第5课时 三角函数的图象与性质
[考试要求] 1．能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
考点一 三角函数的定义域和值域
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数的定义域、值域
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1，1] [－1，1] R
[典例1] (1)(2025·上海市浦东新区模拟)函数f (x)＝的定义域为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
(2)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
(1)B (2)2 [(1)由题意得，1－2cos x≥0，即cos x≤，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以函数f (x)＝的定义域为，k∈Z．故选B．
(2)由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，
所以sin ∈，于是f (x)∈[－，2]，故f (x)在[0，π]上的最大值为2．]
链接·2025高考试题
(2025·上海卷)函数y＝cos x在上的值域为________．
[0，1] [由余弦函数的单调性可知，y＝cos x在上单调递增，在上单调递减，所以ymax＝cos 0＝1.又cos ＝0，cos ＝，故函数y＝cos x在上的值域为[0，1].]
反思领悟 本例(1)由1－2cos x≥0得cos x≤后，借助余弦函数y＝cos x的图象来求解，故要能借助“五点法”快速画出正弦(余弦)函数的简图；本例(2)，把所给三角函数式变换成f (x)＝2sin (一般形式f (x)＝A sin (ωx＋φ))的形式，把x－(一般形式ωx＋φ)看作一个整体，利用y＝sin x的单调性求值域．
巩固迁移1 (1)(2024·日照期末)函数y＝(0≤x≤2π)的定义域为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·广西期末)函数y＝cos ，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
(1)C (2)A [(1)由题意得2sin x－1≥0，即sin x≥，
因为0≤x≤2π，所以≤x≤．故选C．
(2)因为x∈，所以x＋∈，
因为y＝cos ，所以y∈，即y∈．故选A．]
【教用·备选题】
1．(2024·滨州高三入学考试)函数y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域为( )
A． B．
C． D．[2，4]
C [函数y＝tan2x－tanx＋2＝＋，由x∈，得tan x∈[－1，1]，
所以函数的值域为．
故选C．]
2．函数y＝sin x－cos x＋sin x cos x的值域为________．
[设t＝sin x－cos x，
则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx cos x，
sin x cos x＝，且－≤t≤．
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－．
∴函数的值域为．]
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
最小正 周期 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称 中心 (kπ，0) (k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
对称轴 方程 x＝kπ＋ (k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
[常用结论]
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
三角函数的周期性
[典例2] (1)(2024·杭州期末)下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos x
C．y＝2|sin x| D．y＝2|cos x|
(2)(2024·驻马店期末)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f＝1，则φ＝( )
A． B．
C． D．
(1)A (2)B [(1)由于y＝sin 2x是最小正周期为π的奇函数，则A正确；
由于y＝cos x为最小正周期为2π的偶函数，则B错误；
由于y＝2|sin x|是最小正周期为π的偶函数，则C错误；
由于y＝2|cos x|是最小正周期为π的偶函数，则D错误．故选A．
(2)因为函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T＝，
则f＝1，即2sin ＝1，可得2sin ＝1，即2cos φ＝1，
则cos φ＝，又0＜φ＜π，则φ＝．故选B．]
反思领悟 本例(1)选项A，B和本例(2)可利用函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝来求；本例(1)选项C，D的周期可画出函数简图，通过观察其图象求得．
巩固迁移2 (1)(2025·八省联考)函数f (x)＝cos 的最小正周期是( )
A． B．
C．π D．2π
(2)(2024·北京东城区月考)在下列函数中，以π为最小正周期的是( )
A．y＝tan 2x B．y＝sin x cos x
C．y＝|sin 2x| D．y＝sin x＋cos x
(3)函数f (x)＝cos22024πx的最小正周期为________．
(1)D (2)B (3) [(1)由题意知，f (x)的最小正周期T＝2π．故选D．
(2)对于A，函数y＝tan 2x的最小正周期T＝，故A错误；
对于B，函数y＝sin x cos x＝sin 2x，最小正周期T＝＝π，故B正确；
对于C，＝|sin (2x＋π)|＝|sin 2x|，
最小正周期T＝，故C错误；
对于D，函数y＝sin x＋cos x＝sin ，最小正周期T＝2π，故D错误．故选B．
(3)因为f (x)＝cos22024πx＝(cos 4 048πx＋1)＝cos 4 048πx＋，
所以周期T＝＝．]
三角函数的奇偶性与对称性
[典例3] (1)(2025·杭州模拟)设函数f (x)＝2sin ，则下列叙述正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)在上的最小值为－
D．f (x)的图象关于点对称
(2)函数f (x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝________，f (x)图象的对称中心为________．
(1)C (2)，k∈Z [(1)对于A，f (x)的最小正周期为＝π，故A错误；
对于B，∵sin ＝－≠±1，故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，
∴sin ∈，
∴2sin ∈，
∴f (x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f＝2sin ＝，
∴f (x)的图象关于点对称，故D错误．故选C．
(2)若f (x)＝3sin ＋1为偶函数，
则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝．
∴f (x)＝3sin ＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，
∴f (x)图象的对称中心为，k∈Z．]
链接·2025高考试题
(2025·全国一卷)已知点(a，0)(a＞0)是函数y＝2tan 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( )
A． B．
C． D．
B [令x－＝，k∈Z，得x＝，k∈Z，故y＝2tan 的图象的对称中心为，k∈Z.因为a＞0，所以当k＝0时，a取得最小值.故选B.]
反思领悟 (1)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
(2)判断某一直线、某一点是否为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断．
巩固迁移3 (1)(多选)已知函数f (x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．点是y＝f (x)图象的对称中心
C．点是y＝f (x)图象的对称中心
D．直线x＝是y＝f (x)图象的对称轴
(2)已知函数f (x)＝cos 是奇函数，且φ∈，则φ的值为________．
(1)AD (2) [(1)f (x)＝sin x(sin x－cos x)
＝sin2x－sinx cos x
＝sin 2x
＝－sin ，
T＝＝π，故A正确；
当x＝－时，2x＋＝0，
此时sin ＝0，
则函数的图象关于点对称，
故B错误；
当x＝时，2x＋＝，
此时sin ＝1，
则函数的图象关于直线x＝对称，故C错误；
当x＝时，2x＋＝，此时sin ＝－1，
则函数的图象关于直线x＝对称，故D正确．
(2)由已知，得＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝kπ＋(k∈Z)，
又因为φ∈，
所以当k＝0时，φ＝符合题意．]
考点三 三角函数的单调性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调 递增 区间 (k∈Z) [2kπ－π，2kπ] (k∈Z) (k∈Z)
单调 递减 区间 (k∈Z) [2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)
[典例4] (2025·湛江模拟)函数y＝3－2cos 的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
B [由题意得y＝3－2cos
＝3－2cos ＝3－2cos ，
要求函数的单调递增区间，即求y＝cos 的单调递减区间，
当2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
即kπ－≤x≤＋kπ，k∈Z时，
y＝cos 单调递减，即y＝3－2cos 单调递增，故B正确．
故选B．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知函数f(x)＝cos (2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)＝.
(1)求φ；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
解：(1)因为f(0)＝cos φ＝，且0≤φ＜π，所以φ＝.
(2)g(x)＝f(x)＋f
＝cos ＋cos 2x
＝cos 2x cos －sin 2x sin ＋cos 2x
＝cos 2x－sin 2x
＝
＝cos .
因为余弦函数y＝cos θ的值域是[－1，1]，令θ＝2x＋，那么函数y＝cos θ的值域就是[－]，所以g(x)的值域为[－].
易知余弦函数y＝cos θ在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增，令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
易知余弦函数y＝cos θ在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
反思领悟 本例求单调递增区间的关键是利用诱导公式将函数化为y＝3－2cos 后，将“2x＋”视为一个整体解不等式．
巩固迁移4 (人教A版必修第一册P214习题5.4T14改编)下列区间中，函数f (x)＝1－sin 单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
A [函数f (x)＝1－sin ＝sin ＋1，
要求函数的单调递增区间，即－＋2kπ≤x－＋2kπ(k∈Z)，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
令k＝0，得到－≤x≤，则A正确，B错误；
令k＝1，得到≤x≤，则C，D错误．故选A．]
解析式中含三角函数绝对值的函数性质问题，求解的主要方法是根据函数的有关性质(如奇偶性、周期性、对称性等)，研究函数的值域(最值)、单调性、零点个数等，需要去掉绝对值符号，结合所得函数解析式的特征求解．
定义法研究三角函数性质的方法：不能化为形如f (x)＝ A sin (ωx＋φ)或f (x)＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)的函数的性质问题，可借助定义求解，其依据是：(1)若存在非零常数T，满足f (x＋T)＝f (x)，则函数是周期为T的函数；(2)若函数满足f (x)＝f (2a－x)，则图象关于直线x＝a对称；(3)若函数满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则函数图象关于点(a，b)对称；(4)利用奇偶性的定义判断函数奇偶性．
[典例] (多选)(2025·六安金安区模拟)已知函数f (x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|，则下列关于函数f (x)的说法，正确的是( )
A．f (x)的一个周期为
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)在上单调递增
D．f (x)的值域为[，2]
ABD [对于A，f＝
＝|cos x－sin x|＋|cos x＋sin x|＝f (x)，
因此f (x)的一个周期是，故A正确；
对于B，f (π－x)＝|sin (π－x)＋cos (π－x)|＋|sin (π－x)－cos (π－x)|
＝|sin x－cos x|＋|sin x＋cos x|＝f (x)，
因此，直线x＝是函数f (x)图象的一条对称轴，故B正确；
对于C，由于f (0)＝2，f ＝，可知f (0)>f ，所以f (x)不可能在上单调递增，故C错误；
对于D，对于区间，其区间长度恰好等于f (x)的周期，
可知f (x)在R上的值域与它在上的值域相同，
当x∈时，f (x)＝sin x＋cos x＋cos x－sin x＝2cos x，
由y＝cos x在区间上的值域为，可知f (x)在区间上的值域为[，2]，因此，f (x)在R上的值域为[，2]，故D正确．故选ABD．]
应用体验 (多选)(2024·烟台二模)已知函数f (x)＝sin x·|cos x|，则( )
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)的最小值为－
D．f (x)在上单调递增
AC [f (x)＝sin x·|cos x|
＝k∈Z，
其大致图象如图所示，
因为f (－x)＝sin (－x)|cos (－x)|＝－sin x|cos x|＝－f (x)，即f (x)为奇函数，A正确；
因为f (x＋π)＝sin (x＋π)|cos (x＋π)|＝－sin x·|cos x|≠f (x)，即π不是f (x)的最小正周期，B错误；
结合函数图象可知，f (x)的最小值为－，C正确；
函数f (x)在上不单调，D错误．故选AC．]
1．(2024·日照期末)函数y＝cos 的最小正周期是( )
A．π B．2π
C．1 D．2
D [y＝cos 的最小正周期为T＝＝2．故选D．]
2．(2024·上海宝山区校级期中)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是( )
A B
C D
D [函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象如图所示：
将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向上平移1个单位长度得到y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图，
如图所示．
故选D．]
3．(2024·焦作博爱县月考)函数f (x)＝sin ·cos 是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
D [f (x)＝sin cos ＝sin ·sin ＝sin2＝，
所以函数f (x)为最小正周期为π的非奇非偶函数．故选D．]
4．若函数y＝cos 的单调递减区间为M，y＝cos (2π－x)的单调递减区间为N，则M∩N＝____________．
(k∈Z) [因为y＝cos ＝－sin x，所以函数y＝cos 的单调递减区间为(k∈Z)．又y＝cos (2π－x)＝cos x，所以函数y＝cos (2π－x)的单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)，所以所求交集为两个区间的公共部分，即(k∈Z)．]
【教用·备选题】
1．(2024·南通四模)下列函数中，以π为周期，且其图象关于点对称的是( )
A．y＝tan x B．y＝|sin x|
C．y＝2cos2x－1 D．y＝sinx－cos x
C [根据正切函数的性质可知，y＝tan x的图象不关于点对称，A不符合题意；
根据正弦函数性质及函数图象变换可知，y＝|sin x|的图象不关于点对称，B不符合题意；
y＝2cos2x－1＝cos2x以π为周期，且其图象关于点对称，C符合题意；
y＝sin x－cos x＝sin 的周期为2π，D不符合题意．
故选C．]
2．(2024·普洱期末)函数f (x)＝2cos2x＋3sinx在上的值域为( )
A．[3，4] B．
C． D．
B [依题意，f (x)＝－2sin2x＋3sinx＋2，令sin x＝t，
因为≤x≤，所以≤t≤1，
故y＝－2t2＋3t＋2，t∈．
故当t＝时，y有最大值，当t＝1时，y有最小值3，
故所求值域为．
故选B．]
3．(2025·武威市凉州区模拟)已知函数f (x)＝cos x sin x－cos2x＋，x∈R．
(1)求f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)在区间上的最大值和最小值．
[解] (1)f (x)＝cosx sin x－cos2x＋
＝sinx cos x－(2cos2x－1)
＝sin2x－cos 2x＝sin ．
∴f (x)的最小正周期T＝＝π．
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x－，
不妨设z＝2x－，因为y＝sin z在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故z＝－时，函数取得最小值－1，此时x＝－．
又因为sin ＝>sin ＝－，故z＝时函数取得最大值，此时x＝．
故函数f (x)在区间上的最大值为，最小值为－1．
课后习题(二十八) 三角函数的图象与性质
1．(人教A版必修第一册P207练习T3改编)下列关于函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减
B．在上单调递增，在和上单调递减
C．在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减
D．在和上单调递增，在上单调递减
B [函数y＝4sin x在和上单调递减，在上单调递增．故选B．]
2．(多选)(人教A版必修第一册P203练习T2改编)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是( )
A．y＝cos
B．y＝2sin
C．y＝sin
D．y＝2cos
AB [选项C中，函数y＝sin 的最小正周期T＝＝4π，故排除C；将x＝依次代入选项A，B，D中的解析式，求得函数值分别为－，2，1，故A，B正确，D错误．故选AB．]
3．(多选)(人教B版必修第三册P59练习BT5改编)已知函数f (x)＝tan ，下列结论正确的是( )
A．函数f (x)的最小正周期为
B．函数f (x)的定义域为
C．函数f (x)图象的对称中心为，k∈Z
D．函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z
ACD [对于A，函数f (x)＝tan 的最小正周期T＝，所以A正确；对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z，得x≠，k∈Z，即函数f (x)的定义域为，所以B错误；对于C，令2x－＝，k∈Z，解得x＝，k∈Z，所以函数f (x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确；对于D，令kπ－<2x－故选ACD．]
4．(人教A版必修第一册P205例3改编)函数y＝3－2cos的最大值为________，此时x＝________．
5 ＋2kπ(k∈Z) [函数y＝3－2cos的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ(k∈Z)．]
5．(2024·上海静安区二模)函数y＝2sin x－cos x(x∈R)的最小正周期为( )
A．2π B．π
C． D．
A [因为y＝2sin x－cos x＝
＝sin (x－φ)，tan φ＝，根据周期公式可得T＝2π．
故选A．]
6．(2024·泉州鲤城区期末)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则函数在区间上的最大值是( )
A．0 B．
C． D．1
D [f (x)＝sin ，由T＝＝π，得ω＝2，
即f (x)＝sin ，当x∈时，2x＋∈，
所以f (x)∈，从而f (x)max＝f ＝1．故选D．]
7．(2024·深圳宝安区期末)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
A [∵函数f (x)＝sin (ω＞0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x)＝sin ，
则令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z，∴f (x)图象的对称中心为(k∈Z)，则当k＝1时，图象的对称中心为，故A正确，C错误；
令2x＋＝kπ＋，解得x＝，k∈Z，
∴f (x)图象的对称轴为直线x＝，k∈Z，故B，D错误，
故选A．]
8．(多选)(2024·西安碑林区期末)已知函数f (x)＝cos (x∈R)，下列结论错误的是( )
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．函数f (x)的图象关于点对称
C．函数f (x)在区间上单调递减
D．函数f (x)的图象关于直线x＝对称
BC [因为f (x)＝cos ，
所以f (x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；
f＝cos ＝cos ＝－cos ＝－，f≠0，则f (x)的图象不关于点对称，故B错误；
当x∈时，2x－∈，
又y＝cos x在上不单调，
所以函数f (x)在区间上不单调递减，故C错误；
当x＝时，f＝cos ＝，为最大值，
所以f (x)的图象关于直线x＝对称，故D正确．
故选BC．]
9．(2024·北京朝阳区期末)函数f (x)＝3cos －2图象的一个对称中心为( )
A． B．
C． D．
B [f (x)＝3cos －2＝3cos －2，
函数f (x)图象的对称中心满足2x－＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，
所以函数f (x)图象的对称中心为，k∈Z，
当k＝0时，为函数f (x)图象的一个对称中心．
故选B．]
10．(2024·宜宾长宁区期末)已知函数y＝sin (2x＋2φ)(φ＞0)是偶函数，则φ的最小值是________．
[函数y＝sin (2x＋2φ)(φ＞0)是偶函数，则2φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝(k∈Z)，当k＝0时，φ的最小值为．]
11．(2025·北京西城区模拟)已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x．
(1)求f (0)；
(2)求函数f (x)的最小正周期及对称轴方程；
(3)求函数f (x)的单调递增区间．
[解] (1)f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin ，则f (0)＝1．
(2)函数f (x)的最小正周期为π．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝，k∈Z，
即对称轴方程为x＝，k∈Z．
(3)令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f (x)的单调递增区间为
，k∈Z．
12．(2024·海口期末)已知函数f (x)＝2sin (0＜ω＜3)，直线x＝是函数f (x)图象的一条对称轴．
(1)求函数f (x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若x∈，求函数f (x)的值域．
[解] (1)根据题意可得ω·＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝2＋3k，k∈Z，
又0＜ω＜3，所以ω＝2，所以函数f (x)的最小正周期为＝＝π．
因为f (x)＝2sin ，令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z．
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以sin ∈，
所以2sin ∈[－1，2]，
所以函数f (x)的值域为[－1，2]．
1/1第5课时 三角函数的图象与性质
[考试要求] 1．能画出三角函数的图象．2．了解三角函数的周期性、奇偶性、单调性、最大(小)值．3．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质．
考点一 三角函数的定义域和值域
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]图象的五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．三角函数的定义域、值域
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 __ __
值域 ____________ ____________ R
[典例1] (1)(2025·上海市浦东新区模拟)函数f (x)＝的定义域为( )
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
(2)(2024·全国甲卷)函数f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)由1－2cos x≥0得cos x≤后，借助余弦函数y＝cos x的图象来求解，故要能借助“五点法”快速画出正弦(余弦)函数的简图；本例(2)，把所给三角函数式变换成f (x)＝2sin (一般形式f (x)＝A sin (ωx＋φ))的形式，把x－(一般形式ωx＋φ)看作一个整体，利用y＝sin x的单调性求值域．
巩固迁移1 (1)(2024·日照期末)函数y＝(0≤x≤2π)的定义域为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·广西期末)函数y＝cos ，x∈的值域是( )
A． B．
C． D．
考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
最小正 周期 2π ____ __
奇偶性 ______ ______ 奇函数
对称 中心 ______________(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z)
对称轴 方程 __________ (k∈Z) ________(k∈Z)
[常用结论]
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y＝A sin (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
(2)若y＝A cos (ωx＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
(3)若y＝A tan (ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
三角函数的周期性
[典例2] (1)(2024·杭州期末)下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是( )
A．y＝sin 2x B．y＝cos x
C．y＝2|sin x| D．y＝2|cos x|
(2)(2024·驻马店期末)函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f＝1，则φ＝( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)选项A，B和本例(2)可利用函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期T＝来求；本例(1)选项C，D的周期可画出函数简图，通过观察其图象求得．
巩固迁移2 (1)(2025·八省联考)函数f (x)＝cos 的最小正周期是( )
A． B．
C．π D．2π
(2)(2024·北京东城区月考)在下列函数中，以π为最小正周期的是( )
A．y＝tan 2x B．y＝sin x cos x
C．y＝|sin 2x| D．y＝sin x＋cos x
(3)函数f (x)＝cos22024πx的最小正周期为________．
三角函数的奇偶性与对称性
[典例3] (1)(2025·杭州模拟)设函数f (x)＝2sin ，则下列叙述正确的是( )
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)在上的最小值为－
D．f (x)的图象关于点对称
(2)函数f (x)＝3sin ＋1，φ∈(0，π)，且f (x)为偶函数，则φ＝________，f (x)图象的对称中心为________．
[听课记录]
反思领悟 (1)三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx的形式．
(2)判断某一直线、某一点是否为y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)的对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断．
巩固迁移3 (1)(多选)已知函数f (x)＝sin x(sin x－cos x)，则下列说法正确的是( )
A．函数f (x)的最小正周期为π
B．点是y＝f (x)图象的对称中心
C．点是y＝f (x)图象的对称中心
D．直线x＝是y＝f (x)图象的对称轴
(2)已知函数f (x)＝cos 是奇函数，且φ∈，则φ的值为________．
考点三 三角函数的单调性
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
单调 递增 区间 (k∈Z) ______________________ (k∈Z) (k∈Z)
单调 递减 区间 (k∈Z) ______________________ (k∈Z)
[典例4] (2025·湛江模拟)函数y＝3－2cos 的单调递增区间是( )
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
[听课记录]
反思领悟 本例求单调递增区间的关键是利用诱导公式将函数化为y＝3－2cos 后，将“2x＋”视为一个整体解不等式．
巩固迁移4 (人教A版必修第一册P214习题5.4T14改编)下列区间中，函数f (x)＝1－sin 单调递增的区间是( )
A． B．
C． D．
解析式中含三角函数绝对值的函数性质问题，求解的主要方法是根据函数的有关性质(如奇偶性、周期性、对称性等)，研究函数的值域(最值)、单调性、零点个数等，需要去掉绝对值符号，结合所得函数解析式的特征求解．
定义法研究三角函数性质的方法：不能化为形如f (x)＝ A sin (ωx＋φ)或f (x)＝A cos (ωx＋φ)(Aω≠0)的函数的性质问题，可借助定义求解，其依据是：(1)若存在非零常数T，满足f (x＋T)＝f (x)，则函数是周期为T的函数；(2)若函数满足f (x)＝f (2a－x)，则图象关于直线x＝a对称；(3)若函数满足f (x)＋f (2a－x)＝2b，则函数图象关于点(a，b)对称；(4)利用奇偶性的定义判断函数奇偶性．
[典例] (多选)(2025·六安金安区模拟)已知函数f (x)＝|sin x＋cos x|＋|sin x－cos x|，则下列关于函数f (x)的说法，正确的是( )
A．f (x)的一个周期为
B．f (x)的图象关于直线x＝对称
C．f (x)在上单调递增
D．f (x)的值域为[，2]
[听课记录]
应用体验 (多选)(2024·烟台二模)已知函数f (x)＝sin x·|cos x|，则( )
A．f (x)是奇函数
B．f (x)的最小正周期为π
C．f (x)的最小值为－
D．f (x)在上单调递增
1．(2024·日照期末)函数y＝cos 的最小正周期是( )
A．π B．2π
C．1 D．2
2．(2024·上海宝山区校级期中)函数y＝1＋cos x(x∈[0，2π])的简图是( )
A B
C D
3．(2024·焦作博爱县月考)函数f (x)＝sin ·cos 是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
4．若函数y＝cos 的单调递减区间为M，y＝cos (2π－x)的单调递减区间为N，则M∩N＝____________．
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