第6课时 向量法求空间角(一)
[考试要求] 能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角的问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
考点一 异面直线所成的角
异面直线所成的角：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
[典例1] (1)(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)A [(1)由AB＝AC＝，BC＝2，可得AB⊥AC，故以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，)，
B(，0，0)，C(0，，0)，
所以D，
所以＝＝(0，，－)，
所以cos |〈〉|＝＝，
所以异面直线AD与A1C所成的角为．故选B．
(2)因为∠AOD＝2∠BOD，
且∠AOD＋∠BOD＝π，
所以∠BOD＝，
连接CO，则CO⊥平面ABD，以点O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设圆O的半径为2，则A(0，－2，0)，B(0，2，0)，
C(0，0，2)，D(，1，0)，
＝(，3，0)，＝(0，－2，2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为．]
反思领悟 异面直线所成角的取值范围为，向量夹角的范围为[0，π]，所以若求得的两异面直线所成角的余弦值为负值，则取其绝对值．
巩固迁移1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则异面直线PB与AD1所成的角为( )
A． B．
C． D．
D [法一：如图，连接C1P，因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面B1BP，所以C1P⊥平面B1BP．又BP 平面B1BP，所以C1P⊥BP．连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2 ，sin ∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝．故选D．
法二：以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，＝(－1，－1，2)，＝(2，0，－2)．设直线PB与AD1所成的角为θ，则cos θ＝＝＝．因为θ∈，所以θ＝．故选D．]
考点二 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角：如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
[典例2] (2025·南阳模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2，AB＝1，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．求直线GC与平面PCD所成角的正弦值．
[解] 因为PA⊥底面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，因为AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两互相垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0，0，0)，G，C(1，1，0)，D(0，2，0)，
P(0，0，1)，
所以＝＝(1，1，－1)，＝(0，2，－1)，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则所以
令y＝1，可得z＝2，x＝1，
所以n＝(1，1，2)为平面PCD的一个法向量．
设直线GC与平面PCD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝
＝＝，
所以直线GC与平面PCD所成角的正弦值为．
反思领悟 本例通过平面的法向量求直线与平面所成的角，即求出直线的方向向量与平面的法向量n所成的锐角或钝角的补角，取其余角才是直线与平面所成的角，与n的夹角不是线面角．
巩固迁移2 (2022·全国甲卷) 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB 所成角的正弦值．
[解] (1)证明：在四边形ABCD中，作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，
因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，
所以AE＝BF＝，
故DE＝，BD＝＝，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以AD⊥BD，
因为PD⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PD⊥BD，
又PD∩AD＝D，
所以BD⊥平面PAD，
又因为PA 平面PAD，
所以BD⊥PA．
(2)由题意，PD，AD，BD两两垂直．如图，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，P(0，0，)，
则＝(－1，0，)，＝(0，－)，＝(0，0，)，
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则有可取n＝(，1，1)为平面PAB的一个法向量，设PD与平面PAB所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝，
所以PD与平面PAB所成角的正弦值为．
【教用·备选题】
(2022·全国乙卷)如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
(1)证明：平面BED⊥平面ACD；
(2)设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：因为AD＝CD，E为AC的中点，所以AC⊥DE，
在△ABD和△CBD中，
因为AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因为E为AC的中点，
所以AC⊥BE，
又因为DE，BE 平面BED，DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因为AC 平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD．
(2)连接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，
因为EF 平面BED，
所以AC⊥EF，
所以S△AFC＝AC·EF，
当EF⊥BD时，EF最小，即△AFC的面积最小．
因为△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因为∠ACB＝60°，所以△ABC是等边三角形，
因为E为AC的中点，
所以AE＝EC＝1，BE＝，
因为AD⊥CD，所以DE＝AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，
所以BE⊥DE．
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，0，1)，
所以＝(－1，0，1)，＝(－1，，0)，
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取y＝，则n＝(3，，3)为平面ABD的一个法向量，
因为EF⊥BD，所以由＝，得DF＝＝BD，设F (a，b，c)，所以＝(a，b，c－1)，＝(0，，－1)，由＝，
得(a，b，c－1)＝(0，，－1)，
即F．
又因为C(－1，0，0)，
所以＝，
设CF与平面ABD所成的角为θ，
所以sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，
所以CF与平面ABD所成角的正弦值为．
1．(人教A版选择性必修第一册P38练习T1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
A [如图，建立空间直角坐标系．设BC＝CA＝CC1＝1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，
D1，F1，
所以＝＝，
所以|cos 〈〉|＝
＝＝．
即BD1与AF1所成角的余弦值是．]
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线DC1与平面ACE所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
A [以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0)，E(2，1，2)，C(0，2，0)，所以＝(0，2，2)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，0)．设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，所以
取z＝1，则m＝(－2，－2，1)为平面ACE的一个法向量．
设直线DC1与平面ACE所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝．]
3．已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝，E为PC的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．
[建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，)，D(0，2，0)，
E，
所以＝＝(0，2，－)，设异面直线BE与PD所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为．]
【教用·备选题】 1．(2025·淮安洪泽区模拟)如图，在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B1B，BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形，平面A1B1C1D1∥平面ABC，E是棱AA1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A． B． C． D． B [在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B1B，BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形，平面A1B1C1D1∥平面ABC，可把该几何体补成一个正方体ABCD-A1B1C1D1，设该正方体的棱长为2，如图所示，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 可得A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，C1(0，2，2)， 可得＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，＝(2，－2，－1)， 设平面ACD1的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，可得y＝1，z＝1，所以n＝(1，1，1)， 设直线EC1与平面ACD1所成的角为θ，其中θ∈， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 则cos θ＝＝， 即直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为．故选B．] 2．(2024·渭南一模)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，M是A1B1的中点，则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为( ) A． B． C． D． B [在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1，M是A1B1的中点， 以A为坐标原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 设BC＝2，则C(0，2，0)，M＝， 平面ABC的一个法向量为n＝(0，0，1)，设直线CM与平面ABC所成的角为θ， 则sinθ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝． 则直线CM与平面ABC所成角的正弦值为．故选B．] 3．(2025·泸州合江县模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为( ) A． B． C． D．－ C [因为M是A1C1的中点，△A1B1C1为等边三角形，可得B1M⊥A1C1， 又AA1⊥平面A1B1C1，B1M 平面A1B1C1，所以AA1⊥B1M，而AA1∩A1C1＝A1， 所以B1M⊥平面AA1C1C，以M为坐标原点，MB1，MC1所在直线分别为x，y轴，过M平行于AA1的直线为z轴建立空间直角坐标系， 设AA1＝AB＝2，则M(0，0，0)，A(0，－1，2)， B(，0，2)，C(0，1，2)，B1(，0，0)， 则＝(0，0，2)，＝(－，1，2)，＝(0，－1，2)， 设平面BB1C1C的法向量为n＝(a，b，c)， 则 取a＝，则b＝3，c＝0，所以n＝(，3，0)， 所以AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为|cos 〈，n〉|＝＝＝． 故选C．] 4．(2025·龙岩模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，则直线PB与平面PCD所成角的正切值为( ) A． B． C． D．2 C [取AD的中点O，连接PO，OC，∵PA＝PD＝， ∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD， 又平面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2， ∴OC⊥AD，故建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)， ∴＝(1，1，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，－1)， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取n＝(1，－1，－1)， ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 |cos 〈，n〉|＝＝＝， ∴直线PB与平面PCD所成角的余弦值为＝， ∴直线PB与平面PCD所成角的正切值为＝． 故选C．] 5．(2025·河池模拟)如图，AD⊥平面ABC，AC∥DE，∠BAC＝，AB＝AC＝AD＝2DE＝2，P是AB的中点，连接PE． (1)证明：PE∥平面BCD； (2)求PE与平面BDE所成角的正弦值． [解] (1)证明：取BC的中点F，连接PF，DF， 因为P，F分别为AB，BC的中点，则PF∥AC，且PF＝AC， 由题意可知DE∥AC，且DE＝AC，则DE∥PF，且DE＝PF， 可知四边形DEPF为平行四边形， 可得PE∥DF，又PE 平面BCD，DF 平面BCD， 所以PE∥平面BCD． (2)因为AD⊥平面ABC，∠BAC＝， 所以以A为坐标原点，AB，AC，AD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(2，0，0)，D(0，0，2)，E(0，－1，2)，P(1，0，0)， 可得＝(0，1，0)，＝(－2，0，2)，＝(－1，－1，2)， 设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝0，z＝1，可得n＝(1，0，1)， 设PE与平面BDE所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝＝＝， 所以PE与平面BDE所成角的正弦值为．
课后习题(四十七) 向量法求空间角(一)
1．(人教B版选择性必修第一册P37练习AT3改编)已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－．又两直线所成角的取值范围为，所以l1和l2所成角的余弦值为．]
2．(人教A版选择性必修第一册P41练习T3改编)在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2AD＝1，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [因为SA⊥平面ABCD，AD，AB 平面ABCD，
所以SA⊥AD，SA⊥AB，又底面ABCD是直角梯形，且BC＝2AD＝1，∠ABC＝90°，所以∠BAD＝90°，即AD⊥AB．
如图，以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
由SA＝AB＝BC＝2AD＝1，可得A(0，0，0)，S(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以＝(1，1，－1)，
因为SA⊥平面ABCD，所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，设SC与平面ABCD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝＝，
即直线SC与平面ABCD所成角的正弦值为，则SC与平面ABCD所成角的余弦值为＝．故选A．]
3．(人教B版选择性必修第一册P48练习B T3改编)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线AD1与平面BDE所成角的正弦值为________．
[由题意，以点D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
B(2，2，0)，E(0，2，1)，D1(0，0，2)，
所以＝(2，2，0)，＝(0，2，1)，＝(－2，0，2)，
设平面BDE的法向量为m＝(x，y，z)，
则
即令x＝1，得y＝－1，z＝2，则m＝(1，－1，2)为平面BDE的一个法向量．
设直线AD1与平面BDE所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝＝．]
4．(苏教版选择性必修第二册P45习题6.3T3改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，BB1的中点，求异面直线CM与D1N所成角的余弦值．
[解] 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，则C(1，1，0)，M，N，D1(0，1，1)．
∴＝＝，
∴·＝·＝－，
又||＝，||＝，
∴|cos〈〉|＝＝＝．
∴异面直线CM与D1N所成角的余弦值为．
5．(2024·长春绿园区期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠APB＝90°，∠CPA＝∠CPB＝60°，PA＝PB＝PC＝2，点D，E，F满足＝＝2＝，则直线CE与DF所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
D [设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，a·c＝b·c＝2×2×＝2，
＝＝＝a－c，＝＝)－＝(a－b＋c)，
所以·＝a2－a·b－a·c＋b·c－c2＝0，
故直线CE与DF所成的角为90°．故选D．]
6．(2025·连云港模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝BC＝2，AA1＝3，E为B1C1的中点，则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
B [建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0，2，0)，E(1，2，3)，A(2，0，0)，
由题意，平面BB1D1D的法向量为＝(－2，2，0)，又＝(1，0，3)，
设直线CE与平面BB1D1D所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈〉|＝＝
＝，
则直线CE与平面BB1D1D所成角的余弦值为＝．
故选B．]
7．(2024·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
A [不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，
∴＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，
∴|cos〈〉|＝＝＝．
∴直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为．]
8．(2025·汕头模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，E，F分别是AB，BB1的中点，则直线EF与BC1所成角的大小为________，直线EF与底面ABC所成角的大小为________．
60° 45° [以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BC＝AA1＝2，
则C1(2，0，2)，E(0，1，0)，
F (0，0，1)，B(0，0，0)，
则＝(0，－1，1)，＝(2，0，2)，
∴·＝2，∴cos 〈〉＝＝，
∴EF与BC1所成的角为60°．
∵FB⊥底面ABC，BF＝BE＝1，
∴∠FEB为直线EF与底面ABC所成的角，则∠FEB＝45°．]
9．(2024·榆林一模)在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，BC＝CD．
(1)证明：AC⊥BD；
(2)若AB＝BC＝BD，平面ABD⊥平面BCD，求直线AB与平面ACD所成角的正弦值．
[解] (1)证明：如图，取BD的中点O，连接OA，OC．
因为AB＝AD，BC＝CD，
所以OA⊥BD，OC⊥BD，又OA∩OC＝O，OA，OC 平面OAC，
所以BD⊥平面OAC．
因为AC 平面OAC，所以AC⊥BD．
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，OA 平面ABD，OA⊥BD，
所以OA⊥平面BCD．
以O为坐标原点，以OC，OD，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设BD＝2，则D(0，1，0)，B(0，－1，0)，C(，0，0)，A(0，0，)，
＝(0，－1，－)，＝(0，1，－)，
＝(，－1，0)，
设平面ACD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则
取z1＝1，则y1＝，x1＝1，可得n＝(1，，1)，设直线AB与平面ACD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝，
所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为．
10．(2025·焦作模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB，AC，AA1两两垂直，AB＝1，AC＝，AA1＝2，D为CC1的中点，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
(1)求证：A1C⊥BD；
(2)求直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值．
[解] (1)证明：由题意知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(0，，1)，A1(0，0，2)，B1(1，0，2)，
可得＝(0，，－2)，＝(－1，，1)，
则·＝0×(－1)＋＋(－2)×1＝0，所以⊥，
即A1C⊥BD．
(2)设平面AB1C的法向量为n＝(x，y，z)，
由(1)可得＝(0，，0)，＝(1，0，2)，
则
即令z＝1，
可得n＝(－2，0，1)，
设直线A1C与平面AB1C所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝．
所以直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值为．
1/1第6课时 向量法求空间角(一)
[考试要求] 能用向量法解决异面直线所成的角、直线与平面所成的角的问题，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
考点一 异面直线所成的角
异面直线所成的角：若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝．
[典例1] (1)(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝，BC＝2，D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为( )
A． B．
C． D．
(2)(2025·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．
[听课记录]
反思领悟 异面直线所成角的取值范围为，向量夹角的范围为[0，π]，所以若求得的两异面直线所成角的余弦值为负值，则取其绝对值．
巩固迁移1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则异面直线PB与AD1所成的角为( )
A． B．
C． D．
考点二 直线与平面所成的角
直线与平面所成的角：如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝．
[典例2] (2025·南阳模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝2，AB＝1，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点．求直线GC与平面PCD所成角的正弦值．
[听课记录]
反思领悟 本例通过平面的法向量求直线与平面所成的角，即求出直线的方向向量与平面的法向量n所成的锐角或钝角的补角，取其余角才是直线与平面所成的角，与n的夹角不是线面角．
巩固迁移2 (2022·全国甲卷) 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝．
(1)证明：BD⊥PA；
(2)求PD与平面PAB 所成角的正弦值．
1．(人教A版选择性必修第一册P38练习T1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( )
A． B．
C． D．
2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，则直线DC1与平面ACE所成角的正弦值为( )
A． B．
C． D．
3．已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝，E为PC的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．
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