第4课时 空间直线、平面的垂直
[考试要求] 1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
考点一 与线、面垂直相关命题的判定
1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
3．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[典例1] (多选)(2025·辽宁模拟)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是( )
A．若m α，α∥β，则m∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，α∥β，n β，则m⊥n
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
AC [α，β是两个平面，m，n是两条直线，
对于A，若m α，α∥β，则由面面平行的性质得m∥β，故A正确；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n β，则m⊥n，故C正确；
对于D，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．
故选AC．]
反思领悟 与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
巩固迁移1 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则下列说法正确的是( )
A．α∥β，l∥α
B．α⊥β，l⊥β
C．α与β相交，且交线平行于l
D．α与β相交，且交线垂直于l
C [由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，故A，B错误．又l⊥m，l⊥n，l α，l β，则交线平行于l，故C正确，D错误．]
考点二 直线与平面垂直的判定与性质
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a∥b
[典例2] (2024·郑州一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
[证明] (1)在四棱锥P-ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD．
又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴CD⊥平面PAC．
又AE 平面PAC，∴CD⊥AE．
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AE⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，
∴PA⊥AB．
又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴AB⊥平面PAD．
又PD 平面PAD，
∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，
∴PD⊥平面ABE．
反思领悟 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
巩固迁移2 (人教A版必修第二册P163习题8.6T4改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝．
[解] (1)证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B．
(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF．
如图，连接A1B，
∴DF∥A1B．
在△ABC中，AC＝BC＝1，
∠ACB＝90°，则AB＝，
又AA1＝，
则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1．
∵DF∩C1D＝D，DF，C1D 平面C1DF，
∴AB1⊥平面C1DF．
考点三 平面与平面垂直的判定与性质
1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
[典例3] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
[解] (1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以A1C⊥BC，
因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，
又A1C∩AC＝C，A1C，AC 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
又BC 平面BB1C1C，
所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．
(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，
又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，
A1H 平面ACC1A1，
所以A1H⊥平面BB1C1C，
即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H．
由题意知AB＝A1B，BC＝BC，∠ACB＝∠A1CB＝90°，则△ACB≌△A1CB，故CA＝CA1．
又AA1＝2，∠ACA1＝90°，
所以A1C1＝CA1＝．
法一：由＝·A1C1＝·A1H·CC1，得A1H＝＝＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
法二：在等腰直角三角形CA1C1中，A1H为斜边中线，所以A1H＝CC1＝1，
故四棱锥A1-BB1C1C的高为1．
反思领悟 1．证明面面垂直的主要方法是面面垂直的判定定理，其本质是证明线面垂直，而证明的关键是考虑证哪条线垂直哪个面．如本例(1)证明平面ACC1A1⊥平面BB1C1C的关键是证明平面BB1C1C内的直线BC垂直于平面ACC1A1．
2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
巩固迁移3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
所以BG⊥平面PAD．
(2)证明：如图，连接PG，
因为△PAD为正三角形，
G为线段AD的中点，
所以PG⊥AD．
由(1)知BG⊥AD，
又PG∩BG＝G，PG，BG 平面PGB．
所以AD⊥平面PGB．
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB．
(3)能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．证明如下：
如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF．
在△PBC中，FE∥PB，
在菱形ABCD中，GB∥DE．
而FE 平面DEF，DE 平面DEF，EF∩DE＝E，
PB 平面PGB，GB 平面PGB，PB∩GB＝B，
所以平面DEF∥平面PGB．
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG 平面PAD，PG⊥AD，
所以PG⊥平面ABCD．
又PG 平面PGB，
所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD．
考点四 垂直与平行关系的综合应用
[典例4] (2025·咸阳模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝．
(1)求证：B1C∥平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
[解] (1)证明：连接AB1，与A1B交于点O，连接OM，
在△B1AC中，M，O分别为AC，AB1的中点，
所以OM∥B1C，又OM 平面A1BM，B1C 平面A1BM，
所以B1C∥平面A1BM．
(2)证明：因为AA1⊥底面ABC，BM 平面ABC，所以AA1⊥BM，
又M为棱AC的中点，AB＝BC，
所以BM⊥AC，
因为AA1∩AC＝A，AA1，AC 平面ACC1A1，
所以BM⊥平面ACC1A1，又AC1 平面ACC1A1，
所以BM⊥AC1．
因为AC＝2，所以AM＝1，又AA1＝，
在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，tan ∠AC1C＝tan ∠A1MA＝，
所以∠AC1C＝∠A1MA，即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
所以A1M⊥AC1，又BM∩A1M＝M，BM，A1M 平面A1BM，
所以AC1⊥平面A1BM．
(3)当点N为BB1的中点，即＝时，平面AC1N⊥平面AA1C1C．
证明如下：设AC1的中点为D，连接DM，DN．
因为D，M分别为AC1，AC的中点，
所以DM∥CC1且DM＝CC1，
又N为BB1的中点，
所以DM∥BN且DM＝BN，
所以四边形BNDM为平行四边形，故BM∥DN，
由(2)知：BM⊥平面ACC1A1，
所以DN⊥平面ACC1A1，
又DN 平面AC1N，
所以平面AC1N⊥平面ACC1A1．
反思领悟 求条件探索性问题的主要途径
1．(1)先猜后证，即先观察后尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．涉及点的位置的探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似设点．
巩固迁移4 如图，在四面体C-ABD中，CB＝CD，AB＝AD，∠BAD＝90°，E，F分别是BC，AC的中点．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)在AC上能否找到一点M，使BF∥平面MED？请说明理由；
(3)若CA＝CB，求证：平面BCD⊥平面ABD．
[解] (1)证明：取BD的中点O，连接AO，CO，
在△BCD中，∵CB＝CD，
∴CO⊥BD，同理AO⊥BD，而AO∩CO＝O，AO，CO 平面AOC，
∴BD⊥平面AOC．
又AC 平面AOC，∴AC⊥BD．
(2)在AC上能找到一点M，使BF∥平面MED，此时M为FC的中点，证明如下：
连接EM，DM，DE，∵E是BC的中点，
∴BF∥EM．
∵EM 平面MED，BF 平面MED，
∴BF∥平面MED，
∴FC的中点M即为所求．
(3)证明：∵∠BAD＝90°，∴AO＝BO．
∵CA＝CB，CO是公共边，
∴△COA≌△COB，从而∠COA＝∠COB，
由(1)可知CO⊥BD，∴∠COB＝90°，
∴∠COA＝90°，即CO⊥OA．
∵BD∩OA＝O，BD，OA 平面ABD，
∴CO⊥平面ABD．
∵CO 平面BCD，
∴平面BCD⊥平面ABD．
几何法求线面角
[典例1] 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，求C1O与平面ADD1A1所成角的正弦值．
[解] 取BC的中点E，连接OE，C1E，
∴OE⊥BC．
∵平面BCC1B1⊥底面ABCD，平面BCC1B1∩底面ABCD＝BC，OE 底面ABCD，
∴OE⊥平面BCC1B1，又EC1 平面BCC1B1，∴OE⊥EC1，
∴∠OC1E是OC1与平面BCC1B1所成的角．
∵OE＝AB＝，OC1＝2，
∴在Rt△OEC1中，sin ∠OC1E＝＝＝．
又∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，
∴OC1与平面ADD1A1所成角的正弦值为．
反思领悟 求线面角的三个步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
应用体验1 (2024·杭州质检)在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是( )
A． B．
C． D．
C [取BC的中点E，
连接DE，AE，如图．
依题意三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱，
设棱长为2，则AE＝，DE＝1，
因为D，E分别是BC1和BC的中点，
所以DE∥CC1，
所以DE⊥平面ABC，
所以DE⊥AE，
所以AD＝＝＝2．
因为AE⊥BC，AE⊥DE，BC∩DE＝E，
BC，DE 平面BB1C1C，
所以AE⊥平面BB1C1C，
所以∠ADE是AD与平面BB1C1C所成的角，
所以sin ∠ADE＝＝，
所以AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是．]
几何法求二面角
[典例2] 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P-MN-O的大小为( )
A． B．
C． D．
B [如图，取MN的中点E，连接OE，PE，
因为OM＝ON，
所以OE⊥MN，
因为PM＝PN，
所以PE⊥MN，
所以∠PEO是二面角P-MN-O的平面角，
因为PO⊥平面OMN，OE 平面OMN，
所以PO⊥OE，
因为∠MON＝，OM＝2，
所以OE＝OM·cos ＝2×＝，
因为PO＝1，
所以tan ∠PEO＝＝，
结合图知∠PEO＝，
所以二面角P-MN-O的大小为．]
反思领悟 作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
应用体验2 如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
[解] 如图，取CD中点O，连接AO，BO．
∵三棱锥A-BCD的各棱长均为2，
∴AO⊥CD，BO⊥CD，
∴∠AOB是二面角A-CD-B的平面角，
由题意得AO＝BO＝，
AB＝2，
∴cos ∠AOB＝＝＝，
∴二面角A-CD-B的余弦值为．
1．(多选)(人教A版必修第二册P162练习T1改编)下列说法正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
CD [对于A，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误；对于B，若平面α⊥平面β，则两平面一定相交，设交线为直线a，显然a α，但直线a与平面β不垂直，故B错误；对于C，若平面α⊥平面β，它们的交线记为直线l，显然直线l 平面β，在平面α内一定有直线m∥l，则直线m∥平面β，故C正确；对于D，若平面α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，所以如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，故D正确．]
2．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A．若m⊥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C [对于A，过直线n找一个平面与平面α相交，设交线为l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，因为m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故A不正确．对于B，若m∥α，α∥β，则m β或m∥β，故B不正确．对于C，因为m⊥α，m⊥n，所以n∥α或n α．当n α时，因为n⊥β，所以根据面面垂直的判定定理可得α⊥β；当n∥α时，过n作平面γ∩α＝l，根据线面平行的性质定理可得n∥l，又因为n⊥β，所以l⊥β，又因为l α，所以α⊥β．综上，C正确．对于D，若α⊥β，设α∩β＝l，作直线m∥l，则m∥α，m∥β，故D不正确．]
3．(2024·石嘴山平罗县三模)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，m α，n β，m⊥n，则“m⊥β”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [因为m⊥β，m α，所以α⊥β，所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分条件；
α⊥β，m α，n β，m⊥n，只有m垂直于两个平面的交线时，才有m⊥β，
所以“m⊥β”不是“α⊥β”的必要条件，
所以“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件．故选A．]
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
2 [作CH⊥AB于点H，连接PH(图略)．因为PC⊥平面ABC，所以PH⊥AB，所以PH为PM的最小值，由题意可得BC＝AB cos 60°＝4，AC＝AB sin 60°＝4，所以AP＝＝8，PB＝＝4，所以S△ABP＝PB·hPB＝PH·AB，即4＝8PH，所以PH＝2．]
【教用·备选题】 1．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，则“l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B [若l⊥α成立，因为m，n在平面α内， 所以l⊥m且l⊥n，是必要条件； 若l⊥m且l⊥n，当m∥n时，不能推出l⊥α，不是充分条件．故选B．] 2．(2024·太原二中月考)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成的角为( ) A． B． C． D． A [如图，连接BD，交AC于点O．因为PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC，BD⊥PA．又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，故BO⊥平面PAC．连接OP，则∠BPO即为直线PB与平面PAC所成的角． 又因为PA＝AB＝2，所以PB＝2，BO＝， 所以sin ∠BPO＝＝， 所以∠BPO＝．故选A．] 3．(2025·延安模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，M为线段PD的中点．求证： (1)PB∥平面ACM； (2)CD⊥平面PAD； (3)平面AMC⊥平面PCD． [证明] (1)如图，连接BD，交AC于点O，连接MO， 因为底面ABCD为正方形，所以O是BD中点，又M为线段PD的中点， 所以PB∥MO，而MO 平面ACM，PB 平面ACM， 所以PB∥平面ACM． (2)因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD． 因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD． 又因为PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD， 所以CD⊥平面PAD． (3)由(2)知CD⊥平面PAD，又AM 平面PAD，所以CD⊥AM． 因为M为线段PD的中点，PA＝AD，所以AM⊥PD． 因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD， 所以AM⊥平面PCD．又AM 平面AMC， 所以平面AMC⊥平面PCD． 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，AB＝1，AD＝4，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点． (1)求证：平面PAC⊥平面AEF； (2)若PA＝2，求二面角E-AC-B的大小． [解] (1)证明：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BCA＝30°，AB＝1， 所以AC＝2． 在△ACD中，AD＝4，∠CDA＝30°， 则由＝， 可得sin ∠ACD＝1． 又0°<∠ACD<180°，故∠ACD＝90°， 所以AC⊥CD． 由PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD， 则PA⊥CD． 又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，故CD⊥平面PAC， 由E，F分别为PD，PC的中点， 故EF∥CD，则EF⊥平面PAC． 又EF 平面AEF，所以平面PAC⊥平面AEF． (2)如图所示，取AD的中点H，连接EH，由E为PD的中点，可知EH∥PA． 由PA⊥平面ABCD，得EH⊥平面ABCD，又AC 平面ABCD，故AC⊥EH． 取AC的中点G，连接GH，GE，则GH∥CD，由(1)知AC⊥CD，所以GH⊥AC． 又EH∩GH＝H，EH，GH 平面EHG， 故AC⊥平面EHG， 因此AC⊥GE． 由GH⊥AC，AC⊥GE，可知∠EGH为锐二面角E-AC-D的平面角． 由PA＝2知EH＝1，由(1)易得CD＝2，则GH＝， tan ∠EGH＝＝， 故∠EGH＝30°， 由图可知钝二面角E-AC-B的大小为180°－∠EGH＝150°．
课后习题(四十五) 空间直线、平面的垂直
1．(人教A版必修第二册P162练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β
B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
C．若α⊥β，l α，则l⊥β
D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β
D [对于A，若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l β或l∥β或l与β相交，故选项A不正确；
对于B，若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，故选项B不正确；
对于C，若α⊥β，l α，则l β或l∥β或l与β相交，故选项C不正确；
对于D，若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知选项D正确．
故选D．]
2．(多选)(人教A版必修第二册P165习题8.6T21改编)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的是( )
A．BC⊥平面PAB B．AD⊥PC
C．AD⊥平面PBC D．PB⊥平面ADC
ABC [∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，又AB⊥BC，AB，PA 平面PAB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确．由BC⊥平面PAB，AD 平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB．∵PB∩BC＝B，PB，BC 平面PBC，∴AD⊥平面PBC，∵PC 平面PBC，∴AD⊥PC，故B，C正确．由BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，得BC⊥PB．∵BC与CD不平行，∴PB与CD不垂直，∴PB不与平面ADC垂直，故D错误．故选ABC．]
3．(人教B版必修第四册P124习题11－4BT2改编)如图，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的任意一点，过点A作AE ⊥PC，垂足为E．求证：AE⊥平面PBC．
[证明] 因为PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以PA⊥BC．
因为AB是圆O的直径，所以BC⊥AC．
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE．
又PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC．
4．(苏教版必修第二册P187习题13.2(3)T8改编)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，E，F分别是PB，CD的中点．
(1)证明：EF∥平面PAD；
(2)证明：EF⊥平面PAB；
(3)若PB⊥平面AEF，求四棱锥E-ABCF的体积．
[解] (1)证明：如图，取AP的中点M，连接MD，ME．
因为E，M，F分别是PB，PA，CD的中点，四边形ABCD是矩形，
所以ME∥AB，ME＝AB，且DF∥AB，DF＝AB，
所以ME∥DF，ME＝DF，
所以四边形EFDM为平行四边形，所以EF∥MD．
又MD 平面PAD，EF 平面PAD，所以EF∥平面PAD．
(2)证明：因为PD＝AD＝1，M为AP的中点，
所以DM⊥AP，
因为PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，所以PD⊥AB，因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，
又PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
又因为DM 平面PAD，所以AB⊥DM，
又因为AB∩AP＝A，AB，AP 平面ABP，
所以DM⊥平面ABP，
由(1)知EF∥MD，所以EF⊥平面PAB．
(3)因为PD⊥平面ABCD，AB，AD 平面ABCD，
所以PD⊥AB，PD⊥AD，
又PD＝AD＝1，所以PA＝，
因为PB⊥平面AEF，AE 平面AEF，所以PB⊥AE，
又E是PB的中点，所以AB＝PA＝，CF＝，
所以直角梯形ABCF的面积S＝×1＝．
因为点E到平面ABCF的距离d＝PD＝，
所以VE-ABCF＝＝．
5．(多选)(2024·三门峡卢氏县期末)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中不正确的是( )
A．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α⊥β
B．若α∥β，m α，m∥n，则n∥β
C．若m，n是两条不同的异面直线，m∥α，n∥β，m β，n α，则α∥β
D．若m⊥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角互余
ABD [对于A，m∥n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，则α∥β，所以α⊥β不正确，A不正确；
对于B，α∥β，m α，m∥n，则n∥β或n β，故B不正确；
对于C，若m，n是两条不同的异面直线，m∥α，n∥β，m β，n α，则α∥β，C正确；
对于D，当m⊥n时，m，n与α所成的角没有关系，当α∥β时，
由面面平行的性质知n与α，β所成的角相等，m与α，β所成的角相等，
因此m与α所成的角和n与β所成的角不一定互余，D不正确．故选ABD．]
6．(2025·宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n．则“l，m，n两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
C [当α，β，γ两两垂直时，在β内作a⊥l，在γ内作b⊥n，
因为α⊥β，α∩β＝l，γ⊥α，γ∩α＝n，所以a⊥α，b⊥α，
所以a∥b，因为a γ，b γ，所以a∥γ，
因为a β，β∩γ＝m，所以a∥m，因为a⊥α，所以m⊥α，
因为l，n α，所以m⊥l，m⊥n，同理可证得n⊥l，所以l，m，n两两垂直；
当l，m，n两两垂直时，因为α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，
所以n，l α，l，m β，m，n γ，因为m⊥n，所以m与n是相交直线，
因为l⊥m，l⊥n，m，n γ，所以l⊥γ，因为l α，l β，所以α⊥γ，β⊥γ，
同理可证得α⊥β，所以α，β，γ两两垂直，
所以“l，m，n两两垂直”是“α，β，γ两两垂直”的充要条件．故选C．]
7．(2024·临沂河东区期末)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断不正确的是( )
A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EF
C．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC
C [在A中，∵C为圆上异于A，B的任意一点，
∴BC⊥AC．∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC．又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，故A正确；
在B中，∵BC⊥平面PAC，AE 平面PAC，
∴BC⊥AE，
∵AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．
∵EF 平面PBC，∴AE⊥EF，故B正确；
在C中，若AC⊥PB，则AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，
故AC与PB不垂直，故C错误；
在D中，∵AE⊥平面PBC，AE 平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PBC，故D正确．故选C．]
8．(多选)(2025·玉溪模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠A1AC＝∠ACB，P为线段BB1的中点，点N为线段A1B1上靠近B1的三等分点，则( )
A．AC⊥CB
B．AC⊥CB1
C．AC⊥平面NPC
D．平面ACP⊥平面BCC1B1
ABD [对于A，因为∠CAB＝∠CBA＝45°，
所以∠ACB＝90°，
即AC⊥CB，故A正确；
对于B，因为∠A1AC＝∠ACB＝90°，
∴侧面AA1C1C为矩形，故AC⊥CC1，
又AC⊥BC，BC∩CC1＝C，
BC，CC1 平面CC1B1B，
所以AC⊥平面CC1B1B，
而CB1 平面CC1B1B，故AC⊥CB1，故B正确；
对于C，因为平面NPC∩平面CC1B1B＝CP，AC⊥平面CC1B1B，
所以AC不垂直于平面NPC，故C错误；
对于D，因为AC 平面ACP，AC⊥平面CC1B1B，
所以平面ACP⊥平面CC1B1B，D正确．
故选ABD．]
9．(2025·西安模拟)如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下面结论中正确的序号是________．
①AE⊥CE；②BE⊥DE；③DE⊥平面BCE；④平面ADE⊥平面BCE．
①②④ [因为四边形ABCD是圆柱的轴截面，则线段AB是底面圆的直径，BC，AD都是母线，
又E是底面圆周上异于A，B的一点，于是AE⊥BE，
而BC⊥平面ABE，AE 平面ABE，则BC⊥AE．
因为BC∩BE＝B，BC，BE 平面BCE，则AE⊥平面BCE．
因为CE 平面BCE，因此得AE⊥CE，①正确；
同理，BE⊥DE，②正确；
点D不在底面ABE内，而直线AE在底面ABE内，即AE，DE是两条不同直线，
若DE⊥平面BCE，又AE⊥平面BCE，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；
因为AE⊥平面BCE，而AE 平面ADE，于是得平面ADE⊥平面BCE，④正确．
故答案为①②④．]
10．(2025·临川模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为正确的条件即可)
DM⊥PC(或BM⊥PC等) [∵PA⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，
∴BD⊥PA．连接AC(图略)，
易知BD⊥AC，又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，又PC 平面PAC，
∴BD⊥PC，
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，
即有PC⊥平面MBD，
而PC 平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD．]
11．(2025·湛江模拟)如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
(1)求证：AE⊥平面PBC；
(2)设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．
[证明] (1)∵四边形ABCD为矩形，
∴BC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴BC⊥PA．
又∵PA∩AB＝A，PA 平面PAB，AB 平面PAB，∴BC⊥平面PAB．
又∵AE 平面PAB，∴AE⊥BC．
又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB 平面PBC，BC 平面PBC，
∴AE⊥平面PBC．
(2)∵PC 平面PBC，AE⊥平面PBC，
∴AE⊥PC．
又AF⊥PC，AE∩AF＝A，AE 平面AEF，AF 平面AEF，
∴PC⊥平面AEF．
∵底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PA．
又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，又AG 平面PAD，
∴CD⊥AG．
∵PC⊥平面AEF，AG 平面AEF，
∴PC⊥AG．
又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AG⊥平面PCD．
又PD 平面PCD，
∴AG⊥PD．
12．(2025·淮北模拟)如图所示，在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
(1)求证：AD⊥CC1；
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥侧面BB1C1C，则AM＝MA1成立吗？请说明理由．
[解] (1)证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，AD 底面ABC，
∴AD⊥侧面BB1C1C．
又CC1 侧面BB1C1C1，
∴AD⊥CC1．
(2)证明：如图，延长B1A1，与BM的延长线交于点N，
连接C1N，
则C1N 平面MBC1，
∵AM＝MA1，
∴NA1＝A1B1
∵A1B1＝A1C1，
∴A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，由已知侧面BB1C1C⊥底面ABC，
∴侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1，
又C1N 底面A1B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C．
又C1N 截面MBC1，
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
(3)成立，理由如下：
过M作ME⊥BC1于点E，连接DE．
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，根据面面垂直的性质定理，
∴ME⊥侧面BB1C1C．
又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，
∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，MA 平面AMED，
平面AMED∩平面BB1C1C＝DE，∴AM∥DE．
∴四边形AMED是平行四边形．
又AM∥CC1，∴DE∥CC1．
∵D是BC的中点，
∴E是BC1的中点，
∴DE＝CC1，∴AM＝CC1＝AA1，
∴AM＝MA1．
1/1第4课时 空间直线、平面的垂直
[考试要求] 1．从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．
考点一 与线、面垂直相关命题的判定
1．定义：一般地，如果直线l与平面α内的____一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
3．如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
[典例1] (多选)(2025·辽宁模拟)已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是( )
A．若m α，α∥β，则m∥β
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m⊥α，α∥β，n β，则m⊥n
D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
[听课记录]
反思领悟 与线、面垂直关系有关命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明线、面关系要做到作图快、准，甚至不需要作图，通过空间想象来判断．
(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．
(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．
巩固迁移1 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．若直线l满足l⊥m，l⊥n，l α，l β，则下列说法正确的是( )
A．α∥β，l∥α
B．α⊥β，l⊥β
C．α与β相交，且交线平行于l
D．α与β相交，且交线垂直于l
考点二 直线与平面垂直的判定与性质
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一条直线与一个平面内的两条____直线垂直，那么该直线与此平面垂直 l⊥α
性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线____ a∥b
[典例2] (2024·郑州一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE．
[听课记录]
反思领悟 证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．
巩固迁移2 (人教A版必修第二册P163习题8.6T4改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1＝；③AA1＝．
考点三 平面与平面垂直的判定与性质
1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．
2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面过另一个平面的____，那么这两个平面垂直 α⊥β
性质 定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的____，那么这条直线与另一个平面垂直 l⊥α
[典例3] (2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．
[听课记录]
反思领悟 1．证明面面垂直的主要方法是面面垂直的判定定理，其本质是证明线面垂直，而证明的关键是考虑证哪条线垂直哪个面．如本例(1)证明平面ACC1A1⊥平面BB1C1C的关键是证明平面BB1C1C内的直线BC垂直于平面ACC1A1．
2．两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
巩固迁移3 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点．
(1)求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB；
(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．
考点四 垂直与平行关系的综合应用
[典例4] (2025·咸阳模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，M为棱AC的中点，AB＝BC，AC＝2，AA1＝．
(1)求证：B1C∥平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
[听课记录]
反思领悟 求条件探索性问题的主要途径
1．(1)先猜后证，即先观察后尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
2．涉及点的位置的探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置，再给出证明．探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似设点．
巩固迁移4 如图，在四面体C-ABD中，CB＝CD，AB＝AD，∠BAD＝90°，E，F分别是BC，AC的中点．
(1)求证：AC⊥BD；
(2)在AC上能否找到一点M，使BF∥平面MED？请说明理由；
(3)若CA＝CB，求证：平面BCD⊥平面ABD．
几何法求线面角
[典例1] 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，求C1O与平面ADD1A1所成角的正弦值．
[听课记录]
反思领悟 求线面角的三个步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解．
应用体验1 (2024·杭州质检)在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所成角的正弦值是( )
A． B．
C． D．
几何法求二面角
[典例2] 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PO＝1，底面半径为2，M，N是底面圆周上两点，且∠MON＝，则二面角P-MN-O的大小为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 作二面角的平面角的方法
作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
应用体验2 如图，已知三棱锥A-BCD的各棱长均为2，求二面角A-CD-B的余弦值．
1．(多选)(人教A版必修第二册P162练习T1改编)下列说法正确的是( )
A．垂直于同一条直线的两条直线平行
B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
2．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A．若m⊥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
D．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
3．(2024·石嘴山平罗县三模)已知m，n为两条直线，α，β为两个平面，m α，n β，m⊥n，则“m⊥β”是“α⊥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是边AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
1/1
