第2课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求] 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
考点一 基本事实的应用
1．基本事实
基本 事实1 过______________的三个点，有且只有一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有____过该点的公共直线
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线____
2．三个推论
推论1：经过一条直线和__________一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条____直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条____直线，有且只有一个平面．
[典例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
[听课记录]
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[听课记录]
反思领悟 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：证明点为两平面的公共点，则这些点都在两平面的交线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
巩固迁移1 (1)(多选)(2025·荆州中学模拟)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )
A B
C D
(2)(2024·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
考点二 空间中点、线、面位置关系的判定
1．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们可能平行或相交．
2．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 __________ __个
平行 ______ __个
在平 面内 ______ ____个
平面与 平面 平行 ______ __个
相交 α∩β＝l ____个
3．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__________．
[常用结论]
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
[典例2] (1)(2024·常德一中月考)下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(3)(多选)(人教A版必修第二册P131练习T2改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
[听课记录]
反思领悟 本例(2)中，判断空间直线的位置关系用“模型法”，是通过构造长方体模型来判断的；本例(3)对异面直线的判定，用结论：过平面外一点A和平面内一点B的直线，与平面内不经过点B的直线是异面直线．
巩固迁移2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
(2)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则下列说法正确的是( )
A．在平面α内存在直线与直线AB异面
B．在平面α内存在直线与直线AB相交
C．存在过直线AB的平面与平面α垂直
D．在平面α内存在直线与直线AB平行
考点三 异面直线所成的角异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
[典例3] (1)(2025·林州市模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AC＝2AA1＝2AB＝4，则异面直线A1C与AB1所成角的正弦值为________．
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则CC1＝________．
[听课记录]
反思领悟 求异面直线所成角的三个步骤为：一作，二证，三求．以本例(1)为例，一作：连接A1B，交AB1于O，取BC中点为D，连接OD，二证：在△A1BC中，OD是中位线，所以OD∥A1C，根据异面直线所成角的定义可知∠B1OD(或其补角)即为异面直线A1C与AB1所成的角，三求：在△B1DO中，解三角形求角．
巩固迁移3 (2025·德阳模拟)如图，在正四面体A-BCD中，取BC中点M，连接AM，则直线AM与直线CD夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
作截面的具体步骤
(1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；
方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面．
[典例] (1)(2025·贵阳模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面截该正方体所得的截面是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为( )
A． B．3
C． D．
[听课记录]
反思领悟 通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，问题的判断与计算依照平面几何的性质、定理及公式求解．
应用体验 (2024·内江三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M，N，P分别为棱A1D1，AA1，C1D1的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为( )
A． B．3
C．6 D．
1．(多选)(2025·北京朝阳区模拟)下列基本事实叙述正确的是( )
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
2．(2024·桂林期末)已知平面α∥β，直线a α，b β，则直线a，b的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
3．(2024·保定二模)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
4．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2，则异面直线BC和A′C′所成角的大小是________，AA′和BC′所成角的大小是________．
1/1第2课时 空间点、直线、平面之间的位置关系
[考试要求] 1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．
考点一 基本事实的应用
1．基本事实
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
2．三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
[典例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．
求证：(1)D，B，E，F四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
[证明] (1)如图所示，
连接B1D1．
因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1．
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，
所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，
即D，B，E，F四点共面．
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，
设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β．
因为Q∈A1C1，所以Q∈α．
又Q∈EF，所以Q∈β，
所以Q是α与β的公共点，
同理，P是α与β的公共点．
所以α∩β＝PQ．
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF所以DE与BF相交，
设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1，
同理，M∈平面B1BCC1．
又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，
所以M∈CC1．
所以DE，BF，CC1三线交于一点．
反思领悟 (1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：证明点为两平面的公共点，则这些点都在两平面的交线上．
(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
巩固迁移1 (1)(多选)(2025·荆州中学模拟)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是( )
A B
C D
(2)(2024·重庆一中月考)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
(1)ABC (2)D [(1)对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；
同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．
(2)∵AB γ，M∈AB，∴M∈γ．
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．根据基本事实3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．]
考点二 空间中点、线、面位置关系的判定
1．空间中直线与直线的位置关系
提醒：分别在两个不同平面内的两条直线不一定为异面直线，他们可能平行或相交．
2．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线与平面 相交 a∩α＝A 1个
平行 a∥α 0个
在平 面内 a α 无数个
平面与 平面 平行 α∥β 0个
相交 α∩β＝l 无数个
3．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
[常用结论]
1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．
2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．
[典例2] (1)(2024·常德一中月考)下列推断中，错误的是( )
A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β α∩β＝AB
C．l α，A∈l A α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线 α，β重合
(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
(3)(多选)(人教A版必修第二册P131练习T2改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线AM与DD1是异面直线
(1)C (2)D (3)CD [(1)对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；
对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，
故直线AB α，AB β，即α∩β＝AB，B正确；
对于C，若l∩α＝A，则有l α，A∈l，但A∈α，C错误；
对于D，有三个不共线的点在平面α，β内，故α，β重合，D正确．
(2)如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．故选D．
(3)直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A、B错误；点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．故选CD．]
链接·2025高考试题
(2025·天津卷)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论中正确的是( )
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m⊥α，m⊥β，则α⊥β
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若m α，α⊥β，则m⊥β
C [对于A，若m∥α，n α，则m∥n或m，n异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故B错误；
对于C，若m∥α，m⊥β，则α⊥β，故C正确；
对于D，若m α，α⊥β，则m∥β或m与β相交或m β，故D错误．故选C.]
反思领悟 本例(2)中，判断空间直线的位置关系用“模型法”，是通过构造长方体模型来判断的；本例(3)对异面直线的判定，用结论：过平面外一点A和平面内一点B的直线，与平面内不经过点B的直线是异面直线．
巩固迁移2 (1)已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则( )
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
(2)(多选)已知A，B是不在平面α内的任意两点，则下列说法正确的是( )
A．在平面α内存在直线与直线AB异面
B．在平面α内存在直线与直线AB相交
C．存在过直线AB的平面与平面α垂直
D．在平面α内存在直线与直线AB平行
(1)D (2)AC [(1)在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误．m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．
(2)当AB∥α时，在平面α内不存在直线与直线AB相交，所以B不正确；
当直线AB与平面α相交时，在平面α内不存在直线与直线AB平行，所以D不正确；
当直线AB与平面α相交或平行时，在平面α内均存在直线与直线AB异面，且均存在过直线AB的平面与平面α垂直，所以A，C正确．]
考点三 异面直线所成的角
异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：．
提醒：两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．
[典例3] (1)(2025·林州市模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AC＝2AA1＝2AB＝4，则异面直线A1C与AB1所成角的正弦值为________．
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则CC1＝________．
(1)1 (2)2 [(1)由题意，如图所示，连接A1B，A1B∩AB1＝O，取BC中点为D，
连接OD，B1D，则OD∥A1C，
故∠B1OD为异面直线A1C与AB1所成角或其补角，
易得OD＝A1C＝，
B1D＝，OB1＝AB1＝，
从而B1D2＝，所以异面直线A1C与AB1所成角为90°，
即正弦值为1．
(2)连接AC，交 DB于点O，取CC1的中点E，连接OE，BE．
因为AC1∥OE，所以BD与AC1 所成的角为∠BOE(或其补角)．
令EC＝x，由AB＝8，AD＝6，得OB＝OC＝5．
又OE＝，BE＝，cos ∠BOE＝，在△OBE中，由余弦定理得＝，解得x＝，所以CC1＝2．]
【教用·备选资源】
通性通法 异面直线所成角的求法：(1)平移法：平移到一个三角形中，借助余弦定理求解；(2)补体法：补体后，借助余弦定理求解；(3)坐标法：建立坐标系，借助向量求解．
反思领悟 求异面直线所成角的三个步骤为：一作，二证，三求．以本例(1)为例，一作：连接A1B，交AB1于O，取BC中点为D，连接OD，二证：在△A1BC中，OD是中位线，所以OD∥A1C，根据异面直线所成角的定义可知∠B1OD(或其补角)即为异面直线A1C与AB1所成的角，三求：在△B1DO中，解三角形求角．
巩固迁移3 (2025·德阳模拟)如图，在正四面体A-BCD中，取BC中点M，连接AM，则直线AM与直线CD夹角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
C [取N为BD中点，连接MN，AN，如图所示．
因为M是BC中点，
所以MN∥CD，MN＝CD，
在正四面体A-BCD中，
△ABD，△ABC是等边三角形，AM＝AN＝CD，
则直线AM与直线CD夹角为∠AMN，
在△AMN中，cos ∠AMN＝＝＝，所以直线AM与直线CD夹角的余弦值为．
故选C．]
【教用·备选题】
1．以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面PAB为等边三角形，M为底面圆O上一点，∠AOM＝60°，则异面直线OM与AP所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
D [如图，过点A作AN∥OM，交圆O于点N，连接ON，PN，
则∠PAN即为异面直线OM与AP所成角或其补角，
设AO＝ON＝1，可知∠OAN＝∠ONA＝60°，则AN＝1，
因为轴截面PAB为等边三角形，所以PA＝PN＝2，
在△APN中，由余弦定理得：cos ∠PAN＝＝＝，
所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为．
故选D．]
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都相等，D，E，F分别是棱AB，BC，B1C1的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
D [取A1C1的中点M，AC的中点Q，连接MD，MF，EF，MQ，
因为E，F，D都是中点，
由题意可得DE∥C1M，且DE＝C1M，所以四边形DEC1M为平行四边形，
所以DM∥C1E，所以∠MDF为异面直线DF，C1E所成的角，
因为直棱柱的棱长相等，设棱长为2，
则MF＝DE＝×2＝1，EF＝2，所以DF＝DM＝＝＝，
在△MDF中，cos ∠MDF＝＝＝．故选D．]
作截面的具体步骤
(1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；
方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．
(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．
(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面．
[典例] (1)(2025·贵阳模拟)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面截该正方体所得的截面是( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱BB1的中点，则经过A1，D，E三点的正方体的截面面积为( )
A． B．3
C． D．
(1)C (2)A [(1)根据题意，如图：延长EF分别交DA，DC延长线于点G，I，
连接D1G，D1I分别交A1A，CC1于点H，J，易得截面为五边形D1HEFJ就是过点D1，E，F的平面截该正方体所得的截面．
故选C．
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D∥平面CBB1C1，则平面A1DE与平面CBB1C1的唯一交线与A1D平行．
如图，取BC中点F，连接EF，DF，A1E，A1D，易知A1D∥EF，则梯形A1DFE即为经过A1，D，E三点的正方体的截面．
在梯形A1DFE中，A1D∥EF，A1D＝2，EF＝，A1E＝DF＝，
则梯形的高为＝，则梯形A1DFE的面积为×(＋2)×＝．]
反思领悟 通过作截面图形，将立体几何问题转化为平面几何问题，问题的判断与计算依照平面几何的性质、定理及公式求解．
应用体验 (2024·内江三模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M，N，P分别为棱A1D1，AA1，C1D1的中点，则平面MNP截正方体所得截面的面积为( )
A． B．3
C．6 D．
B [如图所示，取正方体的棱AB，BC，CC1的中点，并连接起来，则此六边形即为所得截面，
由于该六边形为正六边形，其边长为，故其面积为6××sin 60°＝3．
故选B．]
【教用·备选题】
(2024·三门峡期末)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为( )
A．14 B．18
C．10＋6 D．10＋10
A [延长NM，CB相交于点H，连接C1H交BB1于点G，连接MG，
因为正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝6，M，N分别是AB，AD的中点，
所以MN＝＝2，BH＝AN，CC1＝6，
因为△HBG～△HCC1，＝＝，故BG＝2，
GH＝＝2，在DD1上取点Q，使DQ＝BG．连接NQ，GQ，
则NQ＝＝2，
同理可知GQ＝NH，所以四边形GQNH为平行四边形，
故G，H，N，Q四点共面，则平面MNC1截该四棱柱所得的截面为五边形NMGC1Q，
MG＝＝2，
C1G＝＝＝4，
同理C1Q＝4，故截面周长为MN＋MG＋C1G＋C1Q＋NQ＝2＋2＋4＋4＋2＝14．
故选A．]
1．(多选)(2025·北京朝阳区模拟)下列基本事实叙述正确的是( )
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
AB [根据基本事实及推论即可判断A，B正确；
C项，若三点共线，经过三点的平面有无数个，错误；
D项，若这个点在直线外，确定一个平面，
若这个点在直线上，可有无数个平面，错误．故选AB．]
2．(2024·桂林期末)已知平面α∥β，直线a α，b β，则直线a，b的位置关系为( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
D [平面α∥β，直线a α，b β，如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
令平面ABCD＝α，平面A1B1C1D1＝β，
当a＝AB，b＝A1B1时，显然有a∥b，
当a＝AB，b＝B1C1时，显然有a与b异面，
所以直线a，b的位置关系为平行或异面．故选D．]
3．(2024·保定二模)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
C [连接BC1，A1C1，如图所示，
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，有AB∥C1D1且AB＝C1D1，
四边形ABC1D1为平行四边形，
则有BC1∥AD1，则∠A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB＝1，则BC1＝A1B＝，A1C1＝，
在△A1BC1中，由余弦定理可得
cos ∠A1BC1＝＝＝．
故选C．]
4．如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2，则异面直线BC和A′C′所成角的大小是________，AA′和BC′所成角的大小是________．
45° 60° [因为BC∥B′C′，所以异面直线BC和A′C′所成的角即为直线B′C′和A′C′所成的角，即∠A′C′B′．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝AB＝2，B′C′＝AD＝2，所以tan ∠A′C′B′＝1，所以∠A′C′B′＝45°，即异面直线BC和A′C′所成的角为45°．因为AA′∥BB′，所以异面直线AA′和BC′所成的角即为直线BB′和BC′所成的角，即∠B′BC′．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以tan ∠B′BC′＝，所以∠B′BC′＝60°，即异面直线AA′和BC′所成的角为60°．]
【教用·备选题】 1．(2024·贺州昭平县期末)下列命题正确的是( ) A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内 C [对于选项A：如果三点在同一条直线上，则不能确定一个平面，故A错误； 对于选项B：例如三棱锥，可以得到四条首尾相连的线段，但不是平面图形，故B错误； 对于选项C：因为两条平行直线确定一个平面， 若一条直线与这两条平行直线都相交，则这条直线就在这两条平行直线确定的一个平面内， 所以这三条直线在同一平面内，故C正确； 对于选项D：例如三棱锥三条侧棱，可以得到两两相交的三条直线，但这三条直线不共面，故D错误． 故选C．] 2．(2024·德兴期末)如图，下列几何关系表达正确的是( ) A．m∈α，A α，m，n共面 B．m α，A∈α，m，n共面 C．m∈α，n∩α＝A，m，n异面 D．m α，n∩α＝A，m，n异面 D [根据题意，依次分析选项： 对于A，m α，A∈α，m，n异面，A错误； 对于B，m α，A∈α，m，n异面，B错误； 对于C，m α，n∩α＝A，m，n异面，C错误； 对于D，m α，n∩α＝A，m，n异面，D正确． 故选D．] 3．(2024·福州晋安区期末)下列说法正确的是( ) A．空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面 B．若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面 C．和两条异面直线都相交的两直线是异面直线 D．若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面 D [对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误； 对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误； 对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误； 对于D，如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中， 当A′B所在直线为a，BC′所在直线为b时，a与b相交， 当A′B所在直线为a，B′C所在直线为b时，a与b异面， 所以若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确．故选D．] 4．(2024·绥化北林区期末)在三棱锥D-ABC中，AD＝2，BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则直线AD与BC所成角的余弦值为( ) A． B．－ C． D．－ A [取AC的中点N，连接FN，EN，因为E，F分别是AB，CD的中点， 所以NF∥AD，EN∥BC，故∠FNE或其补角为直线AD与BC所成的角， EN＝BC＝，FN＝AD＝1，又EF＝， 故cos ∠FNE＝＝＝－， 故直线AD与BC所成角的余弦值为． 故选A．] 5．(2025·合肥模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． C [法一(平移法)：如图，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM．易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角(或其补角)． 因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝， 所以AD1＝＝2， DM＝＝， DB1＝＝，所以OM＝＝1，OD＝DB1＝，在△DMO中，由余弦定理， 得cos ∠MOD＝＝， 即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选C． 法二(补体法)：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA-A1′B1′B1A1．连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角． 连接DB′，由题意，得DB′＝＝， B′B1＝＝2， DB1＝＝． 在△DB′B1中，由余弦定理，得 DB′2＝－2B′B1·DB1·cos ∠DB1B′， 即5＝4＋5－2×2cos ∠DB1B′， 所以cos ∠DB1B′＝．故选C．] 6．(2024·邢台期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，B1C1的中点，则直线D1E与直线A1F所成角的余弦值为________． [如图所示， 取P，G分别为棱DD1，BC的中点，连接AP，PG，AG， 由正方体的性质易得D1E∥AP，A1F∥AG， 所以∠PAG为直线D1E与直线A1F所成的角． 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则AP＝AG＝，PG＝，cos ∠PAG＝＝， 即直线D1E与直线A1F所成角的余弦值为．] 7．(2025·哈尔滨模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为______． [如图所示，补成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1， 则所求角为∠BC1D或其补角， ∵BC1＝，BD＝＝， C1D＝AB1＝， 易得C1D2＝，即BC1⊥BD， 因此cos ∠BC1D＝＝＝．]
课后习题(四十三) 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b( )
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
D [α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]
2．(多选)(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是( )
A．若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
B．若a∥b，b α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
C．若α∥β，a α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交
BC [
选项 正误 原因
A × 若α∥β，a α，b β，则a与b平行或异面
B √ 若a∥b，b α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行
C √ 若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a α，所以a∥β
D × 若α∩β＝b，a α，则当a∥b时，a∥β
故选BC．]
3．(人教A版必修第二册P132习题8.4T9改编)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法错误的是( )
A．AB与CD是异面直线
B．GH与CD相交
C．EF∥CD
D．EF与AB异面
D [把展开图还原成正方体，如图所示．
还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知A，B，C说法正确，EF与AB相交，故D错误．故选D．]
4．(人教B版必修第四册P71练习B T1改编)如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧面展开图是边长为4的正方形，则在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AK和LM所成角的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [根据题意还原正四棱柱的直观图，如图所示，取AA1的中点G，连接KG，则有KG∥LM，所以∠AKG或其补角为异面直线AK和LM所成的角．由题知AG＝2，AK＝KG＝＝，则有AK2＋KG2＝AG2，所以∠AKG＝90°，即异面直线AK和LM所成角的大小为90°．故选D．]
5．(2025·深圳模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点确定一个平面
B．A，M，O三点共线
C．D，D1，O，M四点共面
D．A，B1，B，M四点共面
B [根据题意，连接AC，则A1C1∥AC，
∴A1，C1，C，A四点共面，
∴A1C 平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，
又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，
∴A，M，O三点共线，∴A选项错误，B选项正确；
由异面直线的判定定理可知C选项中OM与DD1为异面直线，∴C选项错误；
由异面直线的判定定理可知D选项中AB1与BM为异面直线，∴D选项错误．
故选B．]
6．(多选)(2025·哈尔滨香坊区模拟)在图示正方体中，O为BD中点，直线A1C∩平面C1BD＝M，下列说法正确的是( )
A．A，C，C1，A1四点共面
B．C1，M，O三点共线
C．M∈平面BB1D1D
D．A1C与BD异面
ABD [由正方体性质，AA1∥CC1，所以A，C，C1，A1四点共面，A正确；
∵直线A1C交平面C1BD于点M，
∴M∈平面C1BD，M∈直线A1C，
又A1C∈平面ACC1A1，
∴M∈平面ACC1A1，
∵O为DB的中点，BD 平面C1BD，底面ABCD为正方形，
所以O为AC的中点，
∴O∈平面C1BD，且O∈平面ACC1A1，
又C1∈平面C1BD，且C1∈平面ACC1A1，平面C1BD与平面ACC1A1相交，
则C1，M，O在交线上，即三点共线，故选项B正确；
平面BB1D1D∩平面C1BD＝BD，M∈平面C1BD，但M BD，
所以M 平面BB1D1D，C错误；
A1C∩平面ABCD＝C，BD 平面ABCD，C BD，
所以A1C与BD为异面直线，D正确．
故选ABD．]
7．(2024·无锡锡山区期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，E为棱AC的中点，则异面直线A1E与BC所成角的余弦值为( )
A．－ B．－
C． D．
D [取AB的中点为F，连接EF，A1F，如图，
因为E为棱AC的中点，F为AB的中点，所以EF∥BC，
所以∠A1EF为异面直线A1E与BC所成的角(或其补角)，
因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝4，
所以A1E＝＝2，A1F＝2，EF＝BC＝2，所以在△A1EF中，cos ∠A1EF＝＝＝，
所以异面直线A1E与BC所成角的余弦值为．故选D．]
8．(2025·长沙模拟)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E是侧棱AA1的中点，则平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面图形的周长是__________．
6＋4 [如图，取AD中点H，连接EH，A1D，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为E是AA1的中点，H为AD中点，
所以EH∥A1D，EH＝A1D，
又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1∥DC，A1B1＝DC，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D∥B1C，所以EH∥B1C，
故梯形EB1CH即为平面B1CE截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面，
由已知，EH＝＝2，B1E＝＝2，B1C＝＝4，CH＝＝2，
则截面周长为EB1＋B1C＋HC＋EH＝4＋6．]
9．(2024·上海杨浦区月考)如图，已知E，F，G，H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，且EF与HG相交于点Q．
(1)求证：点Q在直线DC上；
(2)求异面直线EF与A1B1所成角的大小．
[解] (1)证明：平面ABCD∩平面CDD1C1＝DC，
由于Q∈EF 平面ABCD，Q∈HG 平面CDD1C1，
所以Q∈DC，即点Q在直线DC上．
(2)根据正方体的性质可知A1B1∥DC，
所以异面直线EF与A1B1所成角为∠DQE，
由于AB∥DC，E，F分别是AB，BC的中点，
所以∠DQE＝∠FEB＝45°，
所以异面直线EF与A1B1所成角的大小为45°．
1/1
