圆锥曲线中的综合问题是高考考查的重点内容，每年必考．主要以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交、相切、定点、定值、最值、范围及探索性问题，难度中等或偏上．
(15分)(2024·新高考Ⅰ卷T16)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
[阅读与思考] (1)第1步：代入A，P坐标求解a，b．
由题意知
解得…………………………………………………………………(3分)
第2步：根据a，b，c的关系求解c，得出C的离心率e．
∴c＝＝，∴C的离心率e＝＝．………………………………(5分)
(2)法一：第1步：求解|PA|．
由题意知|PA|＝＝，…………………………………(7分)
第2步：得出点B到直线PA的距离h．
设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝．………………………………………………………………………………(9分)
第3步：求解点B坐标．
易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)，
则……………………………………………………………(11分)
解得或
∴B(0，－3)或B，…………………………………………………(13分)
第4步：求直线l的方程．
故l：y＝x－3或y＝x．………………………………………………………(15分)
法二：第1步：讨论直线l的斜率不存在时是否满足题意．
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，
则B，|PB|＝3，此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足题意．………(6分)
第2步：设直线方程及点B的坐标．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋，B(x2，y2)，
第3步：联立方程，利用根与系数的关系得3＋x2与3·x2．
联立
消去y，整理得(3＋4k2)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0，………………(7分)
∴Δ＝36(4k2＋12k＋9)>0，即k≠－，
∴………………………………………………………(9分)
第4步：由弦长公式求|PB|，由点到直线的距离公式求A到l的距离．
∴|PB|＝
＝
＝6
＝6＝6·．…………………………………(11分)
设点A到直线l的距离为d，则d＝，…………………………………(12分)
第5步：利用面积列方程求k．
∴S△ABP＝·|PB|·d＝×6··，即＝9，
∴|4k2＋8k＋3|＝8k2＋6，∴k＝或k＝，……………………………………(14分)
∴l的方程为x－2y＝0或3x－2y－6＝0．……………………………………(15分)
本题第(1)问来源于人教A版教材选择性必修第一册P121练习T1(2)，高考题和教材习题实质都是求焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程，本高考题的难度稍低于教材．本题第(2)问来源于北师大版教材选择性必修第一册P90复习题二B组T5，高考题和教材习题都综合考查了直线与椭圆的位置关系，难度中档．
试题评价：本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式．考查数形结合思想、函数与方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养．从2024新高考Ⅰ卷的试题排序来看：本卷将解析几何解答题安排在解答题的第2题位置，打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序，有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力．
附：1．(人教A版选择性必修第一册P121练习T1(2))求适合下列条件的双曲线的标准方程：(2)焦点在x轴上，经过点(－，－)，．
2．(北师大版选择性必修第一册P90复习题二B组T5)已知点F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，直线l经过点F2，且与椭圆交于M，N两点，求△MF1N面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
第1课时 直线的方程
[考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
考点一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，________与直线l____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为__________________．
2．直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝_________(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
[常用结论]
直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”
[典例1] (1)(2024·河南月考)已知直线(a－)x＋y＋2＝0的倾斜角为30°，则a＝( )
A．2 B．
C． D．0
(2)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C．
D．∪[1，＋∞)
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中，直线的斜率k等于直线倾斜角的正切值，即tan 30°＝－a．本例(2)中，直线l绕点P由PA逆时针旋转到PB的过程中与线段AB有公共点，在这个过程中直线l的倾斜角由增大到，直线l的斜率由kPA＝1＝tan 增大到＋∞，再由－∞增大到kPB＝－＝tan ．
巩固迁移1 (1)(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)若直线经过A(1，0)，B(2，－)两点，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．150°
C．60° D．120°
(2)(2025·岳阳市岳阳楼区模拟)直线x tan ＋y－2＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
直线的方向向量与法向量
1．直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作______．
(2)设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则：
①u＝0 x2－x1＝0 θ＝ 斜率不存在；
②u≠0 k＝＝tan θ＝ a＝u(1，k)；
③a＝(u，v)＝λ(cos θ，sin θ)(λ≠0)．
2．直线的法向量
(1)一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作______．
(2)若直线的一个方向向量a＝(u，v)，一个法向量v＝(x，y)，则：
①ux＋vy＝0；
②v＝λ(－v，u)，λ≠0．
[典例2] (2024·滨州期末)已知点A(1，4)，B(2，3)，C(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[听课记录]
反思领悟 本例中，A，B，C三点共线须满足向量与向量共线且有公共点．
巩固迁移2 已知直线l的一个方向向量a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直线l上．
(1)求x的值；
(2)求直线l的斜率k与倾斜角θ．
考点二 直线方程的求法
直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 ________________________ 不含直线x＝x0
斜截式 ____________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________________，其中A，B不同时为0 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数，截距不是距离．
[常用结论]
1．几种特殊位置的直线方程
(1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1；
(2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量u＝(－B，A)．
[典例3] (2024·海口市琼山区期末)已知点A(－2，1)，B(2，3)，C(－1，－3)，
(1)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；
(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．
[听课记录]
反思领悟 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
巩固迁移3 (1)(2024·成都开学考试)过点P(2，3)，且倾斜角为90°的直线方程为( )
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝2 D．y＝3
(2)(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．y＝2x或x＋y－3＝0
D．y＝2x或x－y＋1＝0
(3)过点P(2，2)，且在x轴上的截距是3的直线l的方程是________．
考点三 直线方程的综合应用
[典例4] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[听课记录]
反思领悟 本例中，直线l：kx－y＋1＋2k＝0含有参数k，可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．若k(x＋2)＋(1－y)＝0，则直线l过两直线x＋2＝0和1－y＝0的交点；若直线方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2)．本例(2)求参数k的值(或范围)的关键是结合图象列不等式(或方程)求解．本例(3)的关键是建立目标函数S＝，再利用基本不等式求解最值．
巩固迁移4 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，如图所示．
(1)求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求·的最大值及此时直线l的方程．
1．(2024·泸州期末)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
2．(2024·泰安市岱岳区期末)已知直线l与x轴所成角为30°，直线l的斜率为( )
A． B．
C．± D．±
3．(2024·佛山期末)斜率为－，且经过点(1，－1)的直线方程为( )
A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y＋1＝0
C．3x－4y－7＝0 D．3x－4y－1＝0
4．(2024·吉安月考)过点A(3，－1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．
1/1 圆锥曲线中的综合问题是高考考查的重点内容，每年必考．主要以解答题的形式考查直线与圆锥曲线相交、相切、定点、定值、最值、范围及探索性问题，难度中等或偏上．
(15分)(2024·新高考Ⅰ卷T16)已知A(0，3)和P为椭圆C：＝1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
[阅读与思考] (1)第1步：代入A，P坐标求解a，b．
由题意知
解得…………………………………………………………………(3分)
第2步：根据a，b，c的关系求解c，得出C的离心率e．
∴c＝＝，∴C的离心率e＝＝．………………………………(5分)
(2)法一：第1步：求解|PA|．
由题意知|PA|＝＝，…………………………………(7分)
第2步：得出点B到直线PA的距离h．
设点B到直线PA的距离为h，则△ABP的面积为S＝|PA|·h＝9，解得h＝．………………………………………………………………………………(9分)
第3步：求解点B坐标．
易知直线PA：x＋2y－6＝0，设B(x，y)，
则……………………………………………………………(11分)
解得或
∴B(0，－3)或B，…………………………………………………(13分)
第4步：求直线l的方程．
故l：y＝x－3或y＝x．………………………………………………………(15分)
法二：第1步：讨论直线l的斜率不存在时是否满足题意．
当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝3，
则B，|PB|＝3，此时S△ABP＝×3×3＝≠9，不满足题意．………(6分)
第2步：设直线方程及点B的坐标．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋，B(x2，y2)，
第3步：联立方程，利用根与系数的关系得3＋x2与3·x2．
联立
消去y，整理得(3＋4k2)x2－(24k2－12k)x＋36k2－36k－27＝0，………………(7分)
∴Δ＝36(4k2＋12k＋9)>0，即k≠－，
∴………………………………………………………(9分)
第4步：由弦长公式求|PB|，由点到直线的距离公式求A到l的距离．
∴|PB|＝
＝
＝6
＝6＝6·．…………………………………(11分)
设点A到直线l的距离为d，则d＝，…………………………………(12分)
第5步：利用面积列方程求k．
∴S△ABP＝·|PB|·d＝×6··，即＝9，
∴|4k2＋8k＋3|＝8k2＋6，∴k＝或k＝，……………………………………(14分)
∴l的方程为x－2y＝0或3x－2y－6＝0．……………………………………(15分)
本题第(1)问来源于人教A版教材选择性必修第一册P121练习T1(2)，高考题和教材习题实质都是求焦点在x轴上的圆锥曲线的标准方程，本高考题的难度稍低于教材．本题第(2)问来源于北师大版教材选择性必修第一册P90复习题二B组T5，高考题和教材习题都综合考查了直线与椭圆的位置关系，难度中档．
试题评价：本题以椭圆为载体，考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式．考查数形结合思想、函数与方程思想，体现了逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养．从2024新高考Ⅰ卷的试题排序来看：本卷将解析几何解答题安排在解答题的第2题位置，打破以往的命题模式，灵活、科学地确定试题的内容和顺序，有助于打破学生机械应试的套路，打破教学中僵化、刻板的训练模式，同时测试学生的应变能力和解决各种难度问题的能力．
附：1．(人教A版选择性必修第一册P121练习T1(2))求适合下列条件的双曲线的标准方程：(2)焦点在x轴上，经过点(－，－)，．
2．(北师大版选择性必修第一册P90复习题二B组T5)已知点F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，直线l经过点F2，且与椭圆交于M，N两点，求△MF1N面积的最大值，并求此时的直线l的方程．
第1课时 直线的方程
[考试要求] 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．
考点一 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°．
2．直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝．
[常用结论]
直线的斜率k和倾斜角α之间的函数关系
如图，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论．”
[典例1] (1)(2024·河南月考)已知直线(a－)x＋y＋2＝0的倾斜角为30°，则a＝( )
A．2 B．
C． D．0
(2)若直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C．
D．∪[1，＋∞)
(1)C (2)B [(1)根据题意，直线(a－)x＋y＋2＝0的斜率为－a，其倾斜角为30°，
则有tan 30°＝－a＝，解得a＝．故选C．
(2)如图，当直线l过点B时，设直线l的斜率为kPB，则kPB＝＝－；当直线l过点A时，设直线l的斜率为kPA，则kPA＝＝1，所以要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k要满足k≥1或k≤－，即直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．]
【教用·备选题】
母题探究 本例(2)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
[设直线l的倾斜角为α，
由tan α≤－或tan α≥1得α∈，
又当 α＝时，直线斜率不存在，
所以直线l的倾斜角的取值范围是．]
反思领悟 本例(1)中，直线的斜率k等于直线倾斜角的正切值，即tan 30°＝－a．本例(2)中，直线l绕点P由PA逆时针旋转到PB的过程中与线段AB有公共点，在这个过程中直线l的倾斜角由增大到，直线l的斜率由kPA＝1＝tan 增大到＋∞，再由－∞增大到kPB＝－＝tan ．
巩固迁移1 (1)(人教A版选择性必修第一册P55练习T4改编)若直线经过A(1，0)，B(2，－)两点，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．150°
C．60° D．120°
(2)(2025·岳阳市岳阳楼区模拟)直线x tan ＋y－2＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
(1)D (2)D [(1)∵直线经过A(1，0)，B(2，－)两点，
∴直线AB的斜率为＝－，
则直线AB的倾斜角为120°．
故选D．
(2)直线x tan ＋y－2＝0可化为y＝－x tan ＋2，
所以该直线的斜率为k＝－tan ＝tan ＝tan ，
所以该直线的倾斜角为．故选D．]
直线的方向向量与法向量
1．直线的方向向量
(1)一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l．
(2)设直线l的一个方向向量为a＝(u，v)，直线l的倾斜角为θ，A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上不同的两点，则：
①u＝0 x2－x1＝0 θ＝ 斜率不存在；
②u≠0 k＝＝tan θ＝ a＝u(1，k)；
③a＝(u，v)＝λ(cos θ，sin θ)(λ≠0)．
2．直线的法向量
(1)一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l．
(2)若直线的一个方向向量a＝(u，v)，一个法向量v＝(x，y)，则：
①ux＋vy＝0；
②v＝λ(－v，u)，λ≠0．
[典例2] (2024·滨州期末)已知点A(1，4)，B(2，3)，C(x，1)，若A，B，C三点共线，则x的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
C [由题意知＝(1，－1)，＝(x－1，－3)，若A，B，C三点共线，则共线．
即－3×1＝－1×(x－1)，则x＝4．故选C．]
反思领悟 本例中，A，B，C三点共线须满足向量与向量共线且有公共点．
巩固迁移2 已知直线l的一个方向向量a＝(1，1)，且A(1，－2)，B(x，2)在直线l上．
(1)求x的值；
(2)求直线l的斜率k与倾斜角θ．
[解] (1)由a∥＝(x－1，4)知，1×(x－1)－1×4＝0，
得x－1－4＝0，解得x＝5．
(2)∵a＝(1，1)，∴k＝1，由tan θ＝k＝1，得θ＝．
【教用·备选题】
1．(多选)若某直线的一个法向量a＝(－4，2)，则该直线的方向向量可能是( )
A．(－2，4) B．(1，2)
C．(3，6) D．(－1，－2)
BCD [1×(－4)＋2×2＝0，所以(1，2)是该直线的方向向量；(3，6)＝3(1，2)，(－1，－2)＝－(1，2)，所以(3，6)，(－1，－2)都是该直线的方向向量．故选BCD．]
2．若某直线的一个方向向量a＝(0，－2 025)，则该直线的倾斜角为________．
90° [a＝(0，－2 025)，根据直线的方向向量的定义可知，该直线的倾斜角为90°．]
考点二 直线方程的求法
直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 ＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，其中A，B不同时为0 平面直角坐标系内的直线都适用
提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数，截距不是距离．
[常用结论]
1．几种特殊位置的直线方程
(1)过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的直线方程为x＝x1；
(2)过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的直线方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0．
2．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量n＝(A，B)，一个方向向量u＝(－B，A)．
[典例3] (2024·海口市琼山区期末)已知点A(－2，1)，B(2，3)，C(－1，－3)，
(1)若BC中点为D，求过点A与D的直线方程；
(2)求过点B且在x轴和y轴上截距相等的直线方程．
[解] (1)由题意知，BC的中点D，所以过点A与D的直线方程为y－1＝(x＋2)，
即2x＋5y－1＝0．
(2)当过B点且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为y＝x，即3x－2y＝0；
当在x，y轴上的截距相等且不等于0时，设直线方程为＝1，
将B点坐标代入得＝1，
∴m＝5，即x＋y－5＝0．
综上所述，过B点并且在x，y轴上截距相等的直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0．
反思领悟 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．
(2)对于点斜式、截距式方程，要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．
巩固迁移3 (1)(2024·成都开学考试)过点P(2，3)，且倾斜角为90°的直线方程为( )
A．x＝2 B．x＝3
C．y＝2 D．y＝3
(2)(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2T7改编)过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．y＝2x或x＋y－3＝0
D．y＝2x或x－y＋1＝0
(3)过点P(2，2)，且在x轴上的截距是3的直线l的方程是________．
(1)A (2)D (3)2x＋y－6＝0 [(1)∵直线的倾斜角为90°，∴直线的斜率不存在，直线垂直于x轴，
又∵直线过点(2，3)，∴直线方程为x＝2．故选A．
(2)当直线在两坐标轴上的截距为0时，可设直线方程为y＝kx，
直线过A(1，2)，则k＝2，故直线的方程为y＝2x．
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，则可设直线方程为＝1，
直线过A(1，2)，则＝1，解得a＝－1，故直线方程为x－y＋1＝0，
综上所述，该直线方程为y＝2x或x－y＋1＝0．故选D．
(3)由题意知直线经过两点(2，2)，(3，0)，
则直线l的斜率为k＝＝－2，
故直线l的方程是y－0＝－2(x－3)，即2x＋y－6＝0．]
考点三 直线方程的综合应用
[典例4] 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
[解] (1)证明：直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，且过定点(－2，1)，
要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0．
当k＝0时，直线l的方程为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k>0．
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，
此时直线l的方程为x－2y＋4＝0．
反思领悟 本例中，直线l：kx－y＋1＋2k＝0含有参数k，可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．若k(x＋2)＋(1－y)＝0，则直线l过两直线x＋2＝0和1－y＝0的交点；若直线方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定点(1，2)．本例(2)求参数k的值(或范围)的关键是结合图象列不等式(或方程)求解．本例(3)的关键是建立目标函数S＝，再利用基本不等式求解最值．
巩固迁移4 已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，如图所示．
(1)求△AOB的面积的最小值及此时直线l的方程；
(2)求·的最大值及此时直线l的方程．
[解] (1)法一：依题意，设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)的坐标代入方程得＝1≥2，即ab≥24，当且仅当＝时，等号成立，从而S△AOB＝ab≥12，故△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的斜率k＝－＝－，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0，所以△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．
法二：依题意，直线l的斜率k存在，且k<0，可设直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，则A，B(0，2－3k)，所以S△AOB＝(2－3k)＝＝×(12＋12)＝12，
当且仅当－9k＝且k<0，即k＝－时，等号成立．
此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．
所以△AOB的面积的最小值为12，此时直线l的方程为2x＋3y－12＝0．
(2)由法二知A，B(0，2－3k)，k<0．
故·＝·(－3，－3k)
＝＋6k＝－≤－2＝－12，
当且仅当－＝－6k且k<0，即k＝－1时，等号成立．此时直线l的方程为x＋y－5＝0．
所以·的最大值为－12，此时直线l的方程为x＋y－5＝0．
1．(2024·泸州期末)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
C [设直线x－y＋1＝0的倾斜角为α，α∈[0，π)，
则tan α＝，∴α＝．故选C．]
2．(2024·泰安市岱岳区期末)已知直线l与x轴所成角为30°，直线l的斜率为( )
A． B．
C．± D．±
C [∵直线l与x轴所成角为30°，∴直线l的倾斜角为30°或150°，
∴直线l的斜率为或－，故选C．]
3．(2024·佛山期末)斜率为－，且经过点(1，－1)的直线方程为( )
A．3x＋4y－1＝0 B．3x＋4y＋1＝0
C．3x－4y－7＝0 D．3x－4y－1＝0
B [由点斜式方程可得y－(－1)＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0．
故选B．]
4．(2024·吉安月考)过点A(3，－1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________．
x＋y－2＝0或x＋3y＝0 [当直线过原点时，方程为y＝－x，即x＋3y＝0．
当直线不过原点时，设直线的方程为＝1，把点(3，－1)代入直线的方程得k＝2，
故直线方程是x＋y－2＝0．
综上，所求的直线方程为x＋y－2＝0或x＋3y＝0．]
【教用·备选题】
1．(2024·西宁期末)已知A(1，2)，B(2，4)，C(m，6)三点共线，则m的值为( )
A．－5 B．5
C．－3 D．3
D [因为A(1，2)，B(2，4)，C(m，6)三点共线，
又kAB＝＝2，即A，B所在直线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x，又因为点C在这条直线上，
所以2m＝6，即m＝3．故选D．]
2．(2025·张家口模拟)斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是重庆千厮门嘉陵江大桥示意图，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为3.4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为16 m．最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，则最长拉索所在直线的斜率为( )
A．±0.47 B．±0.45
C．±0.42 D．±0.40
C [Rt△OA1P1中，|OP1|＝66 m，|OA1|＝86 m，
所以|OP10|＝66＋9×3.4＝96.6 m，|OA10|＝86＋9×16＝230 m，
tan ∠OA10P10＝＝＝0.42，
所以最长拉索A10P10，B10P10所在直线的斜率为±0.42．故选C．]
3．(2024·宁波期末)已知点A(2，3)，B(3，－1)，若直线l过点P(0，1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≤－或k≥1 B．k≤－或0≤k≤1
C．－≤k≤0或k≥1 D．－≤k≤1
D [因为A(2，3)，B(3，－1)，P(0，1)，则kPA＝＝1，kPB＝＝－，
直线l过点P(0，1)且与线段AB相交，
数形结合知直线l的斜率k的取值范围是－≤k≤1．故选D．]
4．(2024·兰州市安宁区期末)过点(2，－3)且斜率为－的直线在y轴上的截距为________．
－2 [由题意，直线过点(2，－3)且斜率为－，
则直线方程为y＋3＝－(x－2)，
令x＝0，解得y＝－2，即该直线在y轴上的截距为－2．]
5．(2025·湖南衡阳模拟)点M(x1，y1)在函数y＝ex的图象上，若x1∈[0，1)，则的取值范围为______________．
(－∞，－2] [表示过点M(x1，y1)与点A(1，－1)的直线的斜率k，
又M(x1，y1)是y＝ex在x∈[0，1)部分图象上的动点，画出图象如图所示，
可得C(0，1)，B(1，e)，则kAC＝－2，
由图象知k≤－2，即k的取值范围为(－∞，－2]．]
课后习题(五十) 直线的方程
1．(人教A版选择性必修第一册P55练习T5改编)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为 (－1，－1)，则y＝( )
A．－ B． C．－1 D．1
C [法一：由直线上的两点A(4，y)，B(2，－3)，得＝(－2，－3－y)，又直线AB的一个方向向量为(－1，－1)，因此(－2)×(－1)－(－3－y)×(－1)＝0，解得y＝－1，故选C．
法二：由直线的方向向量为(－1，－1)，得直线的斜率为＝1，所以＝1，解得y＝－1．故选C．]
2．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T10改编)如果AC<0，且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．]
3．(人教B版选择性必修第一册P89练习AT2改编)已知点(a，－2)，(－1，b)确定的直线方程是y＝－3x＋1，则当x>0时，＋bx的最小值是________．
4 [由条件知－2＝－3a＋1，b＝－3×(－1)＋1，
分别解得a＝1，b＝4，∴＋bx＝＋4x≥2＝4，
当且仅当＝4x，即x＝时，等号成立，
∴＋4x的最小值是4．]
4．(人教A版选择性必修第一册P67习题2.2 T7改编)经过点P(1，9)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
9x－y＝0或x＋y－10＝0 [当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线方程为9x－y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，则＝1，解得a＝10，所以直线方程为x＋y－10＝0．]
5．(多选)(2024·大庆市让胡路区开学考试)在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是( )
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan α
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°
ABC [当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，选项A和选项C错误；当直线的倾斜角为锐角时，斜率为正数，当直线的倾斜角为钝角时，斜率为负数，选项B错误；与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90°，选项D正确．故选ABC．]
6．(多选)(2024·周口市川汇区期末)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有( )
A．直线l在y轴上的截距是2
B．直线l的斜率为
C．直线l不经过第三象限
D．直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
ACD [对于A，直线方程可变为y＝－x＋2，在y轴上的截距是2，故A正确；
对于B，斜率k＝－＝－，故B错误；
对于C，由直线方程y＝－x＋2可知，直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为(1，－)，与v＝(－，3)平行，故D正确．
故选ACD．]
7．(2025·贵阳模拟)已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x－y－3＝0
C．x－2y＝0 D．x＋2y－4＝0
A [已知直线l倾斜角的余弦值为－，设直线l的倾斜角为θ，则<θ<π，cos θ＝－，故sin θ＝，
所以tan θ＝＝－2，由于直线经过点(2，1)，
故直线l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0．
故选A．]
8．(2025·海口模拟)已知直线l：2x＋3y－1＝0的倾斜角为θ，则cos (θ＋π)·sin ＝( )
A． B．－
C． D．－
B [根据题意，直线l：2x＋3y－1＝0的斜率k＝tan θ＝－，θ∈，
则解得
或(舍去)，
所以cos (θ＋π)·sin ＝－cos2θ＝－．故选B．]
9．(2024·菏泽市东明县开学考试)已知过定点的直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为( )
A．x－2y－7＝0 B．x－2y＋7＝0
C．2x＋y－6＝0 D．x＋2y－6＝0
C [直线kx－y＋4－k＝0可变为k(x－1)－y＋4＝0，过定点P(1，4)，
∵直线kx－y＋4－k＝0在两坐标轴上的截距都是正值，∴k＜0，
令x＝0，y＝4－k，∴直线与y轴的交点为(0，4－k)，
令y＝0，x＝1－，∴直线与x轴的交点为，
∴直线在两坐标轴上的截距之和为4－k＋1－＝5＋(－k)＋≥5＋2＝5＋4＝9，
当且仅当－k＝－且k<0，即k＝－2时，等号成立，
故直线的方程为2x＋y－6＝0．故选C．]
10．(2025·宜春市模拟)已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，则的取值范围为________．
[表示经过定点P(－2，－3)与函数y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象上任意一点(x，y)的直线的斜率k．
如图所示，可知kPA≤k≤kPB，
由已知可得A(1，1)，B(－1，5)，
所以kPA＝，kPB＝8，
则的取值范围为．]
11．(2024·河北开学考试)过点(2，1)且横截距是纵截距2倍的直线的方程为____________．(写成一般式方程)
x－2y＝0或x＋2y－4＝0 [当直线过原点时，过点(2，1)的直线的方程为y＝x，即x－2y＝0；
当直线不过原点时，由题意设直线的截距式方程为＝1，a≠0，
将点(2，1)代入直线的方程可得＝1，解得a＝2，
所以直线的方程为＝1，即x＋2y－4＝0．]
12．(2024·上海市静安区月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，求△OMN的面积取最小值时，直线l的方程．
[解] (1)由(a＋1)x＋y－2－a＝0，令x＝0，y＝2＋a，令y＝0，x＝，
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，则＝a＋2，解得a＝0或a＝－2，
故直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．
(2)由(1)可知，a＞－1时，S△OMN＝×(a＋2)×＝＝＋1
≥2＋1＝2，
当且仅当＝且a>－1，即a＝0时取等号，
即直线l的方程为x＋y－2＝0．
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