第2课时 两条直线的位置关系
[考试要求] 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
考点一 两条直线的位置关系的判断及应用
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0 且A1C2－A2C1＝0
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形．
[常用结论]
三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
[典例1] (1)(2025·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T2改编)若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
A．l1恒过点(2，－2)
B．若l1∥l2，则a2＝
C．若l1⊥l2，则a2＝1
D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
(1)A (2)C (3)BD [(1)由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，
解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．故选A．
(2)若“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”，则a2－1＝0，解得a＝1或a＝－1，
当a＝1时，直线l1：x＋y＋2＝0，l2：x＋y－4＝0，此时l1∥l2，符合题意；
当a＝－1时，直线l1：－x＋y＋2＝0，即l1：x－y－2＝0，l2：x－y－2＝0，此时l1，l2重合，不符合题意．
综上所述，“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”等价于“a＝1”．所以“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的充要条件．故选C．
(3)l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0 a(x＋y)＋x＋2＝0，有解得x＝－2，y＝2，故直线l1恒过点(－2，2)，故A不正确；若l1∥l2，则有(a＋1)·(1－a)＝a2，解得a2＝，故B正确；若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确；若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，>0，－≤0，解得0≤a<1，当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，也不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．故选BD．]
反思领悟 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．巩固迁移1 (1)(2024·河北期末)已知直线l1：ax＋y－3＝0和直线l2：3x－2y＋3＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2024·南阳期末)已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则实数m＝( )
A．－4 B．1
C．－4或1 D．－
(3)(2024·北京市通州区期末)过点P(－1，3)且与直线3x＋2y－5＝0平行的直线方程是________．
(1)D (2)C (3)3x＋2y－3＝0 [(1)由于直线l1：ax＋y－3＝0和直线l2：3x－2y＋3＝0垂直，
故3a－2＝0，解得a＝．故选D．
(2)由直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，
得即
解得m＝－4或1．故选C．
(3)∵直线3x＋2y－5＝0的斜率k＝－，∴所求直线斜率k′＝－，
故过点(－1，3)且与已知直线平行的直线方程为y－3＝－(x＋1)，
即3x＋2y－3＝0．]
考点二 两条直线的交点与距离问题
1．已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
2．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
两条直线的交点
[典例2] (2024·武威市凉州区开学考试)经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线2x－y－1＝0的直线方程为( )
A．x－2y－6＝0 B．x＋2y－2＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－2＝0
B [由解得可知直线2x－3y＋10＝0与3x＋4y－2＝0交于点(－2，2)，
与直线2x－y－1＝0垂直的直线，其斜率k＝－，故所求直线为y－2＝－(x＋2)，即x＋2y－2＝0．
故选B．]
反思领悟 本例可以先解方程组求出两直线的交点坐标(－2，2)，再由与直线2x－y－1＝0垂直求出所求直线的斜率k＝－，利用点斜式求直线方程；也可以借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
巩固迁移2 (1)(2024·常德市汉寿县月考)无论k为何实数，直线(2k＋1)x－(k－2)y－(k＋8)＝0恒过一个定点，这个定点是( )
A．(0，0) B．(2，3)
C．(3，2) D．(－2，3)
(2)(2024·济南二模)过直线x＋y＋1＝0和3x－y－3＝0的交点，倾斜角为45°的直线方程为________．
(1)B (2)x－y－2＝0 [(1)原直线方程可化为(2x－y－1)k＋(x＋2y－8)＝0，由直线恒过定点可知，
解得所以直线恒过定点(2，3)．故选B．
(2)联立解得x＝，y＝－，
所以两条直线的交点坐标为，
所以所求的直线方程为y＋＝tan 45°，
整理可得x－y－2＝0．]
距离问题
[典例3] (1)(多选)(2024·兰州市皋兰县期末)已知两条平行直线m，n，直线m：3x＋4y＋2＝0，直线n：6x＋8y＋a＝0，直线m，n之间的距离为1，则a的值可以是( )
A．－8 B．－6
C．12 D．14
(2)(多选)(2025·廊坊市香河县模拟)已知直线l经过点(2，3)，且点A(－3，2)，B(5，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( )
A．4x－y－5＝0 B．4x＋y－11＝0
C．3x＋4y－18＝0 D．3x－4y＋6＝0
(1)BD (2)AC [(1)将直线m：3x＋4y＋2＝0化为6x＋8y＋4＝0，
则m，n之间的距离d＝＝＝1，
即|a－4|＝10，解得a＝14或－6．故选BD．
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，
此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为3，显然不满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，
由已知得＝，所以k＝4或k＝－，
所以直线l的方程为4x－y－5＝0或3x＋4y－18＝0．
故选AC．]
反思领悟 本例(1)中，用两平行线间的距离求参数，直线方程须是一般式且要把直线m化为6x＋8y＋4＝0这种与直线n中x，y的系数相等的形式；本例(2)利用点到直线的距离求参数，应先把直线方程y－3＝k(x－2)化为一般式kx－y＋3－2k＝0．
巩固迁移3 (1)(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
(2)(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为( )
A． B．
C． D．
(1)C (2)A [(1)由题意得＝1，即|a＋1|＝，又a>0，所以a＝－1．故选C．
(2)由直线2x－4y－3＝0，可得x－2y－＝0，根据两条平行线间的距离公式知d＝＝．故选A．]
考点三 对称问题
1．点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)；点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
2．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
特别地：点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
3．点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为(y－b，x＋b)，关于直线y＝－x＋b的对称点为(b－y，b－x)．
特别地：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
4．设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直，
即
解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
点(或直线)关于点对称
[典例4] (苏教版选择性必修第一册P42习题1.5T18改编)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
B [法一：设所求直线上一点的坐标为(x，y)，则其关于点对称的点为，因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，
所以所求直线方程为3x－2y－2＝0．故选B．
法二：在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′，所以所求直线方程为＝，即3x－2y－2＝0．故选B．]
反思领悟 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式．
巩固迁移4 (2024·眉山市仁寿县期末)若直线l1：y＝k(x＋2)与直线l2关于点(1，2)对称，则直线l2恒过的定点为( )
A．(4，0) B．(4，2)
C．(2，4) D．(4，4)
D [直线l1：y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，
设点P(－2，0)关于点(1，2)的对称点为Q(a，b)，
则解得a＝4，b＝4，故直线l2恒过的定点为(4，4)．故选D．]
点(或直线)关于直线对称
[典例5] 一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0
C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0
C [设点P(－1，5)关于直线x－3y＋1＝0的对称点为P′(a，b)，
则解得
故反射光线过点P′(2，－4)与点(2，3)，
则反射光线所在直线的方程为x－2＝0．故选C．]
反思领悟 求点关于直线对称的对称点的关键是利用对称点之间的连线和对称轴互相垂直及两对称点的中点在直线上列方程组；直线关于直线对称的实质是点关于直线对称．
巩固迁移5 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
[解] (1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得所以A′．
(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，
则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点为M′(a，b)，则
得M′．
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4，3)．
又m′经过点N(4，3)，
所以直线m′的方程为9x－46y＋102＝0．
(3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
所以l′的方程为2x－3y－9＝0．
法二：因为l∥l′，
所以设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
因为点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
所以由点到直线的距离公式，
得＝，解得C＝－9，
所以l′的方程为2x－3y－9＝0．
1．(人教A版选择性必修第一册P57练习T1(1)改编)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
A [由题意可得直线l的斜率k＝－，所以l：y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0．故选A．]
2．(人教A版选择性必修第一册P72练习T3改编)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是( )
A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
A [经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0(λ∈R)，将原点(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0．故选A．]
3．(2024·上海市闵行区期末)点P(2，3)关于直线l：x＋y＝0的对称点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(－3，－2)
C．(－2，3) D．(3，2)
B [设点P(2，3)关于直线x＋y＝0的对称点A的坐标为(m，n)，
则有解得
故A(－3，－2)．
故选B．]
4．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的面积为________．
3 [∵A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，
∴＝(－3，3)，＝(1，1)，
∴·＝0，即AC⊥AB．
∴△ABC为直角三角形．
∵|AB|＝，|AC|＝3，
∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝×3＝3．]
【教用·备选题】 1．(2024·重庆市江北区月考)已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( ) A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0 B [线段AB的中点为，kAB＝＝－， ∴所求直线的斜率k＝＝2， ∴线段AB的垂直平分线的方程是 y－＝2(x－2) 4x－2y－5＝0，故选B．] 2．过点(1，－3)且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－7＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x＋y＋1＝0 D．2x－y－5＝0 A [设与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程是x－2y＋λ＝0， 因为所求直线过点(1，－3)，所以7＋λ＝0，即λ＝－7， 故所求的直线方程是x－2y－7＝0．故选A．] 3．(2024·海口市琼山区期末)设A(－2，2)，B(1，1)，若直线ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是( ) A．∪[2，＋∞) B． C．(－∞，－2] D． C [∵A(－2，2)，B(1，1)，直线ax＋y＋1＝0与线段AB有交点， ∴A，B在直线ax＋y＋1＝0的两侧或直线经过A，B中的一点． 可得(－2a＋2＋1)(a＋1＋1)≤0， 即(2a－3)(a＋2)≥0， 解得a≤－2或a≥． ∴a的取值范围是(－∞，－2]． 故选C．] 4．(2024·新余期末)若直线l1：ax－y＋1＝0与直线l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行，则l1与l2之间的距离为( ) A． B． C． D． D [当l1：ax－y＋1＝0与l2：(a＋2)x－ay－1＝0平行时， a×(－a)＝－(a＋2)且a×(－1)≠1×(a＋2)，解得a＝2(a＝－1时两条直线重合，舍去)． 所以直线l1：2x－y＋1＝0，直线l2：4x－2y－1＝0， 直线l1化成：4x－2y＋2＝0，可得l1与l2之间的距离d＝＝．故选D．] 5．(2025·重庆模拟)当点P(－1，0)到直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的距离最大时，实数λ的值为( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 B [直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0，整理得λ(3x＋y－4)＋(x＋y－2)＝0， 由可得故直线l恒过点A(1，1)，点P(－1，0)到直线l的距离的最大值即为点P(－1，0)到A(1，1)的距离，dmax＝＝， 此时kPA＝＝． 又直线l：(3λ＋1)x＋(λ＋1)y－(4λ＋2)＝0的斜率k＝－， 有－·＝－1，解得λ＝1．故选B．] 6．(2024·泰州市海陵区期末)已知点A(－2，1)，B(3，2)，C(7，－5)，则点B到直线AC的距离为( ) A． B． C． D． C [根据题意得kAC＝＝－， ∴直线AC的方程为y－1＝－(x＋2)，整理得2x＋3y＋1＝0， ∴点B到直线AC的距离为d＝＝． 故选C．] 7．若直线l：x＋ky＋＝0与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限，则直线l的倾斜角的取值范围是( ) A． B． C． D． D [由题意知直线x＋y－3＝0与坐标轴的交点为A(3，0)，B(0，3)，倾斜角为， 直线l：x＋ky＋＝0过定点C(－，0)， 直线BC的斜率为kBC＝＝， ∴直线BC的倾斜角为， ∵直线l：x＋ky＋＝0与直线x＋y－3＝0的交点位于第二象限， ∴直线l倾斜角的取值范围是，故选D．]
课后习题(五十一) 两条直线的位置关系
1．(人教B版选择性必修第一册P100练习BT4改编)已知点A(－1，2)，B(2，1)，C(0，4)，则△ABC的面积是( )
A． B．7
C． D．
A [kAB＝＝－，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0，
∴点C到直线AB的距离d＝，
又|AB|＝，∴S△ABC＝＝．
故选A．]
2．(人教B版选择性必修第一册P102习题2－2CT3改编)点A(1，2)关于直线l：x＋y－2＝0的对称点B的坐标是( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(0，－1) D．(2，1)
B [设点A(1，2)关于直线x＋y－2＝0的对称点B的坐标为(a，b)，则有解得故B(0，1)．故选B．]
3．(人教A版选择性必修第一册P79练习T2改编)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
2 [由两直线平行可知＝≠－(m≠0)，即m＝8．
∴两直线方程分别为3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7＝0，则它们之间的距离d＝＝2．]
4．(人教A版选择性必修第一册P79习题2.3 T9改编)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________．
－9 [由得
所以点(1，2)满足方程mx＋2y＋5＝0，
即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9．]
5．(2024·南阳市桐柏县期末)若两平行直线x＋2y＋m＝0(m＞0)与x－ny－3＝0之间的距离是，则m＋n＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．－2
A [∵两直线x＋2y＋m＝0(m＞0)与x－ny－3＝0平行，
∴－n－2＝0，解得n＝－2．
∵两平行直线x＋2y＋m＝0(m＞0)与x－ny－3＝0之间的距离是，
∴＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)．
∴m＋n＝0．故选A．]
6．(2024·郑州月考)已知直线l1：ax＋y－2＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋2＝0，l3：－2bx＋y＋1＝0，a，b∈R，有l1∥l2，l1⊥l3，则b＝( )
A．－或 B．
C．或－ D．
B [由l1∥l2，得a(a＋1)－2＝0，且2a＋4≠0，解得a＝1，
由l1⊥l3，得－2ab＋1＝0，解得b＝．故选B．]
7．(2024·海口市琼山区期末)已知入射光线经过点A(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点B(3，8)，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－1 B．
C．4 D．－4
C [设点A(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0对称的点为A′(a，b)，
则
解得a＝1，b＝0，即 A′(1，0)，
反射光线经过点A′，B，所以kA′B＝＝4，
即反射光线所在直线的斜率为4．故选C．]
8．(多选)(2024·常德市临澧县开学考试)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋2＝0，其中a∈R，则下列选项正确的是( )
A．直线l过定点(0，2)
B．当a＝0时，直线l与两坐标轴的截距相等
C．直线l与x＋y＝0垂直时，a＝0
D．若直线l与直线x－y＝0平行，则两条平行直线之间的距离为
AD [A中，当x＝0时，y＝2，所以直线l过定点(0，2)，故A正确；
B中，当a＝0时，直线l：x－y＋2＝0，直线l在x轴上的截距为－2，在y轴上的截距为2，故B错误；
C中，当直线l与x＋y＝0垂直时，(a2＋a＋1)·(－1)＝－1，解得a＝0或a＝－1，故C错误；
D中，若直线l与直线x－y＝0平行，
则解得a＝0或a＝－1，
当a＝0或a＝－1时，直线l：x－y＋2＝0与直线x－y＝0之间的距离为＝，故D正确．
故选AD．]
9．(2025·西安市长安区模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(－3，0)，若将军从山脚下的点B(－1，1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝1，则“将军饮马”的最短总路程为( )
A． B．3
C． D．5
C [根据题意，设点B(－1，1)关于直线x＋y＝1对称的点为C(m，n)，
则有解得即C(0，2)，
所以“将军饮马”的最短总路程为|AC|＝＝．
故选C．]
10．(2024·贵州期末)已知A(4，0)到直线4x－3y＋a＝0的距离等于3，则a的值为________．
－1或－31 [由点到直线的距离公式得，＝3，
即|a＋16|＝15，解得a＝－1或a＝－31．]
11．(2024·上海市静安区月考)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是________．
2x＋3y＋8＝0 [在所求直线上取点(x，y)，则点(x，y)关于点(1，－1)对称的点的坐标为(2－x，－2－y)，
代入直线2x＋3y－6＝0，可得2(2－x)＋3(－2－y)－6＝0，整理得2x＋3y＋8＝0．
故所求直线方程为2x＋3y＋8＝0．]
12．(2024·成都市青羊区开学考试)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0，
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)过点P(3，0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程．
[解] (1)根据题意，由
解得
所以直线l1与l2的交点坐标为．
(2)由＝可知，点P是线段AB的中点，
设B(x0，－3－x0)，所以点B关于点P(3，0)的对称点为A(6－x0，3＋x0)，
根据题意，可知点A在直线l1上，把点A(6－x0，3＋x0)代入l1 方程2x－y－2＝0，
得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝，
所以B，直线l的斜率kl＝＝8，
因此，直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0．
1/1第2课时 两条直线的位置关系
[考试要求] 1．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标．3．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
考点一 两条直线的位置关系的判断及应用
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系如下表：
位置关系 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 ________________ ________________________ _______________________
垂直 _______________ ______________________
相交 __________ ______________________
重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝0 且A1C2－A2C1＝0
提醒：在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直线斜率不存在的情形．
[常用结论]
三种直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2．
[典例1] (1)(2025·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是( )
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
(2)(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T2改编)若a为实数，则“a＝1”是“直线l1：ax＋y＋2＝0与l2：x＋ay－3－a＝0平行”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(3)(多选)已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则( )
A．l1恒过点(2，－2)
B．若l1∥l2，则a2＝
C．若l1⊥l2，则a2＝1
D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限
[听课记录]
反思领悟 (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
巩固迁移1 (1)(2024·河北期末)已知直线l1：ax＋y－3＝0和直线l2：3x－2y＋3＝0垂直，则a＝( )
A．－ B．
C．－ D．
(2)(2024·南阳期末)已知直线l1：(m＋2)x＋2y－1＝0与直线l2：3x＋(m＋1)y＋1＝0平行，则实数m＝( )
A．－4 B．1
C．－4或1 D．－
(3)(2024·北京市通州区期末)过点P(－1，3)且与直线3x＋2y－5＝0平行的直线方程是________．
考点二 两条直线的交点与距离问题
1．已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，则交点P的坐标是方程组的解．
2．三种距离公式
(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝．
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝．
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝．
两条直线的交点
[典例2] (2024·武威市凉州区开学考试)经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线2x－y－1＝0的直线方程为( )
A．x－2y－6＝0 B．x＋2y－2＝0
C．2x－y－3＝0 D．2x＋y－2＝0
[听课记录]
反思领悟 本例可以先解方程组求出两直线的交点坐标(－2，2)，再由与直线2x－y－1＝0垂直求出所求直线的斜率k＝－，利用点斜式求直线方程；也可以借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程．
巩固迁移2 (1)(2024·常德市汉寿县月考)无论k为何实数，直线(2k＋1)x－(k－2)y－(k＋8)＝0恒过一个定点，这个定点是( )
A．(0，0) B．(2，3)
C．(3，2) D．(－2，3)
(2)(2024·济南二模)过直线x＋y＋1＝0和3x－y－3＝0的交点，倾斜角为45°的直线方程为________．
距离问题
[典例3] (1)(多选)(2024·兰州市皋兰县期末)已知两条平行直线m，n，直线m：3x＋4y＋2＝0，直线n：6x＋8y＋a＝0，直线m，n之间的距离为1，则a的值可以是( )
A．－8 B．－6
C．12 D．14
(2)(多选)(2025·廊坊市香河县模拟)已知直线l经过点(2，3)，且点A(－3，2)，B(5，－4)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为( )
A．4x－y－5＝0 B．4x＋y－11＝0
C．3x＋4y－18＝0 D．3x－4y＋6＝0
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，用两平行线间的距离求参数，直线方程须是一般式且要把直线m化为6x＋8y＋4＝0这种与直线n中x，y的系数相等的形式；本例(2)利用点到直线的距离求参数，应先把直线方程y－3＝k(x－2)化为一般式kx－y＋3－2k＝0．
巩固迁移3 (1)(人教A版选择性必修第一册P77练习T3改编)已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A． B．2－
C．－1 D．＋1
(2)(人教A版选择性必修第一册P79练习T1改编)两平行直线x－2y＋1＝0与直线2x－4y－3＝0间的距离为( )
A． B．
C． D．
考点三 对称问题
1．点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为______________；点(x，y)关于点(a，b)的对称点为______________________．
2．点(x，y)关于直线x＝a的对称点为________________，关于直线y＝b的对称点为________________．
特别地：点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
3．点(x，y)关于直线y＝x＋b的对称点为__________________，关于直线y＝－x＋b的对称点为__________________．
特别地：点(x，y)关于直线y＝x的对称点为__________，关于直线y＝－x的对称点为______________．
4．设点P(x0，y0)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点为P′(x′，y′)，则线段PP′的中点在已知直线上且直线PP′与已知直线垂直，
即
解此方程组可得x′，y′，即得点P′的坐标．
点(或直线)关于点对称
[典例4] (苏教版选择性必修第一册P42习题1.5T18改编)直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( )
A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0
C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0
[听课记录]
反思领悟 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式．
巩固迁移4 (2024·眉山市仁寿县期末)若直线l1：y＝k(x＋2)与直线l2关于点(1，2)对称，则直线l2恒过的定点为( )
A．(4，0) B．(4，2)
C．(2，4) D．(4，4)
点(或直线)关于直线对称
[典例5] 一条光线从点P(－1，5)射出，经直线x－3y＋1＝0反射后经过点(2，3)，则反射光线所在直线的方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．3x－y－3＝0
C．x－2＝0 D．4x－y－5＝0
[听课记录]
反思领悟 求点关于直线对称的对称点的关键是利用对称点之间的连线和对称轴互相垂直及两对称点的中点在直线上列方程组；直线关于直线对称的实质是点关于直线对称．
巩固迁移5 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
1．(人教A版选择性必修第一册P57练习T1(1)改编)已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
2．(人教A版选择性必修第一册P72练习T3改编)已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是( )
A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0
C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0
3．(2024·上海市闵行区期末)点P(2，3)关于直线l：x＋y＝0的对称点的坐标是( )
A．(－2，－3) B．(－3，－2)
C．(－2，3) D．(3，2)
4．已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则△ABC的面积为________．
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