin2α＋＋sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sinαcos α＋sin α·cos α－sin2α
＝(sin2α＋cos2α)＝．
得证．
4．(人教A版必修第一册P230习题5.5T20)设f (α)＝sinxα＋cosxα，x∈{n|n＝2k，k∈N＋}．利用三角变换，估计f (α)在x＝2，4，6时的取值情况，进而猜想x取一般值时f (α)的取值范围．
[解] 由题易知当x＝2时，f (α)＝sin2α＋cos2α＝1．
当x＝4时，f (α)＝sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2α·cos2α＝1－sin22α，
∵－1≤sin2α≤1，
∴0≤sin22α≤1，
∴≤1－sin22α≤1，即f (α)∈．
当x＝6时，
f (α)＝sin6α＋cos6α＝(sin2α)3＋(cos2α)3
＝(sin2α＋cos2α)·(sin4α＋cos4α－sin2α·cos2α)
＝1－sin22α－sin22α＝1－sin22α∈．
猜想：当x＝2k，k∈N＋时，f (α)的取值范围是．
5．(2021·全国乙卷)cos2－cos2＝( )
A． B．
C． D．
D [法一(公式法)：因为cos＝sin ＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝．故选D．
法二(构造法)：设cos2－cos2＝a，sin2－sin2＝b，
则a＋b＝＝1－1＝0，①
a－b＝
＝cos－cos ＝cos －cos
＝2cos ＝，②
所以根据①＋②可得2a＝，即a＝，
即cos2－cos2＝．故选D．
法三(代值法)：因为cos＝，
cos ＝，
所以cos2－cos2＝－＝．
故选D．]
6．(2021·新高考Ⅰ卷)若tanθ＝－2，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
C [法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sinθcos θ
＝＝．故选C．
法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2，
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝．故选C．
法三(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，
所以sin θ＝－2cos θ．
则＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝
＝＝＝．故选C．]
7．(2021·全国甲卷)若α∈，tan2α＝，则tan α＝( )
A． B．
C． D．
A [因为α∈，所以tan 2α＝＝＝ ＝ 2cos2α－1＝4sinα－2sin2α 2sin2α＋2cos2α－1＝4sinα sin α＝ tan α＝．]
8．(2022·新高考Ⅱ卷)若sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2cos sin β，则( )
A．tan (α＋β)＝1 B．tan (α＋β)＝－1
C．tan (α－β)＝1 D．tan (α－β)＝－1
D [由sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝sin ＝sin ＝sin cos β＋cos sin β，
故sin cos β＝cos sin β，
故sin cos β－cos sin β＝0，
即sin ＝0，
故sin ＝sin (α－β)＋cos (α－β)＝0，
故sin (α－β)＝－cos (α－β)，
故tan (α－β)＝－1．故选D．]
9．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，则cos (2α＋2β)＝( )
A． B．
C．－ D．－
B [依题意，得
所以sin αcos β＝，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，所以cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故选B．]
10．(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角，cosα＝，则sin ＝( )
A． B．
C． D．
D [由题意，cos α＝＝1－2sin2，
得sin2＝＝＝，
又α为锐角，所以sin>0，
所以sin ＝．
故选D．]
11．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
－ [由且θ∈，
解得
故sin θ－cos θ＝－．]
12．(2024·新高考Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
－ [法一：由题意得tan (α＋β)＝＝＝－2，
因为α∈，β∈，k，m∈Z，
则α＋β∈((2m＋2k)π＋π，(2m＋2k)π＋2π)，k，m∈Z，
又因为tan (α＋β)＝－2<0，
则α＋β∈，k，m∈Z，则sin (α＋β)<0，
则＝－2，联立sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，解得sin(α＋β)＝－．
法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cos α＝＝，
cosβ＝＝，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝cos αcos β(tan α＋tan β)
＝4cos αcos β＝
＝
＝＝－．]
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