第3课时 平面向量的数量积及其应用
[考试要求] 1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
考点一 平面向量的数量积的运算
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是__________．
当θ＝时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且____；
当θ＝__时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量______________________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝__．
[常用结论]
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
[典例1] (1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则＝( )
A． B．3
C．2 D．5
(3)(2024·辽阳期中)中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图(扇形AOB截去扇形COD剩余的部分)，已知OA＝7，OC＝3，∠AOB＝120°，则＝( )
A．－8 B．－8
C．8 D．8
[听课记录]
反思领悟 数量积a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
巩固迁移1 (1)(2024·乌兰浩特市期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝3，则的值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
(2)(2024·曲靖期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，b＝2，c＝1，则＝( )
A．－ B．
C．－1 D．1
考点二 投影向量
平面向量的数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b____，叫做向量a在向量b上的________，记为____________________．
提醒：(1)设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝．
(2)|a|cos θ是a在b方向上的投影的数量，所以a·b＝|b||a|cos θ是|b|与a在b方向上的投影的数量的乘积．
[典例2] (1)(2024·泉州检测)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a＋b在a方向上的投影向量为( )
A．a B．b
C．2a D．2b
(2)(2024·榆林期末)已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，a＋b在a方向上的投影向量为，它是一个向量，且与a共线；本例(2)中，是||与在方向上的投影的数量||cos ∠FAE的乘积，由图易知在上的投影的数量为||＝2，大大减少了运算量．
巩固迁移2 已知|a|＝2，|b|＝10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a上的投影向量为________．
考点三 平面向量的数量积的应用
1．向量的数量积的运算律
(1)a·b＝______．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝____________．
(3)(a＋b)·c＝______________．
2．平面向量的数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝__________________．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)两非零向量a⊥b a·b＝0 ______________________．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)(当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立)．
[常用结论] 有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0．
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不反向；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π．
向量的模
[典例3] (2025·江苏无锡模拟)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，)，x∈R，则|b＋xa|的最小值是( )
A．1 B．0
C．2 D．4
[听课记录]
反思领悟 求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝＝．
巩固迁移3 (2024·辽宁期末)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，0)，则|a－2b|＝( )
A．3 B．2
C． D．3
平面向量的夹角
[典例4] (2024·双鸭山期末)已知a＝(1，x)，b＝(2，－4)，若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝；(2)坐标法．
巩固迁移4 (人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(4)改编)已知向量a，b满足|a|＝|b|，且a，b的夹角为，则b与a－b的夹角为( )
A． B．
C． D．
向量的垂直
[典例5] (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
[听课记录]
反思领悟 两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
巩固迁移5 (1)(2024·绵阳期末)已知平面向量a＝(x－1，4)，b＝(2，x＋3)，若a⊥b，则x＝( )
A．－2 B．－
C． D．5
(2)(2024·琼海月考)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，－2)，c＝(3，－1)，若a与λb－c垂直，则实数λ的值为( )
A． B．－
C．－ D．
1．(2024·玉溪期末)已知平面向量a＝(0，1)，b＝(－2，4)，则a·b＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．4－2
2．(2024·温州一模)已知向量a＝(0，4)，b＝(－3，－3)，则a在b上的投影向量的坐标是( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(0，－3) D．(0，3)
3．(2025·重庆市沙坪坝区模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝( )
A．2 B．3
C．2 D．
4．(2024·重庆市松江区期末)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(2，－1)，则|a|2－|b|2＝________．
1/1第3课时 平面向量的数量积及其应用
[考试要求] 1．理解平面向量的数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量的数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
考点一 平面向量的数量积的运算
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．
当θ＝时，a与b相互垂直，记作a⊥b；
当θ＝0时，a与b共线且同向；
当θ＝π时，a与b共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ．
规定：0·a＝0．
[常用结论]
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
[典例1] (1)(2025·八省联考)已知向量a＝(0，1)，b＝(1，0)，则a·(a－b)＝( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
(2)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则＝( )
A． B．3
C．2 D．5
(3)(2024·辽阳期中)中国古代的花窗花板，既雕工精美，又具有丰富的文化内涵．如图，这是某花窗的平面图(扇形AOB截去扇形COD剩余的部分)，已知OA＝7，OC＝3，∠AOB＝120°，则＝( )
A．－8 B．－8
C．8 D．8
(1)B (2)B (3)B [(1)由题意知，a－b＝(－1，1)，所以a·(a－b)＝(0，1)·(－1，1)＝1．故选B．
(2)法一：由题意知，＝＝＝＝－，所以＝＝||2－||2，由题意知||＝||＝2，所以＝4－1＝3，故选B．
法二：以点A为坐标原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则 E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，则＝(1，2)，＝(－1，2)，
所以＝－1＋4＝3，故选B．
(3)根据题意，可得〈〉＝∠AOB＝120°，
因为OA＝7，OC＝3，所以||＝7－3＝4，同理||＝4，
因此，＝||·||cos 120°＝4×4×＝－8．故选B．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)△ABC中，D为AB中点，＝＝a，＝b，则＝________(用a，b表示)；若||＝5，AE⊥CB，则＝________．
a＋b －15 [＝＝＝)＝＝a＋b.
法一：∵||＝5，∴25＝，即900＝a2＋16b2＋8a·b ①，易得＝b－a，∵AE⊥CB，∴＝0，即·(b－a)＝0，得4b2－a2－3a·b＝0 ②，由①②得2 700＝80b2－5a2，∴16b2－a2＝540，∴＝＝(a2－8b2＋2a·b)＝＝(a2－16b2)＝×(－540)＝－15.
法二：如图，延长AE交BC于点O，则AO⊥BC，以OC，OA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设E(0，h)，B(n，0)，C(m，0)，则A(0，h＋5)，D，∴＝＝(－m，h)，∵＝3，∴－m＝－3m，＝3h，即n＝－4m，h＝1，
∴＝(－3m，3)，又＝(0，1)－(0，6)＝(0，－5)，∴＝－15.
法三：＝＝a－b，＝＝＝a－b，从而＝＝a＋b＝(a＋4b)＝[6(a－b)－5(a－2b)]＝，则＝)，故＝·()＝－||2＝－15.]
反思领悟 数量积a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2(其中两向量夹角为θ，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．解题时一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．
巩固迁移1 (1)(2024·乌兰浩特市期末)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若＝3，则的值为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
(2)(2024·曲靖期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝，b＝2，c＝1，则＝( )
A．－ B．
C．－1 D．1
(1)C (2)C [(1)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，
以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
所以A(0，0)，B(2，0)，E(2，2)，设F (m，4)(0≤m≤2)，
所以＝(m，4)，＝(2，0)，
所以＝2m＝3，解得m＝，
所以＝(2，2)·＝11．
故选C．
(2)由题意，A＝，b＝2，c＝1，
则＝||·||cos (π－A)＝－bc cos A＝－2×1×＝－1．
故选C．]
考点二 投影向量
平面向量的数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量，记为|a|cos θ e．
提醒：(1)设a，b是非零向量，它们的夹角为θ，则a在b上的投影向量为|a|cos θ＝．
(2)|a|cos θ是a在b方向上的投影的数量，所以a·b＝|b||a|cos θ是|b|与a在b方向上的投影的数量的乘积．
[典例2] (1)(2024·泉州检测)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a＋b在a方向上的投影向量为( )
A．a B．b
C．2a D．2b
(2)(2024·榆林期末)已知边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，则＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(1)A (2)B [(1)由已知条件得|a＋b|2＝|a－b|2，
即a·b＝0．
又a＋b在a方向上的投影向量为·(|a＋b|·cos 〈a＋b，a〉)＝＝＝a．故选A．
(2)因为在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，BC的中点，
所以||＝||＝1，且在方向上的投影的数量为2，所以＝1×2＝2．
故选B．]
反思领悟 本例(1)中，a＋b在a方向上的投影向量为，它是一个向量，且与a共线；本例(2)中，是||与在方向上的投影的数量||cos ∠FAE的乘积，由图易知在上的投影的数量为||＝2，大大减少了运算量．
巩固迁移2 已知|a|＝2，|b|＝10，a与b的夹角为120°，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－a [向量b在向量a上的投影向量为|b|·cos 120°·＝10×a＝－a．]
【教用·备选题】
(2025·豫南名校模拟)如图，这是用来构造无理数，…的图形，已知P是平面四边形ABCD内(包含边界)一点，则的取值范围是( )
A． B．[－1，]
C． D．
D [如图，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．因为DE⊥BC，DC＝1，∠DCE＝45°，
所以CE＝．
由图可知，当P在线段AB上时，||·cos ∠PCB有最大值1，当P在点D处时，||·cos ∠PCB有最小值－，又||＝1，所以的取值范围是．
故选D．]
考点三 平面向量的数量积的应用
1．向量的数量积的运算律
(1)a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
2．平面向量的数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2．
(2)模：|a|＝＝．
(3)夹角：cos θ＝＝．
(4)两非零向量a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0．
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)(当且仅当x1y2＝x2y1时等号成立)．
[常用结论] 有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0且a与b不同向；
若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0．
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0且a与b不反向；
若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π．
向量的模
[典例3] (2025·江苏无锡模拟)已知向量a＝(0，－1)，b＝(1，)，x∈R，则|b＋xa|的最小值是( )
A．1 B．0
C．2 D．4
A [因为b＋xa＝(1，)＋x(0，－1)＝(1，－x)，
所以|b＋xa|＝，
因为x∈R，所以|b＋xa|＝≥1，当且仅当x＝时，等号成立．
故选A．]
反思领悟 求向量模的常用方法是利用公式|a|2＝a2，即|a|＝＝．
巩固迁移3 (2024·辽宁期末)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，0)，则|a－2b|＝( )
A．3 B．2
C． D．3
A [因为a＝(－1，3)，b＝(1，0)，则a－2b＝(－3，3)，
故|a－2b|＝＝3．
故选A．]
平面向量的夹角
[典例4] (2024·双鸭山期末)已知a＝(1，x)，b＝(2，－4)，若a与b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为( )
A． B．
C． D．
C [∵a＝(1，x)，b＝(2，－4)，a与b的夹角为锐角，
∴a·b＝2－4x>0，且x≠－2，
解得x＜，且x≠－2，
∴实数x的取值范围为．
故选C．]
反思领悟 求平面向量的夹角的方法
(1)定义法：cos θ＝；(2)坐标法．
巩固迁移4 (人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(4)改编)已知向量a，b满足|a|＝|b|，且a，b的夹角为，则b与a－b的夹角为( )
A． B．
C． D．
D [∵|a|＝|b|，〈a，b〉＝，
∴a·b＝|a||b|＝b2，b·(a－b)＝a·b－b2＝－b2，
|a－b|＝＝＝
＝|b|，
∴cos 〈b，a－b〉＝＝＝－，且〈b，a－b〉∈[0，π]，
∴b与a－b的夹角为．故选D．]
向量的垂直
[典例5] (2023·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则( )
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1
C．λμ＝1 D．λμ＝－1
D [因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，因为(a＋λb)⊥(a＋μb)，所以(a＋λb)·(a＋μb)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1．
故选D．]
链接·2025高考试题
(2025·全国二卷)已知平面向量a＝(x，1)，b＝(x－1，2x)，若a⊥(a－b)，则|a|＝________．
[a－b＝(1，1－2x)，根据a⊥(a－b)，得a·(a－b)＝x＋1－2x＝1－x＝0，所以x＝1，所以|a|＝.]
反思领悟 两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
巩固迁移5 (1)(2024·绵阳期末)已知平面向量a＝(x－1，4)，b＝(2，x＋3)，若a⊥b，则x＝( )
A．－2 B．－
C． D．5
(2)(2024·琼海月考)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，－2)，c＝(3，－1)，若a与λb－c垂直，则实数λ的值为( )
A． B．－
C．－ D．
(1)B (2)D [(1)因为a＝(x－1，4)，b＝(2，x＋3)，a⊥b，
所以a·b＝2(x－1)＋4(x＋3)＝0，解得x＝－．故选B．
(2)因为b＝(1，－2)，c＝(3，－1)，所以λb－c＝(λ－3，－2λ＋1)，
因为a与λb－c垂直，所以a·(λb－c)＝－λ＋3－6λ＋3＝0，解得λ＝．故选D．]
1．(2024·玉溪期末)已知平面向量a＝(0，1)，b＝(－2，4)，则a·b＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．4－2
B [∵a＝(0，1)，b＝(－2，4)，
∴a·b＝0×(－2)＋1×4＝4．
故选B．]
2．(2024·温州一模)已知向量a＝(0，4)，b＝(－3，－3)，则a在b上的投影向量的坐标是( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(0，－3) D．(0，3)
B [a在b上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·＝＝b＝－b＝(2，2)．故选B．]
3．(2025·重庆市沙坪坝区模拟)已知向量a＝(3，1)，b＝(－2，x)，若a⊥(a＋b)，则|b|＝( )
A．2 B．3
C．2 D．
C [因为a＝(3，1)，b＝(－2，x)，则a＋b＝(1，1＋x)，
又因为a⊥(a＋b)，则a·(a＋b)＝3＋1＋x＝0，解得x＝－4，
故|b|＝＝2．故选C．]
4．(2024·重庆市松江区期末)已知向量a，b满足a＋b＝(2，3)，a－b＝(2，－1)，则|a|2－|b|2＝________．
1 [因为a＋b＝(2，3)，a－b＝(2，－1)，
所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝2×2＋3×(－1)＝1，
即|a|2－|b|2＝1．]
【教用·备选题】
1．(2025·西藏模拟)已知平面向量a＝(1，)，b＝(，1)，且a⊥(b－λa)，则实数λ的值为( )
A． B．
C． D．
B [因为a＝(1，)，b＝(，1)，则a2＝1＋3＝4，a·b＝＝2，
又因为a⊥(b－λa)，则a·(b－λa)＝a·b－λa2＝2－4λ＝0，解得λ＝．故选B．]
2．(2024·儋州期末)平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则|a－2b|＝( )
A． B．13
C． D．21
A [因为|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝0，即a2－a·b＝0，
解得a·b＝a2＝1，所以(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×1＋4×4＝13，
所以|a－2b|＝．
故选A．]
3．(2024·大理州期末)已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(1，2)，|a－b|＝，则向量a在向量b方向上的投影向量为( )
A． B．
C． D．
B [根据题意，因为b＝(1，2)，所以|b|＝＝，
又|a－b|＝，所以(a－b)2＝7，即a2－2a·b＋b2＝7，
即12－2a·b＋()2＝7，所以a·b＝－，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为＝－b＝．
故选B．]
4．(2024·临沂期末)已知两个单位向量e1与e2的夹角为，设a＝2e1＋e2，b＝te1－3e2．
(1)求|a＋b|的最小值；
(2)若a与b的夹角为钝角，求t的取值范围．
[解] (1)由a＝2e1＋e2，b＝te1－3e2，可得a＋b＝(2＋t)e1－2e2，
又e1与e2是单位向量，且夹角为，
则|a＋b|＝
＝＝，
故当t＝－1时，|a＋b|的最小值为．
(2)由a与b的夹角为钝角，可得a·b<0且a与b不共线，
则有解得t<且t≠－6，
故t的取值范围是(－∞，－6)．
课后习题(三十四) 平面向量的数量积及其应用
1．(湘教版必修第二册P39练习T1改编)已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a与b夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
A [|a|＝＝5，|b|＝＝13．
a·b＝3×5＋4×12＝63．
设a与b的夹角为θ，所以cos θ＝＝．]
2．(人教A版必修第二册P20练习T3改编)若a·b＝－6，|a|＝8，与a方向相同的单位向量为e，则向量b在向量a上的投影向量为________．
－e [向量b在向量a上的投影向量为·e＝－e．]
3．(人教A版必修第二册P23习题6.2T11改编)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
2 [由题意得，a·b＝|a||b|cos 60°＝1，|a＋2b|＝＝＝2．]
4．(人教A版必修第二册P24习题6.2T24改编)如图，在⊙C中，弦AB的长度为4，则＝________．
8 [取AB的中点M，连接CM(图略)，则CM⊥AB，＝，
所以＝||||·cos∠BAC＝||·||＝||2＝8．]
5．(2024·辽源期末)已知向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，则|b|＝( )
A．2 B．4
C．4 D．8
C [根据题意，向量a＝(－1，2)，b＝(x，4)，且a⊥b，
则有a·b＝－x＋8＝0，则x＝8，故|b|＝＝4，故选C．]
6．(2025·河北邯郸模拟)已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为( )
A．b B．－2b
C．－b D．－b
B [因为a，b是两个互相垂直的单位向量，
所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，
所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，
所以向量a－2b在向量b上的投影向量为
＝－2b．
故选B．]
7．(2025·济宁模拟)如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝30°，AD是边BC上的高，则＝( )
A．0 B．4
C．8 D．－4
B [由题图中的垂直关系，可得在上的投影数量为||，所以＝||2，只需求出△ABC的高即可．由已知可得AD＝AB·sin B＝2，所以＝||2＝4．
故选B．]
8．(多选)(2024·遂宁月考)已知a＝(t，－2)，b＝(－4，t)，则( )
A．若a∥b，则t＝±2
B．若a⊥b，则t＝0
C．|a－b|的最小值为
D．若向量a与向量b的夹角为钝角，则t的取值范围为(0，＋∞)
ABC [对于A，若a∥b，则t2－8＝0，
解得t＝±2，故A正确；
对于B，若a⊥b，则a·b＝－4t－2t＝0，解得t＝0，故B正确；
对于C，a－b＝(t＋4，－2－t)，
则|a－b|＝
＝＝，
当t＝－3时，|a－b|min＝，故C正确；
对于D，因为向量a与向量b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不共线，
由a·b＝－4t－2t<0，得t>0，由a∥b得t＝±2，
所以t的取值范围为(0，2)∪(2，＋∞)，故D错误．
故选ABC．]
9．(2025·济南模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1，0)的夹角是钝角，则b等于( )
A．(－3，－4) B．(4，3)
C．(－4，3) D．(－4，－3)
D [设b＝(x，y)，
∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①
∵b与向量(1，0)的夹角为钝角，∴x<0，②
又|b|＝＝5，③
由①②③解得
∴b＝(－4，－3)．]
10．(2024·北京西城区期末)在△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，则＝________，||＝________．
12 4 [△ABC中，A＝60°，AC＝6，AB＝4，
则＝||||cos 〈〉＝6×4×cos 60°＝12，
因为＝＝－2，
所以()2＝(－2)2＝－4＋4＝16－4×12＋4×36＝112，
所以||＝＝4．]
11．(2024·成都期末)已知非零向量a，b满足a⊥b，且a＋2b与a的夹角为，则＝________．
[根据题意，设|a|＝m，|b|＝n，
若a⊥b，则|a＋2b|＝＝，
又由a＋2b与a的夹角为，则cos 〈a＋2b，a〉＝＝
＝＝，变形可得：m＝2n，则＝＝．]
12．(2024·琼海月考)已知向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)．
(1)求|a＋2b|；
(2)已知|c|＝2，且(2a＋c)⊥c，求向量a与向量c的夹角．
[解] (1)由向量a＝(1，1)，b＝(3，－4)，得a＋2b＝(1，1)＋2(3，－4)＝(7，－7)，
所以|a＋2b|＝＝7．
(2)由|c|＝2，(2a＋c)⊥c，
得(2a＋c)·c＝2a·c＋c2＝2a·c＋4＝0，
解得a·c＝－2，
由a＝(1，1)，得|a|＝，所以cos 〈a，c〉＝＝＝－，
又〈a，c〉∈[0，π]，所以〈a，c〉＝，
所以向量a与向量c的夹角为．
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