三角函数与解三角形
[典例] (13分)(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①sin A＋cos A＝2(a sin θ＋b cos θ形式)联想辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝sin (θ＋φ)． [解] (1)由sin A＋cos A＝2， 得sin A＋cos A＝1，…………(1分) 所以sin ＝1．…………(3分) 辅助角公式的本质是两角和差公式逆用． [思考：此处能否结合平方关系求角A？]
②由sin ＝1求三角形内角A． 角A范围是什么？ ∵0
③由b sin C＝c sin 2B，含有角C及2B，联想二倍角公式，倍角化单角：sin 2B＝2sin B cos B． (2)由b sin C＝c sin 2B， 得b sin C＝2c sin B cos B，………(8分) 统一为单角．
④由b sin C＝2c sin B cos B，式子中含边与角，故边角互化：a＝2R sin A；b＝2R sin B；c＝2R sin C．(R为三角形外接圆半径) 由正弦定理得sin B sin C ＝2sin C sin B cos B， ∵sin B·sin C≠0， ∴cos B＝． ∵0⑤由A，B的值，可得C． 由正弦定理＝＝， 得b＝＝＝2，………(12分)
⑥由A＝，C＝，B＝，结合a＝2，由正弦定理可求b，c． c＝＝＝， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3．…………(13分) 正弦定理解决的两类基本问题： ①两角及一边； ②两边及一边对角．
1/1三角函数与解三角形
[典例] (13分)(2024·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2．
(1)求A；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①sin A＋cos A＝2(a sin θ＋b cos θ形式)联想辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝sin (θ＋φ)． [解] (1)由sin A＋cos A＝2， 得sin A＋cos A＝1，…………(1分) 所以sin ＝1．…………(3分) 辅助角公式的本质是两角和差公式逆用． [思考：此处能否结合平方关系求角A？]
②由sin ＝1求三角形内角A． 角A范围是什么？ ∵0③由b sin C＝c sin 2B，含有角C及2B，联想二倍角公式，倍角化单角：sin 2B＝2sin B cos B． (2)由b sin C＝c sin 2B， 得b sin C＝2c sin B cos B，………(8分) 统一为单角．
④由b sin C＝2c sin B cos B，式子中含边与角，故边角互化：a＝2R sin A；b＝2R sin B；c＝2R sin C．(R为三角形外接圆半径) 由正弦定理得sin B sin C ＝2sin C sin B cos B， ∵sin B·sin C≠0， ∴cos B＝． ∵0⑤由A，B的值，可得C． 由正弦定理＝＝， 得b＝＝＝2，………(12分)
⑥由A＝，C＝，B＝，结合a＝2，由正弦定理可求b，c． c＝＝＝， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3．…………(13分) 正弦定理解决的两类基本问题： ①两角及一边； ②两边及一边对角．
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