从近几年的高考来看，正、余弦定理的综合应用及有关三角形的面积问题是高考考查的重点和热点，主要有两种考查方式，一种是三角形的边、角以及面积的求解，会在选择、填空题中出现，难度一般，属于基础题；另一种是结合三角函数、三角恒等变换、基本不等式等知识综合考查正、余弦定理的综合应用及三角形面积问题，一般在解答题中出现．
(13分)(2024·新高考Ⅰ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
[阅读与思考] (1)第1步：利用余弦定理求C．
因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，…………………………(2分)
又0第2步：将C代入已知等式求B．
所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，……………………………………(5分)
又0(2)法一：第1步：求A．
由(1)得A＝π－B－C＝．………………………………………………………(8分)
第2步：利用正弦定理得出a，c的关系．
因为sin ＝sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝＝，……………………………………………………………………………(9分)
所以由正弦定理＝，得＝，
所以a＝c．…………………………………………………………………(10分)
第3步：利用三角形面积公式求c．
所以S△ABC＝ac sin B＝c2×＝3＋，
得c＝2．………………………………………………………………………(13分)
法二：第1步：求A．
由(1)得A＝π－B－C＝．………………………………………………………(8分)
第2步：利用正弦定理的变形形式表示出b，c．
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得b＝2R sin B＝R，c＝2R sin C＝R．………………………(10分)
第3步：利用三角形面积公式求c．
因为sin ＝sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝，……………(11分)
所以S△ABC＝bc sin A＝·R·R·sin ＝3＋，即·＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2(舍负)，所以c＝R＝2．(13分)
本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4T22，教材习题第(1)问利用正弦定理化边为角，再利用三角变换公式求出角的大小，第(2)问利用余弦定理及三角形的面积公式求得b，c的关系，进而求出b，c的值．本题第(1)问直接利用余弦定理化简，求得角C，再代入已知条件，结合角B的范围即可求得角B的大小，难度稍低于教材习题，第(2)问利用正弦定理结合三角形的面积公式可求边c，但由于不是特殊角，使得这一问难度有所增加．
试题评价：本题以三角形中的边、角关系为载体，考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，综合性较强，属于课程学习情境．综合应用正、余弦定理以及三角形的面积公式解三角形一直是高考的热点内容之一，但要求不是很高，若考解答题，一般在解答题的第1题或第2题的位置，属中等偏低档题目．
附：(人教A版必修第二册P54习题6.4T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
考点一 任意角
1．定义：角可以看成一条射线绕着它的____旋转所成的图形．
2．分类：(1)按旋转方向不同分为____、____、____．
(2)按终边位置不同分为______和轴线角．
3．相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为____．
4．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝________________________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
[常用结论]
1．象限角
2．轴线角
[典例1] (多选)(2024·保定月考)下列说法中正确的是( )
A．若α是第二象限角，则＋α是第一象限角
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．第一象限角都是锐角
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是α＝2kπ－，k∈Z
[听课记录]
反思领悟 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
提醒：涉及整数k的问题，易忽视对k的讨论致误．
巩固迁移1 (2024·上饶余干县月考)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合．
(1) (2)
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．
[典例] (人教A版必修第一册P176习题5.1T7(2)改编)已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在( )
A．第一或第三角限 B．第二或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
[听课记录]
应用体验 (多选)(2024·昆明五华区月考)如图，若角α的终边落在阴影部分，则角的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点二 弧度制及其应用
1．定义：长度等于______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝
弧长公式 l＝____
扇形面积公式 S＝lR＝αR2
[典例2] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[听课记录]
反思领悟 利用扇形的弧长和面积公式时，角的单位必须是弧度．
巩固迁移2 (2024·合肥期末)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：＝弦＋，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为( )
A．＋2 B．
C． D．2＋1
考点三 三角函数的概念及应用
1．定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 ____叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 ____叫做α的余弦函数，记作cos α
正切 叫做α的正切函数，记作tan α
2．定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝__________．
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
三角函数的定义
[典例3] (1)(2024·渭南韩城市期中)若角α的终边与单位圆相交于点P，则tan α等于( )
A． B．－
C．－ D．－
(2)(2025·长沙模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若角α终边上有一点P(2，y)，且sin α＝－，则y＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
[听课记录]
反思领悟 本例(1)，已知角α的终边上一点的坐标P，其中x＝，y＝－，可求tan α＝＝＝－．本例(2)，已知角α的正弦值为－，求角α的终边上一点P的纵坐标，可先求P到原点的距离r＝，再根据正弦的定义sin α＝列方程求y．
巩固迁移3 (1)已知α的终边过点(x，4)，且cos α＝－，则tan α＝________．
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________．
三角函数值符号的判定
[典例4] (1)(多选)在平面直角坐标系中，以原点O为角α的顶点，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是( )
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
(2)(多选)(2024·浙江衢州质检)若sin x cos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
[听课记录]
反思领悟 本例(1)，由m<0可知角α是第四象限角，再根据正、余弦及正切在各象限的符号确定各选项的符号．本例(2)，根据sin x cos x>0可知sin x>0且cos x>0或sin x<0且cos x<0；结合sin x＋cos x>0可得sin x>0且cos x>0，满足sin x>0且cos x>0的角x只能是第一象限角，进而可知选AC．
巩固迁移4 若cos α·tan α<0，则角α的终边在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
1．(人教A版必修第一册P176T7(2))已知α为第一象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
3．(2024·蚌埠期末)已知点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，则sin α＝( )
A．－ B．－
C． D．
4．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，则扇形的半径为________．
1/1 从近几年的高考来看，正、余弦定理的综合应用及有关三角形的面积问题是高考考查的重点和热点，主要有两种考查方式，一种是三角形的边、角以及面积的求解，会在选择、填空题中出现，难度一般，属于基础题；另一种是结合三角函数、三角恒等变换、基本不等式等知识综合考查正、余弦定理的综合应用及三角形面积问题，一般在解答题中出现．
(13分)(2024·新高考Ⅰ卷T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab．
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c．
[阅读与思考] (1)第1步：利用余弦定理求C．
因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝，…………………………(2分)
又0第2步：将C代入已知等式求B．
所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝，……………………………………(5分)
又0(2)法一：第1步：求A．
由(1)得A＝π－B－C＝．………………………………………………………(8分)
第2步：利用正弦定理得出a，c的关系．
因为sin ＝sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝＝，……………………………………………………………………………(9分)
所以由正弦定理＝，得＝，
所以a＝c．…………………………………………………………………(10分)
第3步：利用三角形面积公式求c．
所以S△ABC＝ac sin B＝c2×＝3＋，
得c＝2．………………………………………………………………………(13分)
法二：第1步：求A．
由(1)得A＝π－B－C＝．………………………………………………………(8分)
第2步：利用正弦定理的变形形式表示出b，c．
设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得b＝2R sin B＝R，c＝2R sin C＝R．………………………(10分)
第3步：利用三角形面积公式求c．
因为sin ＝sin ＝sin cos ＋cos ·sin ＝，……………(11分)
所以S△ABC＝bc sin A＝·R·R·sin ＝3＋，即·＝3＋，解得R2＝4，所以R＝2(舍负)，所以c＝R＝2．(13分)
本题源自人教A版必修第二册P54习题6.4T22，教材习题第(1)问利用正弦定理化边为角，再利用三角变换公式求出角的大小，第(2)问利用余弦定理及三角形的面积公式求得b，c的关系，进而求出b，c的值．本题第(1)问直接利用余弦定理化简，求得角C，再代入已知条件，结合角B的范围即可求得角B的大小，难度稍低于教材习题，第(2)问利用正弦定理结合三角形的面积公式可求边c，但由于不是特殊角，使得这一问难度有所增加．
试题评价：本题以三角形中的边、角关系为载体，考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，综合性较强，属于课程学习情境．综合应用正、余弦定理以及三角形的面积公式解三角形一直是高考的热点内容之一，但要求不是很高，若考解答题，一般在解答题的第1题或第2题的位置，属中等偏低档题目．
附：(人教A版必修第二册P54习题6.4T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C－b－c＝0．
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c．
第1课时 任意角和弧度制、三角函数的概念
[考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制．2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性．3．借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
考点一 任意角
1．定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2．分类：(1)按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
(2)按终边位置不同分为象限角和轴线角．
3．相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α．
4．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
提醒：终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
[常用结论]
1．象限角
2．轴线角
[典例1] (多选)(2024·保定月考)下列说法中正确的是( )
A．若α是第二象限角，则＋α是第一象限角
B．若α为第一象限角，则为第一或第三象限角
C．第一象限角都是锐角
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是
AB [对于A，∵＋α＝2π＋α－，
∴＋α的终边和α－的终边相同，
∵α为第二象限角，∴α－是第一象限角，
∴＋α为第一象限角，故A正确；
对于B，α为第一象限角，即2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，
则kπ<对于C，第一象限角不都是锐角，比如390°为第一象限角，但不是锐角，C错误；
对于D，终边在直线y＝－x上的角的集合是＝，D错误．故选AB．]
反思领悟 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
提醒：涉及整数k的问题，易忽视对k的讨论致误．
巩固迁移1 (2024·上饶余干县月考)用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合．
(1)
(2)
[解] (1)由题图可知，边界对应射线所在终边的角分别为2kπ＋，2kπ＋，k∈Z，
则终边在阴影部分的角的集合为．
(2)边界对应射线所在终边的角分别为2kπ，2kπ＋，2kπ＋π，2kπ＋，k∈Z，
∴终边在阴影部分的角的集合为：
＝．
若θ分别为第一、二、三、四象限角，则的终边分别落在区域一、二、三、四内，如图所示．
[典例] (人教A版必修第一册P176习题5.1T7(2)改编)已知θ为第三象限角，且＝－sin ，则角的终边在( )
A．第一或第三角限 B．第二或第四象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵θ为第三象限角，
∴为第二或第四象限角，
又＝－sin ，
∴sin ≤0，
∴角的终边在第四象限．]
应用体验 (多选)(2024·昆明五华区月考)如图，若角α的终边落在阴影部分，则角的终边可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
AC [依题意，得k·360°＋40°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z，
所以k·180°＋20°≤≤k·180°＋50°，k∈Z，
当k为偶数时，的终边在第一象限；当k为奇数时，的终边在第三象限．
故选AC．]
考点二 弧度制及其应用
1．定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝
弧长公式 l＝αR
扇形面积公式 S＝lR＝αR2
[典例2] 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
[解] (1)∵α＝60°＝，
∴l＝αR＝×10＝(cm)．
(2)由题意得
解得(舍去)，
故扇形的圆心角为．
(3)由已知得，l＋2R＝20(cm)．
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2，
此时l＝10，α＝2．
【教用·备选题】
母题探究 若本例(1)条件不变，求扇形的弧所在弓形的面积．
[解] ∵α＝60°＝，
∴S弓形＝S扇形－S三角形
＝lR－R2sin
＝×10－×102×
＝－25＝(cm2)．
反思领悟 利用扇形的弧长和面积公式时，角的单位必须是弧度．
巩固迁移2 (2024·合肥期末)我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：＝弦＋，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为( )
A．＋2 B．
C． D．2＋1
C [设扇形的圆心角为α，由扇形面积公式可知×22×α＝，所以α＝，
如图，取的中点C，连接OC，交AB于点D，
则OC⊥AB．易知∠OAD＝，则OD＝2sin ＝1，
所以CD＝2－1＝1，AD＝2cos ＝，AB＝2AD＝2，
所以扇形弧长的近似值为＝弦＋＝AB＋＝．
故选C．]
考点三 三角函数的概念及应用
1．定义
前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)
定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α
余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α
正切 叫做α的正切函数，记作tan α
2．定义的推广
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
3．三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
三角函数的定义
[典例3] (1)(2024·渭南韩城市期中)若角α的终边与单位圆相交于点P，则tan α等于( )
A． B．－
C．－ D．－
(2)(2025·长沙模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若角α终边上有一点P(2，y)，且sin α＝－，则y＝( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
(1)D (2)B [(1)根据三角函数的定义，tan α＝＝＝－．故选D．
(2)角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，角α终边上有一点P(2，y)，且sin α＝－，
即＝－，解得y＝－1．故选B．]
反思领悟 本例(1)，已知角α的终边上一点的坐标P，其中x＝，y＝－，可求tan α＝＝＝－．本例(2)，已知角α的正弦值为－，求角α的终边上一点P的纵坐标，可先求P到原点的距离r＝，再根据正弦的定义sin α＝列方程求y．
巩固迁移3 (1)已知α的终边过点(x，4)，且cos α＝－，则tan α＝________．
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________．
(1)－ (2)± [(1)∵α的终边过点(x，4)，且cos α＝－，∴x<0．
∵cos α＝＝－，
∴x＝－3，∴tan α＝－．
(2)由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2．若在第一象限，可在α终边上任取一点(1，2)，
∴sin α＝＝；若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝＝－．
综上，sin α＝±．]
【教用·备选题】
已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于( )
A．－ B．± C．－ D．±
C [设O为坐标原点，由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±．
法一：当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时，sin α·tan α＝－．
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－．
所以sin α·tan α＝－．
法二：由三角函数定义知，
cos α＝－，sin α＝y，
所以sin α·tan α＝sin α·＝＝＝＝－．]
三角函数值符号的判定
[典例4] (1)(多选)在平面直角坐标系中，以原点O为角α的顶点，以x轴的非负半轴为始边，终边经过点P(1，m)(m<0)，则下列各式的值恒大于0的是( )
A． B．cos α－sin α
C．sin αcos α D．sin α＋cos α
(2)(多选)(2024·浙江衢州质检)若sin x cos x>0，sin x＋cos x>0，则可以是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(1)AB (2)AC [(1)由题意知sin α<0，cos α>0，tan α<0，则>0，故A正确；cos α－sin α>0，故B正确；sin αcos α<0，故C错误；sin α＋cos α的符号不确定，故D错误．故选AB．
(2)因为sin x cos x>0，sin x＋cos x>0，
所以sin x>0，cos x>0，
故x是第一象限角，
由2kπ得kπ<当k为偶数时，是第一象限角，
当k为奇数时，是第三象限角．故选AC．]
反思领悟 本例(1)，由m<0可知角α是第四象限角，再根据正、余弦及正切在各象限的符号确定各选项的符号．本例(2)，根据sin x cos x>0可知sin x>0且cos x>0或sin x<0且cos x<0；结合sin x＋cos x>0可得sin x>0且cos x>0，满足sin x>0且cos x>0的角x只能是第一象限角，进而可知选AC．
巩固迁移4 若cos α·tan α<0，则角α的终边在( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
C [因为cos α·tan α<0，所以cos α，tan α的值一正一负，所以角α的终边在第三、四象限．]
1．(人教A版必修第一册P176T7(2))已知α为第一象限角，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
D [因为α为第一象限角，所以2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，所以kπ<2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
C [由定义知终边相同的角的表达式中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ或k·360°＋45°(k∈Z)．]
3．(2024·蚌埠期末)已知点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，则sin α＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [因为点P(m，－)(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m＝，
解得m2＝5，则sin α＝＝＝－．故选A．]
4．若扇形的圆心角为216°，弧长为30π，则扇形的半径为________．
25 [因为216°＝216×＝，l＝|α|·r＝r＝30π，所以r＝25．]
【教用·备选题】
1．(2024·南阳期末)已知角α的终边经过点(4，m)(m≠0)，且sin α＝，则m＝( )
A．3 B．±3
C．5 D．±5
B [因为角α的终边经过点(4，m)(m≠0)，且sin α＝，
所以＝，可得m2＝9，则m＝±3．
故选B．]
2．(2024·青岛崂山区二模)古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线．其中余切函数cot θ＝，正割函数sec θ＝，余割函数csc θ＝，正矢函数ver sin θ＝1－cos θ，余矢函数ver cos θ＝1－sin θ．如图，角θ始边为x轴的非负半轴，其终边与单位圆交于点P，A，B分别是单位圆与x轴和y轴正半轴的交点，过点P作PM垂直x轴，作PN垂直y轴，垂足分别为M，N，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，分别交θ的终边于T，S，其中AM，PS，BS，NB为有向线段，下列表示正确的是( )
A．ver sin θ＝AM B．csc θ＝PS
C．cot θ＝BS D．sec θ＝NB
C [根据题意，易得△OMP∽△OAT∽△SBO∽△PNO．
对于A，因为1－cos θ＝1－OM＝MA，即ver sin θ＝MA，故A错误；
对于B，根据三角函数定义，结合相似三角形相似比可得，csc θ＝＝＝＝＝OS，故B错误；
对于C，cot θ＝＝＝BS，故C正确；
对于D，根据三角函数定义，结合相似三角形相似比可得，sec θ＝＝＝＝＝OT，
故D错误．故选C．]
3．(2024·揭阳揭西期末)如图，已知单位圆O与x轴正半轴相交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且∠AOB＝，记∠MOA＝α，∠MOB＝β．
(1)若α＝，求点A，B的坐标；
(2)若点A的坐标为，求sin α－sin β的值．
[解] (1)若α＝，则点A，B．
(2)若点A的坐标为，
因为＋m2＝1，点A在第一象限，
所以m＝，即A，
则sin α＝．
因为∠AOB＝，所以β＝＋α，
所以cos α＝sin β＝，
所以sin α－sin β＝－．
课后习题(二十四) 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．(多选)(苏教版必修第一册P175习题7.1T2，3，5改编)下列说法正确的是( )
A．与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°
B．三角形的内角必是第一或第二象限角
C．20°30′化成弧度是
D．终边落在直线y＝x上的角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}
ACD [A．与1 920°终边相同的角为β＝k·360°＋1 920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5时，β＝120°，所以与1 920°终边相同的角中，最小正角是120°，故A正确；
B．因为三角形的内角的范围是(0，π)，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误；
C．22°30′化成弧度是22.5×＝，故C正确；
D．易得直线y＝x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时， α＝240°＋k2·360°，k2∈Z．所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}，故D正确．故选ACD．]
2．(人教A版必修第一册P182练习T4改编)已知sin θ·cos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
D [∵sin θcos θ<0，
∴sin θ，cos θ一正一负，
∵|cos θ|＝cos θ，∴cos θ>0，
∴sin θ<0，∴θ为第四象限角．]
3．(人教A版必修第一册P184习题5.2T2改编)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4a)，其中a≠0，下列结论正确的是( )
A．sin α＝ B．cos α＝
C．tan α＝ D．tan α＝
C [由题意可得r＝|OP|＝＝5|a|(O为坐标原点)，
当a>0时，r＝5a，所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝，tan α＝＝＝；
当a<0时，r＝－5a，所以sin α＝＝－＝－，cos α＝＝－＝－，tan α＝＝＝．
故选C．]
4．(人教A版必修第一册P175练习T6改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为________，由该弧及半径围成的扇形的面积为________．
[单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×＝，由弧度数的定义得＝，
所以l＝，S扇形＝lr＝×1＝．]
5．(2024·抚顺月考)3 888°的终边落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [因为3 888°＝288°＋10×360°，又因为288°的终边落在第四象限，
所以3 888°的终边落在第四象限．故选D．]
6．(2024·沈阳期末)机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB的长为1，则莱洛三角形的周长是( )
A．π B．
C． D．
A [由已知∠BAC＝，AB＝1，得＝＝＝×1＝．
则莱洛三角形的周长是π．故选A．]
7．(2024·扬州中学月考)若α＝－5，则( )
A．sin α>0，cos α>0
B．sin α>0，cos α<0
C．sin α<0，cos α>0
D．sin α<0，cos α<0
A [因为－2π<α＝－5<－，
所以α＝－5为第一象限的角，所以sin α>0，cos α>0．故选A]
8．(多选)(2024·成都郫都区月考)下列命题正确的是( )
A．若sin α＝－，且π<α<，则tan α＝－
B．若α是第二象限角，则是第一或第三象限角
C．sin 1cos 2＜0
D．若α是第四象限角，则点P(sin α，tan α)在第四象限
BC [对于A项，因为π<α<，所以tan α＞0，故A错误；
对于B项，若α是第二象限角，则＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<＋kπ，k∈Z，即是第一或第三象限角，故B正确；
对于C项，因为0<1<<2<π，所以sin 1＞0，cos 2＜0，即sin 1cos 2＜0，故C正确；
对于D项，若α是第四象限角，则sin α＜0，tan α＜0，
所以点P(sin α，tan α)在第三象限，故D错误．
故选BC．]
9．(多选)(2024·沈阳皇姑区月考)下列说法正确的是( )
A．若α是第四象限角，则是第二或第四象限角
B．经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度
C．若角α终边上一点P的坐标为(4t，－3t)(其中t＞0)，则sin α＝－
D．终边在直线y＝－x上的角的集合是
ABC [对于A选项，α是第四象限角，故－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，
所以－＋kπ<当k为奇数时，为第二象限角，
当k为偶数时，为第四象限角，
则是第二或第四象限角，A正确；
对于B选项，钟表的分针顺时针转动，
经过30分钟，钟表的分针转过半圈，即－π弧度，B正确；
对于C选项，若角α终边上一点P的坐标为(4t，－3t)(其中t＞0)，
则sin α＝＝－，C正确；
对于D选项，终边为y＝－x位于第四象限的部分时，角的集合是，
终边为y＝－x位于第二象限的部分时，角的集合是，
故终边在直线y＝－x上的角的集合是，D错误．故选ABC．]
10．(2024·宜春丰城市校级期末)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴．若P(m，2)是角θ终边上一点，且cos θ＝－，则m＝________．
－6 [由题设知cos θ＝＝－，
即10m2＝9(m2＋4)，且m＜0，
即m2＝36，且m＜0，
解得m＝－6．]
11．(2024·拉萨期末)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦AB所围成的图中阴影部分．若弧田所在圆的半径为2，圆心角为105°，则该弧田的面积为________．
[由题意，可得弧田所在圆的半径为2，圆心角为，
可得扇形的面积为S1＝×22＝，
△AOB的面积为S△AOB＝×2×2×sin ＝2sin＝2×＝，
所以此弧田的面积为S＝S1－S△AOB＝＝．]
12．(2024·北京海淀区月考)在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin α，cos α，tan α的值；
(2)设a＞0，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，求cos β的值．
[解] (1)因为在直角坐标系中，角α的终边经过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以r＝|OP|＝＝5|a|．
当a＞0时，r＝5a，此时sin α＝＝，
cos α＝＝－，tan α＝＝－；
当a＜0时，r＝－5a，此时sin α＝＝－，
cos α＝＝，tan α＝＝－．
综上可得，当a＞0时，sin α＝，cos α＝－，
tan α＝－；
当a＜0时，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－．
(2)由(1)知，当a＞0时，cos α＝－．
因为角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以β＝－α＋2kπ，k∈Z．
则cos β＝cos (－α)＝cos α＝－．
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