三角函数中ω的值(范围)问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是复习中的难点．下面整理了ω的几种求法，以供参考．
题型一 利用三角函数的对称性与ω的关系
[典例1] 已知函数f (x)＝sin (ω>0)的图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[阅读与思考] 法一：令ωx＋＝，解得x＝，x＝，x＝分别为y＝f (x)的图象在y轴右侧由左向右最近的三条对称轴．
要满足图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，
只需解得<ω≤．故选C．
法二(整体法)：因为00，所以<ωx＋<πω＋，将ωx＋看成一个整体．由y＝sin x的图象分析可知，
<ωπ＋ <ω≤．
反思领悟 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
题型二 利用三角函数的单调性与ω的关系
[典例2] 若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
[阅读与思考] 法一：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z)，
因为函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，
所以k∈Z，
解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤，又k∈Z，所以k＝0．
即≤ω≤3．
法二：∵≤x≤，ω>0，
∴≤ωx≤，
又∵f (x)在上单调递减，
∴(k∈Z) 6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又∴0<ω≤6，∴k＝0，
即≤ω≤3．
反思领悟 已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围：
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0<ω≤；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．
题型三 利用三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (2024·北京卷)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由题意可知，x1为f (x)的最小值点，x2为f (x)的最大值点，
则|x1－x2|min＝＝，即T＝π，
又ω>0，所以ω＝＝2．
故选B．]
反思领悟 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称性说法是等价的．本例中x＝x1和x＝x2是f (x)＝sin ωx的两条对称轴，|x1－x2|min是说x＝x1和x＝x2是相邻的两条对称轴，故|x1－x2|min＝．
题型四 利用三角函数的零点与ω的关系
[典例4] (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[阅读与思考] 法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
反思领悟 本例解答关键是厘清区间长度和周期的关系．
【教用·备选题】
1．(2025·银川兴庆区模拟)已知函数f (x)＝4cos (ω>0)的图象与直线y＝2的两个相邻交点是A，B，若|AB|＝，则ω＝( )
A．1 B．1或7
C．2 D．2或6
D [根据题意，函数f (x)＝4cos (ω>0)，
若f (x)＝2，即4cos ＝2，则有cos ＝，
故ωx－＝2kπ±，解得x＝或x＝(k∈Z)，
又由|AB|＝，
则有＝＝或＝，
解得ω＝2或ω＝6．
故选D．]
2．(2024·武汉江岸区期末)已知函数f (x)＝cos ，其中ω＞0．若f (x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )
A． B．(0，4]
C． D．
A [∵函数f (x)在区间上单调递增，
∴＝＝，∴ω≤4，
∵x∈，
∴≤ωx－，
若f (x)在区间上单调递增，
则k∈Z，
解得8k－3≤ω≤4k＋，当k＝0时，－3≤ω≤，
又因为0＜ω≤4，∴0<ω≤．故选A．]
3．(2024·渭南富平县期末)若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且最小值为负值，则ω的值可以是( )
A．1 B．
C．2 D．
A [当ω＜0时，y＝2cos ωx＝2cos (－ωx)，由x∈，得－ωx∈，
因为函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，且最小值为负值，
所以<－ω≤π，解得－≤ω<－；
当ω＞0时，由x∈，
得ωx∈，因为函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，
且最小值为负值，所以<ω≤π，解得<ω≤．
综上所述，ω∈．故选A．]
4．(2024·济源期末)已知f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)满足f＝1，f＝0，且f (x)在上单调，则ω的最大值为________．
[设函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的周期为T，则T＝，
由f＝1，f＝0，结合正弦函数的图象与性质，得＝，k∈N，
解得T＝，即ω＝，k∈N，
又因为f (x)在区间上单调，
所以＝<，所以T＞，
所以ω<，即ω＝<，
因为k∈N，所以k的取值为1，此时ω取得最大值．]
进阶训练(四) 三角函数中ω的值(范围)问题
1．(2024·双鸭山四模)已知函数f (x)＝cos (ω>0)在区间[0，2π]内恰有3条对称轴，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [由于函数y＝cos x图象的对称轴方程为x＝kπ(k∈Z)，
所以2π≤2πω－<3π，解得ω∈．
故选D．]
2．已知ω>0，函数f (x)＝cos 在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [令2kπ≤ωx－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得≤x≤(k∈Z)．
因为函数f (x)在上单调递减，
所以其中k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．
又因为函数f (x)在上单调递减，
所以T≥π ω≤2．
又ω>0，所以当k＝0时，≤ω≤．故选B．]
3．将函数f (x)＝sin (2ωx＋φ)(ω>0，φ∈[0，2π])图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数g(x)的图象，函数g(x)的部分图象如图所示，且g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值(其中最大值为1，最小值为－1)，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
C [由已知得函数g(x)＝sin (ωx＋φ)，由g(x)图象过点以及点在图象上的位置，知sin φ＝，φ＝，∵0≤x≤2π，∴≤ωx＋≤2πω＋，由g(x)在[0，2π]上恰有一个最大值和一个最小值，∴≤2πω＋<，∴≤ω<．故选C．]
4．(2025·佛山南海区模拟)记函数f (x)＝cos (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为T，若f (T)＝－，且x＝为f (x)图象的一条对称轴，则ω的最小值为( )
A． B．
C． D．
A [f (T)＝cos ＝cos (2π＋φ)＝cos φ＝－，
因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f (x)＝cos ，
因为x＝为f (x)图象的一条对称轴，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝2k－，k∈Z，
因为ω＞0，所以ω的最小值为2－＝．故选A．]
5．若函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为( )
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
B [由题意，函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为x∈，可得＜ωx＋＜(1＋ω)，要使得函数f (x)的图象在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足π＜(1＋ω)≤，解得5＜ω≤8，所以ω的取值范围为(5，8]．]
6．(2025·绵阳模拟)已知函数f (x)＝2cos cos (ω>0)在区间上单调递增，且在区间(0，2π]上恰好有一个零点，则ω的取值范围是( )
A． B．
C． D．
D [依题意，f (x)＝2cos sin ＝sin ωx，
由－≤ωx≤，得－≤x≤，
则函数f (x)的一个单调递增区间是，显然 ，
于是－≤－且，解得0<ω≤，
当x∈(0，2π]时，ωx∈(0，2πω]，由f (x)在区间(0，2π]上恰好有一个零点，
得π≤2πω＜2π，解得≤ω<1，所以ω的取值范围是．故选D．]
7．(2024·宿迁一模)已知定义在区间[0，π]上的函数f (x)＝2sin (ω>0)的值域为[－2，]，则ω的取值范围为________．
[由题意得，定义在区间[0，π]上的y＝sin (ω＞0)的值域为，
∵0≤x≤π，且ω＞0，∴≤ωx＋≤ωπ＋，
则≤ωπ＋，解得≤ω≤．]
8．(2024·西宁一模)若函数f (x)＝2sin (ω>0)在区间[0，π]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是________．
[由于0≤x≤π，故≤ωx＋≤πω＋，
由于函数f (x)在[0，π]上有且仅有三个零点，
故3π≤ωπ＋<4π，整理得≤ω<，
故ω的取值范围是．]
9．(2024·大连期末)已知函数f (x)＝2sin (ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为________．
[因为x∈，
所以ωx＋∈．
因为f (x)在上单调递增，
所以 ，k∈Z，
则，即，即，
所以ω≤．又因为ω>0，所以ω的最大值为．]
1/1 三角函数中ω的值(范围)问题
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近年高考的热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是复习中的难点．下面整理了ω的几种求法，以供参考．
题型一 利用三角函数的对称性与ω的关系
[典例1] 已知函数f (x)＝sin (ω>0)的图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[阅读与思考] 法一：令ωx＋＝，解得x＝，x＝，x＝分别为y＝f (x)的图象在y轴右侧由左向右最近的三条对称轴．
要满足图象在(0，π)上有且仅有两条对称轴，
只需解得<ω≤．故选C．
法二(整体法)：因为00，所以<ωx＋<πω＋，将ωx＋看成一个整体．由y＝sin x的图象分析可知，
<ωπ＋ <ω≤．
反思领悟 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值．
题型二 利用三角函数的单调性与ω的关系
[典例2] 若函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
[阅读与思考] 法一：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得≤x≤(k∈Z)，
因为函数f (x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，
所以k∈Z，
解得6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以k≥0，又6k＋≤4k＋3，得0≤k≤，又k∈Z，所以k＝0．
即≤ω≤3．
法二：∵≤x≤，ω>0，
∴≤ωx≤，
又∵f (x)在上单调递减，
∴(k∈Z) 6k＋≤ω≤4k＋3(k∈Z)．
又∴0<ω≤6，∴k＝0，
即≤ω≤3．
反思领悟 已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)在给定区间上的单调性，求ω的取值范围：
①根据题意可知区间[x1，x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，即x2－x1≤T，求得0<ω≤；②以单调递增为例，利用[ωx1＋φ，ωx2＋φ] (k∈Z)，解得ω的范围；③结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω(不含参数)的取值范围．
题型三 利用三角函数的最值与ω的关系
[典例3] (2024·北京卷)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值为，则ω＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[尝试解答]
反思领悟 三角函数的极值点、最值点和其图象的对称性说法是等价的．本例中x＝x1和x＝x2是f (x)＝sin ωx的两条对称轴，|x1－x2|min是说x＝x1和x＝x2是相邻的两条对称轴，故|x1－x2|min＝．
题型四 利用三角函数的零点与ω的关系
[典例4] (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．
[阅读与思考] 法一：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，因为ω＞0，x∈[0，2π]，所以ωx∈[0，2ωπ]，则由余弦函数的图象可知4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：函数f (x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，所以若cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，则函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，但小于3个周期，即又ω＞0，所以2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
反思领悟 本例解答关键是厘清区间长度和周期的关系．
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