滚动测试卷(四) 第一～七章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3，4}，则( )
[A] A∩B＝ [B] A∪B＝C
[C] A∪C＝C [D] A∩C＝B
2．等比数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则a7＝( )
[A] 32 [B] 24
[C] 20 [D] 16
3．已知直线a，b和平面α，a α，b α，则“a∥α”是“a∥b”的( )
[A] 充分不必要条件
[B] 必要不充分条件
[C] 充要条件
[D] 既不充分也不必要条件
4．(2025·铜川印台区模拟)已知直线l的一个方向向量为a＝(－2，1，t)，平面α的一个法向量为m＝(4，－2，－2)，若l⊥α，则实数t＝( )
[A] －1 [B] －2
[C] 1 [D] 2
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是( )
[A] A1B [B] A1D
[C] AC1 [D] A1C
6．(2024·眉山仁寿县期末)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝，AD＝，AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则线段AC1的长为( )
[A] 2 [B] 2
[C] [D] 3
7． x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，f (－1)＝0，则f (2 024)的值为( )
[A] 2 [B] 1
[C] 0 [D] －1
8．(2024·天津二模)在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1＝CC1＝DD1＝2BG＝4，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为( )
[A] V [B] V
[C] V [D] V
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，n是异面直线，m α，n β，那么( )
[A] 当m⊥β，或n⊥α时，α⊥β
[B] 当m∥β，且n∥α时，α∥β
[C] 当α⊥β时，m⊥β，或n⊥α
[D] 当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
10．已知函数f (x)＝sin ωx＋a cos ωx(x∈R，ω>0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则( )
[A] a＝
[B] 函数f 为偶函数
[C] 满足条件的正实数ω，存在且唯一
[D] f (x)是周期函数，且最小正周期为π
11．(2024·河北保定二模)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF＝EF＝2DF＝2，AE＝3，EB＝4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A′D′位置，且平面A′D′FE⊥平面BCFE，连接A′B，D′C，如图2，则( )
[A] BE⊥A′D′
[B] 平面A′EB∥平面D′FC
[C] 多面体A′EBCD′F为三棱台
[D] 直线A′D′与平面BCFE所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，若复数z满足(2＋i)z＝i，则＝________．
13．(2024·上海三模)已知空间向量a＝(1，－1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，m)共面，则实数m＝________．
14．(2024·四川遂宁三模)若长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，现给出以下四个命题：
①C1E⊥A1B；
②平面B1CE∥平面A1BD；
③三棱锥C1-B1CE的体积为；
④三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为24π．
则正确命题的序号是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·成都期末)如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．
(1)以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱；
(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
16．(15分)已知数列{an}满足an＋1－3an＝2n－1，且a1＝1．
(1)证明：数列{an＋n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
17．(15分)(2025·济南莱芜区模拟)如图所示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．
(1)求证：PQ⊥BQ；
(2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？并证明你的结论．
18．(17分)已知函数f (x)＝，当x＝1时，f (x)有极大值．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x>0时，证明：f (x)<．
19．(17分)(2024·海口模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”．现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B的大小为π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
1/1滚动测试卷(四) 第一～七章
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，C＝{1，2，3，4}，则( )
A．A∩B＝ B．A∪B＝C
C．A∪C＝C D．A∩C＝B
C [由题意得A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，A∪C＝{1，2，3，4}＝C，A∩C＝{1，2}＝A，故选C．]
2．等比数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则a7＝( )
A．32 B．24
C．20 D．16
A [设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则解得所以a7＝a1q6＝×26＝32．故选A．]
3．已知直线a，b和平面α，a α，b α，则“a∥α”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [若a α，b α，a∥α，则a∥b或a，b异面，故充分性不成立；若a α，b α，a∥b，则a∥α，故必要性成立．综上，“a∥α”是“a∥b”的必要不充分条件，故选B．]
4．(2025·铜川印台区模拟)已知直线l的一个方向向量为a＝(－2，1，t)，平面α的一个法向量为m＝(4，－2，－2)，若l⊥α，则实数t＝( )
A．－1 B．－2
C．1 D．2
C [因为直线l的一个方向向量为a＝(－2，1，t)，平面α的一个法向量为m＝(4，－2，－2)，又l⊥α，则a∥m，所以m＝－2a，则－2t＝－2，则t＝1．故选C．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M，N分别为AB，BB1，DD1的中点，则与平面MNP垂直的直线可以是( )
A．A1B B．A1D
C．AC1 D．A1C
D [连接AC，AB1，B1D1，AD1，A1C，A1C1(图略)，则MP∥AB1，MN∥B1D1，所以MP∥平面AB1D1，MN∥平面AB1D1，所以平面MNP∥平面AB1D1．由B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，得B1D1⊥平面AA1C1C，即B1D1⊥A1C．同理，A1C⊥AD1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以A1C⊥平面MNP．故选D．]
6．(2024·眉山仁寿县期末)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝，AD＝，AA1＝2，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则线段AC1的长为( )
A．2 B．2
C． D．3
B [由＝，可得||2＝＝()2＝＋2·，
因为底面为矩形，AB＝，AD＝，AA1＝2，
所以＝||2＝2＋2＝4，＝||2＝8，
又·＝()·＝··
＝||·||·cos 60°＋||·||·cos 60°
＝×2×2＝4，
所以||2＝||2＋2·＋||2＝4＋2×4＋8＝20，则||＝2．故选B．]
7． x∈R，f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，f (－1)＝0，则f (2 024)的值为( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
B [由f (x)＋f (x＋3)＝1－f (x)f (x＋3)，得f (x)＋f (x＋3)＋f (x)f (x＋3)＝1，所以f (x＋3)＋f (x＋6)＋f (x＋3)f (x＋6)＝1，所以f (x)＋f (x＋3)＋f (x)f (x＋3)＝f (x＋3)＋f (x＋6)＋f (x＋3)f (x＋6)，所以f (x)＋f (x)f (x＋3)＝f (x＋6)＋f (x＋3)f (x＋6)，所以f (x)＝f (x＋6)，
所以函数f (x)的周期为6，令x＝－1，得f (－1)＋f (2)＝1－f (－1)f (2)，所以f (2)＝1，所以f (2 024)＝f (2)＝1．故选B．]
8．(2024·天津二模)在如图所示的几何体中，底面ABCD是边长为4的正方形，AA1，BG，CC1，DD1均与底面ABCD垂直，且AA1＝CC1＝DD1＝2BG＝4，点E，F分别为线段BC，CC1的中点，记该几何体的体积为V，平面AFE将该几何体分为两部分，则体积较小的一部分的体积为( )
A．V B．V
C．V D．V
D [连接AD1，D1F，如图所示，由题意可知，EF∥AD1，
所以平面EFD1A即为平面AEF截几何体的截面．
因为AA1＝CC1＝DD1＝2BG＝4，AB＝BC＝CD＝DA＝4，
所以几何体的体积V＝4×4×4×4×4×2＝，
被截棱台的体积
＝×4×＝，
较大部分体积为V2＝40，
且＝＝，
所以较小部分的体积为＝V．
故选D．]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知m，n是异面直线，m α，n β，那么( )
A．当m⊥β，或n⊥α时，α⊥β
B．当m∥β，且n∥α时，α∥β
C．当α⊥β时，m⊥β，或n⊥α
D．当α，β不平行时，m与β不平行，且n与α不平行
AB [对于选项A，当m⊥β时，有α⊥β；当n⊥α时，有α⊥β，所以A正确；
对于选项B，当m∥β，n∥α时，作直线m′∥m，且m′∩n＝P，此时必有α∥β，所以B正确；
对于选项C，当α⊥β时，m∥β或m与β相交，所以m⊥β不一定成立；同理n⊥α也不一定成立，所以C错误；
对于选项D，当α，β不平行时，因为m α，n β，所以m可以与平面β平行，或者n可以与平面α平行，但不会同时有m∥β，n∥α，所以D错误．故选AB．]
10．已知函数f (x)＝sin ωx＋a cos ωx(x∈R，ω>0)的最大值为2，其部分图象如图所示，则( )
A．a＝
B．函数f为偶函数
C．满足条件的正实数ω，存在且唯一
D．f (x)是周期函数，且最小正周期为π
ACD [由题可知，f (0)＝a>0，函数f (x)的最大值为＝2，得 a＝，所以A正确；
f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为函数f (x)的图象过点，结合题图可得＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋8k(k∈Z)，又>，即ω<4，所以可知满足条件的正实数ω存在且唯一，为2，所以f (x)＝2sin ，函数f (x)的最小正周期为＝π，所以C正确，D正确；
f＝2sin ＝2sin 2x是奇函数，不是偶函数，所以B错误．故选ACD．]
11．(2024·河北保定二模)如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，EF⊥AB，CF＝EF＝2DF＝2，AE＝3，EB＝4，将四边形AEFD沿EF进行折叠，使AD到达A′D′位置，且平面A′D′FE⊥平面BCFE，连接A′B，D′C，如图2，则( )
A．BE⊥A′D′
B．平面A′EB∥平面D′FC
C．多面体A′EBCD′F为三棱台
D．直线A′D′与平面BCFE所成的角为
ABD [对于A，因为平面A′D′FE⊥平面BCFE，
平面A′D′FE∩平面BCFE＝EF，BE⊥EF，BE 平面BCFE，
所以BE⊥平面A′D′FE，又A′D′ 平面A′D′FE，
所以BE⊥A′D′，A正确；
对于B，因为A′E∥D′F，A′E 平面D′FC，
D′F 平面D′FC，
则A′E∥平面D′FC，
又BE∥CF，BE 平面D′FC，CF 平面D′FC，
则BE∥平面D′FC，
又A′E∩BE＝E，A′E，BE 平面A′EB，所以平面A′EB∥平面D′FC，B正确；
对于C，因为＝＝，则≠，
所以多面体A′EBCD′F不是三棱台，C错误；
对于D，延长A′D′，EF相交于点G，
因为平面A′D′FE⊥平面BCFE，平面A′D′FE∩平面BCFE＝EF，A′E 平面A′D′FE，A′E⊥EF，
所以A′E⊥平面BCFE，则∠A′GE为直线A′D′与平面BCFE所成的角．
因为A′E∥D′F，所以＝，
解得GF＝1，GE＝3，tan ∠A′GE＝＝1，
则∠A′GE＝，D正确．
故选ABD．]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知i是虚数单位，若复数z满足(2＋i)z＝i，则＝________．
[法一(整体代入法)：由题知z＝，所以＝＝．
法二(直接法)：由题知z＝＝＝i，
所以＝＝＝＝．]
13．(2024·上海三模)已知空间向量a＝(1，－1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，2，m)共面，则实数m＝________．
3 [设c＝xa＋yb，即(1，2，m)＝x(1，－1，0)＋y(0，1，1)，
故解得m＝y＝3．]
14．(2024·四川遂宁三模)若长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，现给出以下四个命题：
①C1E⊥A1B；
②平面B1CE∥平面A1BD；
③三棱锥C1-B1CE的体积为；
④三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积为24π．
则正确命题的序号是________．
③④ [对于①：由正方形的边长为2，长方体的高为4，可知C1E⊥CE，则D1C与C1E不垂直，又因为D1C∥A1B，所以A1B与C1E不垂直，故①错误；
对于②：因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，若平面B1CE∥平面A1BD，则有交线CE∥A1B，但事实上CE，A1B不平行，故②错误；
对于③：由底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则×4×2＝，故③正确；
对于④：三棱锥C1-B1CD1的外接球即为长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，
故外接球的半径R＝＝，
所以三棱锥C1-B1CD1的外接球的表面积S＝4πR2＝24π，故④正确．故答案为③④．]
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分)(2024·成都期末)如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r．
(1)以r为变量，表示圆柱的表面积S柱和体积V柱；
(2)当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？
[解] (1)如图，点O′为圆柱底面圆圆心，连接OO′，
OO′＝＝，
h＝2OO′＝2，
S柱＝2S底＋S侧＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2πr×2
＝2πr2＋4πr，
V柱＝S底h＝πr2×2＝2πr2．
(2)S侧＝4πr＝4π≤4π·＝8π，
当且仅当r2＝4－r2，即r＝时取等号，所以最大值为8π．
16．(15分)已知数列{an}满足an＋1－3an＝2n－1，且a1＝1．
(1)证明：数列{an＋n}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn．
[解] (1)证明：由＝
＝＝3，
可知数列{an＋n}是以a1＋1＝2为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)可知，an＋n＝2×3n-1，则an＝2×3n-1－n．
从而Sn＝(2×30－1)＋(2×31－2)＋…＋(2×3n-1－n)
＝2(30＋31＋…＋3n-1)－(1＋2＋…＋n)
＝
＝3n－－1．
17．(15分)(2025·济南莱芜区模拟)如图所示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．
(1)求证：PQ⊥BQ；
(2)在线段AB上是否存在一点N，使平面PCN⊥平面PQB？并证明你的结论．
[解] (1)证明：由正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点，
可得PQ⊥AD，PQ⊥平面ABCD，
而BQ 平面ABCD，则PQ⊥BQ．
(2)在线段AB上存在一点N，且N是AB的中点，使平面PCN⊥平面PQB．证明如下：
由(1)可得PQ⊥平面ABCD，又CN 平面ABCD，可得PQ⊥CN．
由N为AB的中点，可得BN＝AB，在直角三角形BCN中，tan ∠BCN＝＝，
在直角三角形AQB中，tan ∠AQB＝＝2，而∠CBQ＝∠AQB，则tan ∠CBQ＝tan ∠AQB＝2，
tan ∠CBQ·tan ∠BCN＝1，可得∠CBQ＋∠BCN＝90°，
即有CN⊥BQ，又BQ∩PQ＝Q，BQ，PQ 平面PBQ，可得CN⊥平面PBQ，
又CN 平面PCN，可得平面PCN⊥平面PQB．
18．(17分)已知函数f (x)＝，当x＝1时，f (x)有极大值．
(1)求实数a，b的值；
(2)当x>0时，证明：f (x)<．
[解] (1)函数f (x)的定义域为(－∞，＋∞)，且f′(x)＝，
因为x＝1时，f (x)有极大值，
所以解得a＝1，b＝0，
经检验，当a＝1，b＝0时，f (x)在x＝1处有极大值，
所以a＝1，b＝0．
(2)证明：由(1)知，f (x)＝，
当x>0时，要证f (x)<，即证<，即证ex>x＋1．
设g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1，
当x>0时，g′(x)＝ex－1>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)>g(0)＝0在(0，＋∞)上恒成立，即ex－x－1>0在(0，＋∞)上恒成立，即ex>x＋1在(0，＋∞)上恒成立，故当x>0时，f (x)<．
19．(17分)(2024·海口模拟)中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广：刍，草也，甍，屋盖也”．翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部有长没有宽为一条棱：刍甍为茅草屋顶”．现将一个正方形折叠成一个“刍甍”，如图1，E，F，G分别是正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍甍”，如图2．
(1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO∥平面GCF；
(2)若二面角A-EF-B的大小为π，求直线AB与平面GCF所成角的正弦值．
[解] (1)证明：取线段CF中点H，连接OH，GH，
由题意得四边形EBCF为矩形，AG＝EF，则O是EC的中点，
∴OH∥EF，且OH＝EF，∴OH∥AG，OH＝AG，
∴四边形AOHG是平行四边形，
∴AO∥GH，
又AO 平面GCF，GH 平面GCF，∴AO∥平面GCF．
(2)以E为坐标原点，分别以EB，EF所在的直线为x轴、y轴，过点E作z轴⊥平面EBCF，如图所示，由题图1可知AE⊥EF，EF⊥EB，
由二面角的定义可知∠AEB即为二面角A-EF-B的平面角，
即∠AEB＝π，
设BC＝2a，则E(0，0，0)，A，B(a，0，0)，G，C(a，2a，0)，F (0，2a，0)，
则＝＝(－a，0，0)，＝，
设平面GCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝2，则x＝0，y＝，
∴n＝(0，，2)，
设直线AB与平面GCF所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，
故直线AB与平面GCF所成角的正弦值为．
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