数列的综合应用
[典例] (12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由{an}为等差数列及3a2＝3a1＋a3可求出a1与d的关系，进而表示出an． [解] (1)由3a2＝3a1＋a3，得3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd．……………(1分) 将条件转化为基本量a1和d的方程．
②由bn＝表示出bn． 因为bn＝，所以bn＝＝，(2分) 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝．…………(3分) {bn}是等差数列吗？为什么？
③由S3＋T3＝21先表示出S3及T3，即可求出d，进而求得an． 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d＞1，所以d＝3．……(4分) 所以{an}的通项公式为an＝3n．…………………………(5分)
④由{bn}为等差数列及bn＝建立关于a1与d的方程． (2)因为{bn}为等差数列，且bn＝， 所以b1＋b3＝2b2， 即＝2×， 解得a1＝d或a1＝2d．………(6分) 因为S99－T99＝99，由等差数列的性质可得99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1．……………………(8分) 此类问题常用数列前三项建立方程求解． (1)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，利用等差数列的性质，可以简化运算过程． (2)S99，T99亦可直接利用求和公式代入、化简、求解．
⑤对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到关于d的方程，解方程得到d的值． ①当a1＝d时，a50＝50d， b50＝，所以50d－＝1，化简得50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)．…………………………(9分) ②当a1＝2d时，a50＝51d，b50＝， 所以51d－＝1，化简得51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．…………………………(11分) 综上所述，d＝．…………(12分) 注意d>1．
1/1数列的综合应用
[典例] (12分)(2023·新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1．令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d．
明条件，顺思路 规范答，抢得分 点关键，防陷阱
①由{an}为等差数列及3a2＝3a1＋a3可求出a1与d的关系，进而表示出an． [解] (1)由3a2＝3a1＋a3，得3(a2－a1)＝a1＋2d，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd．……………(1分) 将条件转化为基本量a1和d的方程．
②由bn＝表示出bn． 因为bn＝，所以bn＝＝，(2分) 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝．…………(3分) {bn}是等差数列吗？为什么？
③由S3＋T3＝21先表示出S3及T3，即可求出d，进而求得an． 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝， 因为d＞1，所以d＝3．……(4分) 所以{an}的通项公式为an＝3n．…………………………(5分)
④由{bn}为等差数列及bn＝建立关于a1与d的方程． (2)因为{bn}为等差数列，且bn＝， 所以b1＋b3＝2b2， 即＝2×， 解得a1＝d或a1＝2d．………(6分) 因为S99－T99＝99，由等差数列的性质可得99a50－99b50＝99，即a50－b50＝1．……………………(8分) 此类问题常用数列前三项建立方程求解． (1)若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，利用等差数列的性质，可以简化运算过程． (2)S99，T99亦可直接利用求和公式代入、化简、求解．
⑤对a1＝d或a1＝2d分类讨论，求bn，利用S99－T99＝99，得到关于d的方程，解方程得到d的值． ①当a1＝d时，a50＝50d， b50＝，所以50d－＝1，化简得50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去)．…………………………(9分) ②当a1＝2d时，a50＝51d，b50＝， 所以51d－＝1，化简得51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去)．…………………………(11分) 综上所述，d＝．…………(12分) 注意d>1．
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