第5课时 数列求和(二)
[考试要求] 掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法．
考点一 错位相减法求和
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
[典例1] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
[解] (1)由题意，2Sn＝nan，①
当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1，②
由①－②得，2an＝nan－(n－1)an－1，
∴(n－1)an－1＝(n－2)an．
当n≥3时，＝，
∴是从第2项开始的常数列，
∴＝＝1，∴an＝n－1(n≥2)．
当n＝1时，2a1＝a1，a1＝0满足上式，
∴an＝n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得＝n·，
则Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋n·，③
Tn＝1×＋2×＋…＋(n－1)·＋n·，④
③－④，得Tn＝－n·，
∴Tn＝2－．
反思领悟 1．本例(2)中，通项公式＝n·，其中an＝n为等差数列，bn＝为等比数列，且公比q＝≠1，可利用错位相减法求和，其步骤如下：(1)将数列求和式的每一项同时乘以{bn}的公比；(2)将的次数相同的项相减；(3)将所得的结果进行整理．
2．错位相减法求和时，应注意：(1)对q是否为1进行讨论；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn或qSn－Sn”的表达式．
巩固迁移1 (2024·杭州二中月考)已知公比q＞1的等比数列{an}和等差数列{bn}，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b4，且a2是b2和b8的等比中项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．
[解] (1)设等差数列{bn}的公差为d，由题意得＝b2b8，
即(1＋3d)2＝(1＋d)(1＋7d)，且a2＝b4＝a1q，
解得或(舍去)，所以an＝2n，bn＝n．
(2)由(1)知，anbn＝n·2n，则
Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n+1，②
②－①得，
Tn＝－21－22－23－…－2n＋n×2n+1＝－＋n×2n+1＝2＋(n－1)×2n+1．
考点二 裂项相消法求和
1．裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2．常见的裂项技巧：(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝．
[典例2] (1)(2025·乐山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，则T2 024＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·湛江模拟)定义“等方差数列”：如果一个数列从第2项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5＝3，则数列的前24项和为( )
A． B．3
C．3 D．6
(1)D (2)D [(1)因为Sn＝n2，①
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2，②
所以①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝1，满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，
则＝＝，
所以T2 024＝
＝＝．
故选D．
(2)依题意＝2，即}是公差为2的等差数列，而a5＝3，
于是＝＋2(n－5)＝2n－1，即an＝，
则＝
＝
＝，
所以数列的前24项和为(－1)＋()＋()＋…＋()＝7－1＝6．故选D．]
反思领悟 1．本例(1)，利用an与Sn之间的关系，求出an＝2n－1，从而有＝，再利用累加法即可得结果；本例(2)中＝＝，实质是分母有理化．
2．易错警示：在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，有时前面剩下两项，后面也剩下两项；(3)裂项过程中易忽视常数；(4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
巩固迁移2 (1)(2025·广州模拟)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1．若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·长沙联考)已知函数f (x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 024＝( )
A．－1 B．＋1
C．－1 D．＋1
(1)B (2)C [(1)bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝
＝＝．故选B．
(2)由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝，
则f (x)＝．
所以an＝＝＝，
S2 024＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 024＝()＋()＋()＋…＋()＋()＝－1．故选C． ]
1．(2024·赤峰一模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设从上往下各层的球数构成数列{an}，则＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
B [由题意知a1＝1，a2＝1＋2＝3，a3＝1＋2＋3＝6，…，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
故＝＝2，所以＋…＋＝2＝2＝，
故＋…＋＝．故选B．]
2．(2025·华州模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，a2·a4＝8，S5＝15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2n-1，求数列{an·bn}的前n项和Tn．
[解] (1)设等差数列的首项为a1，公差为d，由于a2·a4＝8，S5＝15，
故解得
故an＝1＋(n－1)×1＝n．
(2)由(1)得cn＝an·bn＝n·2n-1，
所以Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n-1，①
2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，②
①－②，得－Tn＝1＋21＋22＋…＋2n-1－n·2n＝－n·2n，
整理得Tn＝2n(n－1)＋1．
【教用·备选题】
1．(2024·上饶市广丰区期末)已知公差大于0的等差数列{an}和公比大于0的等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2b3＝1，a6b5＝1．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{anbn}的前n项和为Sn，求证：1≤Sn＜8．
[解] (1)设数列{an}的公差为d(d＞0)，数列{bn}的公比为q(q＞0)，
由a1＝b1＝1，a2b3＝1，a6b5＝1，
则
由①式的平方除以②式，得＝1 d2－3d＝0，解得d＝3或d＝0(舍去)，
故d＝3，q＝，∴an＝3n－2，bn＝．
(2)证明：∵anbn＝(3n－2)，
∴Sn＝1×＋4×＋…＋(3n－2)×，
Sn＝1×＋4×＋…＋(3n－2)×，
两式相减可得Sn＝1＋3＝1＋3×＝4－，∴Sn＝8－．
∵anbn>0，∴{Sn}为递增数列，
又∵S1＝1，>0，
∴1≤Sn＜8．
2．(2025·山东滕州模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足b1＝6，b1＋＋…＋＝an＋1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Sn．
[解] (1)由题意得，当n＝1时，a2＝b1＝6，
故an＝6＋2(n－2)＝2n＋2，
由于b1＋＋…＋＝an＋1，①
当n≥2时，b1＋＋…＋＝an，②
①－②得＝an＋1－an＝2，
所以bn＝2n．又因为b1＝6不满足上式，
所以bn＝
(2)当n＝1时，S1＝＝＝．
当n≥2时，＝＝，
则Sn＝
＝
＝，
当n＝1时满足上式，故Sn＝．
课后习题(四十一) 数列求和(二)
1．(湘教版选择性必修第一册P43习题1.4T2改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5＝( )
A．1 B．
C． D．
B [∵an＝＝，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－＋…＋＝．故选B．]
2．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)1＋＋…＋n＝________．
[令Sn＝1＋＋…＋n·，①
Sn＝1×＋2×＋…＋n·，②
由①－②，得
Sn＝1＋＋…＋－n·
＝－n·
＝－n·，
∴Sn＝－n·
＝
＝．]
3．(人教A版选择性必修第二册P40习题4.3T3(2)改编)若i是虚数单位，则i＋2i2＋3i3＋…＋2 025i2 025＝________．
1 012＋1 013i [设S＝i＋2i2＋3i3＋…＋2 025i2 025，则iS＝i2＋2i3＋3i4＋…＋2 025i2 026，两式相减，得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i2 025－2 025i2 026＝－2 025i2 026＝＋2 025＝2 025＋i，故S＝＝＝1 012＋1 013i．]
4．(人教B版选择性必修第三册P58复习题A组T9改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a5＝18，S6＝48．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，由于a3＋a5＝18，S6＝48，
所以解得所以an＝2n＋1．
(2)由(1)得bn＝＝＝，
所以Tn＝＋…＋＝．
5．(2025·南昌模拟)如果数列{an}的通项公式为an＝，则数列的前100项和S100＝( )
A． B．
C． D．
C [因为an＝，所以＝＝，
所以S100＝＋…＋＝．故选C．]
6．(多选)(2024·山东泰安二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S7＝42，则下列说法正确的是( )
A．a5＝4
B．Sn＝n2＋n
C．为递减数列
D．的前5项和为
BC [在等差数列{an}中，S7＝＝7a4＝42，
解得a4＝6，而a2＝4，
因此公差d＝＝1，an＝a2＋(n－2)d＝n＋2，
对于A，a5＝7，A错误；
对于B，Sn＝＝n2＋n，B正确；
对于C，＝1＋为递减数列，C正确；
对于D，＝＝，
所以的前5项和为＋…＋＝＝，D错误．
故选BC．]
7．(2025·沈阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列的前10项和为( )
A．25×210＋12 B．25×21
C．25×211＋12 D．25×211＋10
D [依题意，a1＝1，an＋1＝，则an＞0，＝＝＋3，
所以数列是首项为＝1，公差为3的等差数列，
所以＝3n－2，所以＝(3n－2)·2n，
所以S10＝1×2＋4×22＋…＋28×210，
则2S10＝1×22＋4×23＋…＋28×211，
两式相减，得－S10＝2＋3×22＋3×23＋…＋3×210－28×211
＝2＋－28×211＝2＋3×22(29－1)－28×211＝－10－25×211，
所以S10＝25×211＋10．故选D．]
8．(2025·郴州模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)．若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________．
[在数列{an}中，由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，得＝1，
因此数列是以＝1为首项，1为公差的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n2，
于是bn＝＝＝，
所以Sn＝＋…＋＝1－＝．]
9．(2024·神木市开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝7，S4＝22，数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b1＝a1，b3＝a6．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)令cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：Tn<．
[解] (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q (q＞0)．
因为a3＝7，S4＝22，所以
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝3n－2．
所以b1＝a1＝1，b3＝a6＝16，由于数列{bn}是各项均为正数的等比数列，则q＝4，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn-1＝1×4n-1＝4n-1．
(2)证明：由(1)知cn＝＝，
所以Tn＝＋…＋，①
Tn＝＋…＋，②
①－②，得Tn＝1＋＋…＋
＝1＋3×＝2－＝2－，
所以Tn＝．
又因为>0，所以Tn<．
10．(2025·安徽模拟)已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，其前n项和为Tn，求证：对于任意的正整数n，总有Tn<．
[解] (1)当n≥2时，有2(Sn－Sn－1)＝3an－3an－1，故an＝3an－1(n≥2)，
故数列{an}为等比数列，且公比q＝3，
又∵当n＝1时，2a1＝3a1－3，解得a1＝3，
∴an＝3n．
(2)证明：由题意及(1)知bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝＜．
1/1第5课时 数列求和(二)
[考试要求] 掌握错位相减法求和、裂项相消法求和等几种常见的求和方法．
考点一 错位相减法求和
错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
[典例1] (2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan．
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和Tn．
[听课记录]
反思领悟 1．本例(2)中，通项公式＝n·，其中an＝n为等差数列，bn＝为等比数列，且公比q＝≠1，可利用错位相减法求和，其步骤如下：(1)将数列求和式的每一项同时乘以{bn}的公比；(2)将的次数相同的项相减；(3)将所得的结果进行整理．
2．错位相减法求和时，应注意：(1)对q是否为1进行讨论；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn或qSn－Sn”的表达式．
巩固迁移1 (2024·杭州二中月考)已知公比q＞1的等比数列{an}和等差数列{bn}，其中a1＝2，b1＝1，a2＝b4，且a2是b2和b8的等比中项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)求数列{anbn}的前n项和Tn．
考点二 裂项相消法求和
1．裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
2．常见的裂项技巧：(1)＝；
(2)＝；
(3)＝；
(4)＝．
[典例2] (1)(2025·乐山模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2，记数列的前n项和为Tn，则T2 024＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·湛江模拟)定义“等方差数列”：如果一个数列从第2项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差．设{an}是由正数组成的等方差数列，且方公差为2，a5＝3，则数列的前24项和为( )
A． B．3
C．3 D．6
[听课记录]
反思领悟 1．本例(1)，利用an与Sn之间的关系，求出an＝2n－1，从而有＝，再利用累加法即可得结果；本例(2)中＝＝，实质是分母有理化．
2．易错警示：在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，有时前面剩下两项，后面也剩下两项；(3)裂项过程中易忽视常数；(4)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．
巩固迁移2 (1)(2025·广州模拟)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n＋1．若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·长沙联考)已知函数f (x)＝xα的图象过点(4，2)，令an＝，n∈N*．记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 024＝( )
A．－1 B．＋1
C．－1 D．＋1
1．(2024·赤峰一模)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，……，设从上往下各层的球数构成数列{an}，则＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
2．(2025·华州模拟)已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn，a2·a4＝8，S5＝15．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2n-1，求数列{an·bn}的前n项和Tn．
[听课记录]
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