三角形中的最值(范围)问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系．
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
[典例1] (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
[解] 因为＝＝＝，
即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
而0
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
[阅读与思考] 由(1)知，sin B＝－cos C>0，
所以而sin B＝－cos C＝sin ，→(找角B，C的正弦关系)
所以C＝＋B，即有A＝－2B．→(用角B表示角C，A)
所以＝→(正弦定理化边为角正弦)
＝→(将角C，A代入化角)
＝
＝4cos2B＋－5≥4－5．→(基本不等式求最值)
当且仅当cos2B＝时取等号，
所以的最小值为4－5．
反思领悟 解三角形时，如果式子中既有倍角又有单角，要考虑用倍角公式；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
题型二 利用三角函数求最值(范围)
[典例2] (2025·重庆市模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2(c－a cosB)＝b．
(1)求角A；[切入点：正弦定理、化边为角]
[解] 由2(c－a cos B)＝b及正弦定理，得2(sin C－sin A cos B)＝sin B，
所以2sin (A＋B)－2sin A cos B＝sin B，
即2cos A sin B＝sin B，因为sin B≠0，
所以cos A＝，又0(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．[关键点：将边的问题，转化为角的问题]
[阅读与思考] 因为a＝2，A＝，所以由正弦定理，得b＝4sin B，c＝4sin C，→(正弦定理，化边为角)
所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝4sin B sin C，→(利用第(1)步结论)
因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin ，→(由A，B，C的关系求sin C)
所以S△ABC＝4sin B sin ＝4sin B＝2sin B cos B＋2sin2B＝sin2B－cos 2B＋＝2sin ．→(利用两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式化为“一角一函数”)
因为0所以－所以0反思领悟 本例求△ABC面积的取值范围，关键是利用正弦定理将面积问题转化为角B的正弦函数，利用三角函数的性质求面积的范围．此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形的内角和为π等．本例第(2)问应用了三角形的内角和为π．
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
[典例3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；[切入点：由A，B，C的关系，用A，B代换C]
[解] ∵cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0，
∴－cos (A＋B)＋cos A cos B－sin A cos B＝0，
即－cos A cos B＋sin A sin B＋cos A cos B－sin A cos B＝0，
∴sin A sin B－sin A cos B＝0．
∵sin A≠0，
∴tan B＝，
∴B＝．
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．[关键点：利用(1)的结论，转化为关于a(或c)的二次函数]
[阅读与思考] 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B，
∴b2＝a2＋c2－ac，→(利用余弦定理及(1)的结论用a，c表示b)
又a＋c＝1，∴c＝1－a，且a∈(0，1)，→(切勿忽略a，c是三角形的边大于0这一隐含条件)
故b2＝a2＋(1－a)2－a(1－a)
＝3a2－3a＋1
＝3＋，
∵0又b>0，∴≤b<1，
故b的取值范围是．
反思领悟 用换元法解题时，易忽略隐含条件对换元前后“元”的限制．如本例中，a的取值范围不是(0，＋∞)，还要受到c>0的限制，而是(0，1)．
进阶训练(六) 三角形中的最值(范围)问题
1．(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2b sin A－a＝0．
(1)求角B的大小；
(2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围．
[解] (1)由正弦定理及题意得2sin B sin A＝sin A，
因为sin A≠0，0(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A，
由△ABC是锐角三角形，得A∈．
由cos C＝cos ＝－cos A＋sin A，得cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋＝∈．
故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是．
2．(2024·安徽联考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A．
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
[解] (1)由题设a sin ＝b sin A及正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A．
因为sin A≠0，
所以sin ＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos ．
因为cos ≠0，
所以sin ＝，
因为0°所以B＝60°．
(2)由题设及(1)知S△ABC＝ac sin B＝a．
由正弦定理得a＝＝＝．
由△ABC为锐角三角形，
故0°由(1)知A＋C＝120°，所以30°故tan C>从而因此△ABC面积的取值范围是．
3．(2025·佛山顺德区模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝1，cos A＝．
(1)求角B的大小；
(2)如图，D为△ABC外一点，AB＝BD，∠ABC＝∠ABD，求的最大值．
[解] (1)因为a＝1，cos A＝．
所以2b cos A＝2c－1＝2c－a，
由正弦定理可得2sin B cos A＝2sin C－sin A，
在△ABC中，sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
则有2sin A cos B＝sin A，
又sin A≠0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，
故B＝．
(2)在△BCD中，由＝，
得sin ∠CDB＝，
在△ABC中，由＝，
得sin ∠CAB＝，
所以＝，
设AB＝BD＝t(t>0)，
由余弦定理CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠CBD，
AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos ∠CBA，
得CD2＝t2＋1＋t，AC2＝t2＋1－t，
则＝＝1＋＝1＋≤1＋＝3(当且仅当t＝1时等号成立)，
所以的最大值为，此时AB＝BD＝1．
1/1 三角形中的最值(范围)问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键是建立角与边的数量关系．
题型一 利用基本不等式求最值(范围)
[典例1] (2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；[切入点：二倍角公式化简]
[尝试解答]
(2)求的最小值．[关键点：找到角B与角C，A的关系]
[阅读与思考] 由(1)知，sin B＝－cos C>0，
所以而sin B＝－cos C＝sin ，→(找角B，C的正弦关系)
所以C＝＋B，即有A＝－2B．→(用角B表示角C，A)
所以＝→(正弦定理化边为角正弦)
＝→(将角C，A代入化角)
＝
＝4cos2B＋－5≥4－5．→(基本不等式求最值)
当且仅当cos2B＝时取等号，
所以的最小值为4－5．
反思领悟 解三角形时，如果式子中既有倍角又有单角，要考虑用倍角公式；如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
题型二 利用三角函数求最值(范围)
[典例2] (2025·重庆市模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2(c－a cosB)＝b．
(1)求角A；[切入点：正弦定理、化边为角]
[尝试解答]
(2)若a＝2，求△ABC面积的取值范围．[关键点：将边的问题，转化为角的问题]
[阅读与思考] 因为a＝2，A＝，所以由正弦定理，得b＝4sin B，c＝4sin C，→(正弦定理，化边为角)
所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝4sin B sin C，→(利用第(1)步结论)
因为C＝π－(A＋B)＝－B，所以sin C＝sin ，→(由A，B，C的关系求sin C)
所以S△ABC＝4sin B sin ＝4sin B＝2sin B cos B＋2sin2B＝sin2B－cos 2B＋＝2sin ．→(利用两角和与差公式、倍角公式、辅助角公式化为“一角一函数”)
因为0所以－所以0反思领悟 本例求△ABC面积的取值范围，关键是利用正弦定理将面积问题转化为角B的正弦函数，利用三角函数的性质求面积的范围．此时要特别注意题目中隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形的内角和为π等．本例第(2)问应用了三角形的内角和为π．
题型三 转化为其他函数求最值(范围)
[典例3] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；[切入点：由A，B，C的关系，用A，B代换C]
[尝试解答]
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．[关键点：利用(1)的结论，转化为关于a(或c)的二次函数]
[阅读与思考] 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B，
∴b2＝a2＋c2－ac，→(利用余弦定理及(1)的结论用a，c表示b)
又a＋c＝1，∴c＝1－a，且a∈(0，1)，→(切勿忽略a，c是三角形的边大于0这一隐含条件)
故b2＝a2＋(1－a)2－a(1－a)
＝3a2－3a＋1
＝3＋，
∵0又b>0，∴≤b<1，
故b的取值范围是．
反思领悟 用换元法解题时，易忽略隐含条件对换元前后“元”的限制．如本例中，a的取值范围不是(0，＋∞)，还要受到c>0的限制，而是(0，1)．
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