第3课时 空间直线、平面的平行
[考试要求] 1．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
考点一 与线、面平行相关命题的判定
1．如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．
2．平行于同一个平面的两个平面平行．
3．垂直于同一条直线的两个平面平行．
4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
[典例1] (1)(2025·日照模拟)已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2025·九江模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若n⊥α，n⊥m，m β，则α∥β
C．若α∥β，m⊥β，则m⊥α
D．若α⊥β，m β，则m⊥α
(1)D (2)C [(1)平面α，直线m，n满足m α，n α，
则“m∥n”不能推出“m∥α”，还有可能m，n同时垂直于α，∴充分性不成立；
“m∥α”不能推出“m∥n”，还有可能m，n相交或异面，∴必要性不成立，
∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选D．
(2)对于A，当m∥n，n∥α时，m∥α或m α，所以A错误；
对于B，如图，当n⊥α，n⊥m，m β时，α⊥β，所以B错误；
对于C，当α∥β，m⊥β时，m⊥α，所以C正确；
对于D，如B项解析中的图，当α⊥β，m β时，m∥α，所以D错误．故选C．]
反思领悟 判断与平行关系相关命题的真假，应以线、面平行关系的定义、定理为依据，结合题意构造或绘制图形(正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体)，结合图形作出判断．
巩固迁移1 (多选)(2024·厦门外国语学校月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
CD [对于A，若α∩β＝n，m∥n，m α，m β，则m∥α，m∥β，A错误；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n可能是异面直线，相交直线或平行直线，B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，C正确；
对于D，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能相交或平行，D正确．]
考点二 直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
直线与平面平行的判定
[典例2] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
[证明] 法一(应用线面平行的判定定理)：如图，设M为PC的中点，连接EM，MF．
∵E是AB的中点，
∴AE∥CD，且AE＝CD，
又∵MF∥CD，
且MF＝CD，
∴AE綉FM，
∴四边形AEMF是平行四边形，
∴AF∥EM．
又∵AF 平面PCE，EM 平面PCE，
∴AF∥平面PCE．
法二(应用面面平行的判定定理及性质)：如图，设G为CD的中点，连接FG，AG．
∵F，G分别为PD，CD的中点，
∴FG∥PC．又E为AB的中点，AB綉CD，∴AE綉CG，
∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥EC．
又FG 平面PCE，AG 平面PCE，
PC 平面PCE，EC 平面PCE，
∴FG∥平面PCE，AG∥平面PCE．
又FG，AG 平面AFG，FG∩AG＝G，
∴平面AFG∥平面PCE．
又AF 平面AFG，
∴AF∥平面PCE．
反思领悟 本例解法一应用线面平行的判定定理，证明平面PCE内的直线EM与平面外的直线AF平行，证明过程中应用了△PCD的中位线MF綉CD綉AE．本例解法二应用面面平行的判定定理和性质，证明AF所在的平面AFG与平面PCE平行，再根据面面平行的性质证得AF与平面PCE平行．
巩固迁移2 (人教B版必修第四册P110习题11－3BT7改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD．
[证明] 法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA．
由题意知EF为△PDC的中位线，
∴EF∥CD，且EF＝CD＝2．
又∵AB∥CD，AB＝2，∴AB綉EF，
∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．
又AF 平面PAD，BE 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法二：如图，延长DA，CB相交于点H，连接PH，
∵AB∥CD，AB＝2，
CD＝4，
∴＝＝，
即B为HC的中点，
又E为PC的中点，∴BE∥PH，
又BE 平面PAD，PH 平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，
∵E为PC的中点，
∴EH∥PD，
又EH 平面PAD，PD 平面PAD，
∴EH∥平面PAD，
又由题意知AB綉DH，
∴四边形ABHD为平行四边形，
∴BH∥AD，
又AD 平面PAD，BH 平面PAD，
∴BH∥平面PAD，
又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，
∴平面BHE∥平面PAD，
又BE 平面BHE，∴BE∥平面PAD．
直线与平面平行的性质
[典例3] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H．
求证：PA∥GH．
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM 平面BMD，PA 平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
PA 平面PAHG，
∴PA∥GH．
反思领悟 本例中，把PA∥平面BMD这一线面平行转化为PA∥GH线线平行时，必须包括经过直线PA的平面和平面BMD相交这一条件，这时才有直线PA与交线GH平行．
巩固迁移3 (2024·福建泉州一中月考)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
[证明] 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1 平面BB1D，CC1 平面BB1D，
所以CC1∥平面BB1D．
又CC1 平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG．
因为BB1∥CC1，
所以BB1∥FG．
而BB1 平面AA1B1B，FG 平面AA1B1B，
所以FG∥平面AA1B1B．
考点三 平面与平面平行的判定与性质
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 a∥b
[典例4] (2025·沈阳模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG．
[证明] (1)∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH．
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB．
∵A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG．
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG．
反思领悟 本例(1)关键是构造平面与平面ABC和平面A1B1C1都相交，这时才有交线BC与交线GH平行；本例(2)利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFA1∥平面BCHG，必须说明A1E与EF相交．
巩固迁移4 (2025·张家口模拟)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
[证明] (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1．
又BD 平面CD1B1，B1D1 平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1．
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C．
又A1B 平面CD1B1，D1C 平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1．
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B 平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1．
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面B1D1C＝l，
平面ABCD∩平面A1BD＝BD，
所以l∥BD，
在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l．
考点四 平行关系的综合应用
[典例5] (2024·河北衡水中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H．
[证明] 如图．
(1)取B1B的中点M，
连接HM，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形，
∴HD1∥MC1．
又MC1∥BF，
∴BF∥HD1．
(2)取BD的中点O，连接OE，OD1，
则OE綉DC．
又D1G綉DC，
∴OE綉D1G．
∴四边形OEGD1是平行四边形，
∴EG∥D1O．
又D1O 平面BB1D1D，EG 平面BB1D1D，
∴EG∥平面BB1D1D．
(3)由(1)知BF∥HD1，
由题意易证B1D1∥BD．
又B1D1，HD1 平面B1D1H，BF，BD 平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，
∴平面BDF∥平面B1D1H．
反思领悟 三种平行关系的转化
巩固迁移5 (2024·重庆诊断)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是________．
[如图，连接D1A，AC，D1C，
因为E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，
所以AC∥EF，
又EF 平面ACD1，AC 平面ACD1，
所以EF∥平面ACD1，
易知EG∥AD1，
所以同理可得EG∥平面ACD1，
又EF∩EG＝E，EF，EG 平面EFG，
所以平面ACD1∥平面EFG．
因为直线D1P∥平面EFG，
所以点P在直线AC上．
在△ACD1中，AD1＝，AC＝2，CD1＝2，
所以S△AD1C＝＝．
当D1P⊥AC时，线段D1P的长度最小，
所以线段D1P长度的最小值为＝＝．]
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
D [直线a不平行于平面α，包括两种情况：a α或a∩α＝P．当a α时，α内的所有直线都与直线a共面，A错误；当a α时，α内必然有直线与直线a平行，B错误；由B知C也错误；当a α时，直线a和平面α有无数个公共点，当a∩α＝P时，直线a与平面α有唯一公共点P，D正确．]
2．(人教A版必修第二册P142练习T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
D [对于A，α内有无穷多条直线与β平行，并不能保证平面α内有两条相交直线与平面β平行，这无穷多条直线可以是一组平行线，故A错误；对于B，直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内，当直线a平行于平面α与平面β的相交直线时满足上述条件，但平面α与平面β不平行，故B错误；对于C，直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α，当直线a∥b时，不能保证平面α与平面β平行，故C错误；对于D，α内的任何一条直线都与β平行，则α内至少有两条相交直线与平面β平行，所以平面α与平面β平行，故D正确．]
3．设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
C [对于A，m，l可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，α，β可能相交或平行，故B错误；对于D，α∥β，故D错误；由线面平行的性质得C正确．]
4．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝________．
[因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，所以EF∥BD1．因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，G在CC1上，BG 平面BD1G，且平面AEF∥平面BD1G，所以AF∥BG，所以＝＝．]
【教用·备选题】 1．(2024·贵州期末)已知三个不同的平面α，β，γ和直线m，n，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“α∥β”是“m∥n”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A [根据面面平行的性质定理，可知当α∥β时，有m∥n，故充分性成立；反之，当m∥n时，α，β可能相交(如图)，故必要性不成立，所以“α∥β”是“m∥n”的充分不必要条件．故选A．] 2．(多选)(2024·南昌期初摸底)在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有( ) A B C D AB [对于A，如图1，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，则MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故A正确．对于B，如图2，设P为AB的中点，连接MP，PC，则PM∥BE，PM＝BE，而BE∥CN，BE＝2CN，故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC，故B正确．对于C，如图3，设P为AE的中点，连接NP，PB，设NP∩AC＝H，连接BH，则PN∥FE，PN＝FE，而FE∥MB，FE＝2MB，故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，所以MN∥PB．又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故C错误．对于D，如图4，连接AE与FN，交于点H，FN交AC于点G，则H为FN的中点，连接BH，BG．由于B为MF的中点，故BH∥MN．又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，即在平面NMF内过点B有两条直线和MN平行，这是不可能的，假设不成立，故D错误． ] 3．(2024·乐山三模)在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在棱BB1上，且BB1＝3BD，点M在棱A1C1上，且M为A1C1的中点，点N在直线BB1上，若MN∥平面ADC1，则＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 D [如图，设P为A1A的中点，连接MP． ∵M为A1C1的中点， ∴MP∥AC1． ∵MP 平面ADC1，AC1 平面ADC1， ∴MP∥平面ADC1． 过点P作PN∥AD，交BB1于点N，连接MN，则PN∥平面ADC1． ∵MP∩PN＝P， ∴平面PMN∥平面ADC1， ∴MN∥平面ADC1． ∵AP∥DN，∴四边形APND为平行四边形， ∴AP＝DN＝AA1＝BB1， ∵BB1＝3BD，∴NB＝DB＋DN＝＝BB1， NB1＝BB1－BB1＝BB1， ∴＝5． 故选D．] 4．(2025·浙江模拟)三棱锥A-BCD的所有棱长均为2，E，F分别为棱BC与AD的中点，M，N分别为线段AE与CF上的动点，若MN∥平面ABD，则线段MN长度的最小值为________． [如图，过点M作MG∥AB交AC于点G，连接GN，由题意得GN∥AD， 所以∠MGN＝∠BAD＝，设MG＝m(0＜m≤1)，则AG＝m， 则＝，所以GN＝， 由余弦定理可得： MN＝ ＝ ＝＝， 当m＝时，MN有最小值．] 5．(2025·银川兴庆区模拟)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别为AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC于直线l． (1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论； (2)判断MN与平面PAD的位置关系，并证明你的结论． [解] (1)结论：BC∥l． 证明：∵AD∥BC，BC 平面PAD，AD 平面PAD， ∴BC∥平面PAD． 又∵BC 平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l， ∴BC∥l． (2)结论：MN∥平面PAD． 证明：取CD的中点Q，连接NQ，MQ， 则NQ∥PD，MQ∥AD， 又∵NQ∩MQ＝Q， PD∩AD＝D， ∴平面MNQ∥平面PAD． 又∵MN 平面MNQ， ∴MN∥平面PAD． 6．(2025·武夷山市模拟)如图所示，在正四棱锥S-ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝，P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，Q是SD的中点，E是侧棱SC上的点，且SE＝2EC． (1)求正四棱锥S-ABCD的表面积； (2)求证：平面BEQ∥平面ACP． [解] (1)根据题意，在正四棱锥S-ABCD中，SA＝SB＝SC＝SD＝2，AB＝， 其底面为边长为的正方形，则S底＝＝2， 侧面三角形为等腰三角形，腰长为2，底边长为，则侧面三角形的高h＝＝， 则S侧＝4S△SBC＝4×＝2， 故正四棱锥S-ABCD的表面积S＝S底＋S侧＝2＋2． (2)证明：连接BD，与AC交于点O，连接OP， 由P为侧棱SD上的点，且SP＝3PD，Q是SD的中点，可知P是QD的中点． 又O为BD的中点，则OP为△BQD的中位线，则有OP∥BQ，又BQ 平面BEQ，OP 平面BEQ，故OP∥平面BEQ， 由SP＝3PD，Q是SD的中点，则SQ＝2QP． 又由SE＝2EC，则EQ∥CP，又EQ 平面BEQ，CP 平面BEQ，故CP∥平面BEQ， 又由OP 平面ACP，CP 平面ACP，且OP∩CP＝P， 则有平面BEQ∥平面ACP．
课后习题(四十四) 空间直线、平面的平行
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T2改编)已知三条不重合的直线a，b，c，平面α．下列命题中，真命题的个数为( )
(1)若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c是异面直线；(2)若a∥b，b∥c，则a∥c；(3)若a∥b，b α，则a∥α；(4)若a∥α，b∥α，则a∥b．
A．1 B．2
C．3 D．4
A [对于(1)，若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题(1)错误；对于(2)，由线线平行关系的传递性可知命题(2)正确；对于(3)，若a∥b，b α，则a∥α或a α，故命题(3)错误；对于(4)，若a∥α，b∥α，则a与b相交或平行或异面，故命题(4)错误．故选A．]
2．(苏教版必修第二册P186习题13.2(3)T5改编)如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为( )
A．1 B．2
C． D．
C [如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为AD∥平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG．
因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，
所以＝＝．
故选C．]
3．(人教B版必修第四册P108练习B T2改编)如图，已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶3 B．2∶5
C．4∶9 D．4∶25
D [因为平面α∥平面ABC，所以AB∥平面α，
又平面α∩平面PAB＝A′B′，AB 平面PAB，所以A′B′∥AB，同理可得AC∥A′C′，BC∥B′C′，
所以∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′．
因为PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5，
所以A′B′∶AB＝2∶5，
所以＝＝＝．
故选D．]
4．(湘教版必修第二册P205复习题四T14改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点．
(1)证明：平面MNQ∥平面PCD；
(2)在线段PD上是否存在一点E，使得MN∥平面ACE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，M，N，Q分别为BC，PA，PB的中点，
∴NQ∥AB∥CD，MQ∥PC，
又NQ 平面PCD，CD 平面PCD，MQ 平面PCD，PC 平面PCD，
∴NQ∥平面PCD，MQ∥平面PCD，
又∵NQ∩MQ＝Q，且NQ，MQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PCD．
(2)在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，且＝．理由如下：
如图，取PD的中点E，连接NE，CE，AC，AE，
∵N，E分别是AP，PD的中点，
∴NE∥AD，NE＝AD，
易知BC∥AD，BC＝AD，又M为BC的中点，
∴MC∥AD，MC＝AD，
∴NE∥MC，NE＝MC，
∴四边形MCEN是平行四边形，
∴MN∥CE，
又∵MN 平面ACE，CE 平面ACE，
∴MN∥平面ACE，
故在线段PD上存在点E，使得MN∥平面ACE，
且＝．
5．(2024·商丘期末)设A，B是直线l上两点，则“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B [由直线l不在平面α内知：直线l上有两个点到平面α的距离相等 l∥α或直线l与平面α相交，
l∥α 直线l上有两个点到平面α的距离相等，
∴“A，B到平面α的距离相等”是“l∥α”的必要不充分条件．故选B．]
6．(2025·驻马店模拟)已知a，b是两条不同的直线，α是一个平面，若a∥α，b α，则( )
A．a∥b B．a与b异面
C．a与b相交 D．a与b没有公共点
D [因为a，b是两条不同的直线，α是一个平面，
若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面，即a与b没有公共点，
故只有D满足题意．
故选D．]
7．(2025·太原迎泽区模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若a∥α，b∥a，则b∥α
B．若a∥α，b∥α，a β，b β，则β∥α
C．若α∥β，b∥α，则b∥β
D．若α∥β，a α，则a∥β
D [A中，若a∥α，b∥a，则b∥α或b α，所以A不正确；
B中，a∥α，b∥α，a β，b β，没有指明a，b是否是相交直线，所以B不正确；
C中，若α∥β，b∥α，则b∥β或b β，所以C不正确；
D中，若α∥β，a α，由面面平行的性质可知a∥β，所以D正确．
故选D．]
8．(2024·长沙岳麓区期末)如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，＝( )
A． B．
C． D．
D [连接AC与BE相交于点O，连接FO，如图所示，
∵PA∥平面EBF，PA 平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FO，∴PA∥FO，则有＝．
∵∠AOE＝∠BOC，∠AEO＝∠CBO，
∴△AEO∽△CBO，＝．
∵在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，∴＝，
∴＝．故选D．]
9．(2024·周口川汇区月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是_________．
相交 平行 [在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交，直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行．因为如果延长直线DM，则与直线AA1相交，而AA1在平面A1ACC1中，所以直线MD与平面A1ACC1的位置关系是相交的．
在平面BCC1B1中，连接C与C1B1的中点(图略)，与MD平行，根据线面平行的判定定理得到直线MD与平面BCC1B1的位置关系是平行的．]
10．(2024·哈尔滨香坊区期末)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1＝8，E，F分别是侧棱AA1，CC1上的动点，AE＋CF＝8．点P在棱AA1上，且AP＝2，若EF∥平面PBD，则CF＝________．
2 [如图，连接AC，交BD于点O，连接PO．
∵EF∥平面PBD，EF 平面EFCA，平面EFCA∩平面PBD＝PO，
∴EF∥PO．在PA1上截取PQ＝AP＝2，连接QC，则QC∥PO，
∴EF∥QC，又EQ∥FC，
∴四边形EFCQ为平行四边形，
∴CF＝EQ．
又AE＋CF＝8，AE＋A1E＝8，∴A1E＝CF＝EQ，即点E为A1Q的中点，
而A1Q＝8－(AP＋PQ)＝4，∴CF＝A1Q＝2．]
11．(2025·潍坊模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)F为PD的中点．
[证明] (1)如图所示，
连接AC交BD于点G，连接GE，因为底面ABCD为平行四边形，
所以G为AC的中点，又E为PC的中点，所以GE∥PA，
又PA 平面BDE，GE 平面BDE，
所以PA∥平面BDE．
(2)因为底面ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，
又AB 平面ABEF，CD 平面ABEF，
所以CD∥平面ABEF，
又平面ABEF∩平面PDC＝EF，CD 平面PDC，
所以CD∥EF．
又因为E为PC的中点，所以F为PD的中点．
12．(2025·深圳模拟)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱AB，BC，B1C1的中点．
(1)证明：B1E∥平面ACG；
(2)在线段CC1上是否存在一点N，使得平面NEF∥平面A1BC1？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：取AC的中点M，连接EM，GM，
在△ABC中，由于E，M分别为AB，AC的中点，则EM∥BC且EM＝BC，
又G为B1C1的中点，B1C1∥BC，则有B1G∥BC且B1G＝BC，
故有B1G∥EM且B1G＝EM，
四边形EMGB1为平行四边形，B1E∥GM．
又GM 平面ACG，B1E 平面ACG，故B1E∥平面ACG．
(2)根据题意，当N为CC1的中点时，平面NEF∥平面A1BC1，
证明：连接NE，NF．
因为N，F分别是CC1和BC的中点，
所以NF∥BC1．
因为NF 平面A1BC1，BC1 平面A1BC1，
所以NF∥平面A1BC1．
因为EF∥AC，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1．
又EF 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，故EF∥平面A1BC1，
又EF 平面NEF，NF 平面NEF，EF∩NF＝F，
所以平面NEF∥平面A1BC1．
1/1第3课时 空间直线、平面的平行
[考试要求] 1．以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．
考点一 与线、面平行相关命题的判定
1．如果一个平面内的两条____直线分别平行于另一个平面内的两条____直线，则这两个平面平行．
2．平行于同一个平面的两个平面____．
3．垂直于同一条直线的两个平面____．
4．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面．
[典例1] (1)(2025·日照模拟)已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2025·九江模拟)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若n⊥α，n⊥m，m β，则α∥β
C．若α∥β，m⊥β，则m⊥α
D．若α⊥β，m β，则m⊥α
[听课记录]
反思领悟 判断与平行关系相关命题的真假，应以线、面平行关系的定义、定理为依据，结合题意构造或绘制图形(正(长)方体、三棱柱(锥)等常见几何体)，结合图形作出判断．
巩固迁移1 (多选)(2024·厦门外国语学校月考)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，α⊥β，则γ与β可能平行，也可能相交
考点二 直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果______一条直线与________的一条直线平行，那么该直线与此平面平行(简记为“线线平行 线面平行”) l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面____，那么该直线与____平行(简记为“线面平行 线线平行”) l∥b
直线与平面平行的判定
[典例2] 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别为AB，PD的中点，求证：AF∥平面PCE．
[听课记录]
反思领悟 本例解法一应用线面平行的判定定理，证明平面PCE内的直线EM与平面外的直线AF平行，证明过程中应用了△PCD的中位线MF綉CD綉AE．本例解法二应用面面平行的判定定理和性质，证明AF所在的平面AFG与平面PCE平行，再根据面面平行的性质证得AF与平面PCE平行．
巩固迁移2 (人教B版必修第四册P110习题11－3BT7改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．
求证：BE∥平面PAD．
直线与平面平行的性质
[典例3] 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H．
求证：PA∥GH．
[听课记录]
反思领悟 本例中，把PA∥平面BMD这一线面平行转化为PA∥GH线线平行时，必须包括经过直线PA的平面和平面BMD相交这一条件，这时才有直线PA与交线GH平行．
巩固迁移3 (2024·福建泉州一中月考)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1∩平面BB1D＝FG．
证明：FG∥平面AA1B1B．
考点三 平面与平面平行的判定与性质
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行(简记为“线面平行 面面平行”) α∥β
性质 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面____，那么两条____平行 a∥b
[典例4] (2025·沈阳模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)关键是构造平面与平面ABC和平面A1B1C1都相交，这时才有交线BC与交线GH平行；本例(2)利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFA1∥平面BCHG，必须说明A1E与EF相交．
巩固迁移4 (2025·张家口模拟)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝l，证明：B1D1∥l．
考点四 平行关系的综合应用
[典例5] (2024·河北衡水中学月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：
(1)BF∥HD1；
(2)EG∥平面BB1D1D；
(3)平面BDF∥平面B1D1H．
[听课记录]
反思领悟 三种平行关系的转化
巩固迁移5 (2024·重庆诊断)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝DD1＝1，AB＝，E，F，G分别为AB，BC，C1D1的中点，点P在平面ABCD内，若直线D1P∥平面EFG，则线段D1P长度的最小值是________．
[听课记录]
1．(人教A版必修第二册P143习题8.5T1(1))若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线都与直线a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
2．(人教A版必修第二册P142练习T2)平面α与平面β平行的充分条件可以是( )
A．α内有无穷多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内
C．直线a α，直线b β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何一条直线都与β平行
3．设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥l
B．若m α，l β，m∥l，则α∥β
C．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥l
D．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β
4．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝________．
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