第3课时 圆的方程
[考试要求] 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面上到____的距离等于____的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心__________，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有实数解，它不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系的判定
设点M(x0，y0)，圆A的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为A(a，b)，半径为r，圆A的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则点M与圆A的位置关系的判断方法如下：
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点M(x0，y0) 在圆A内 |MA|点M(x0，y0) 在圆A上 |MA|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2__r2； ＋Dx0＋Ey0＋F__0
点M(x0，y0) 在圆A外 |MA|>r (x0－a)2＋(y0－b)2__r2； ＋Dx0＋Ey0＋F__0
[常用结论]
(1)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
(2)圆心在过圆的切点且与切线垂直的直线上．
(3)圆心在圆的任一弦的垂直平分线上．
[典例1] (1)(2025·蚌埠模拟)以(1，－2)为圆心，半径为的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝
(2)(2025·长春模拟)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三个点的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
(3)(2024·聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A．(x＋)2＋(y－)2＝
B．(x－)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y－)2＝2
[听课记录]
反思领悟 本例(1)中已知圆心坐标和半径，可直接写出圆的标准方程；本例(2)的已知条件中没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求D，E，F的值；本例(3)中已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，可设圆的标准方程，求出a，b，r的值．
巩固迁移1 (1)(2025·大连市中山区模拟)过点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10
(2)(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
(1)C (2)B [(1)设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
将C(－1，1)和D(1，3)代入得
解得a＝2，r2＝10，∴圆的方程是(x－2)2＋y2＝10，故选C．
(2)由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2．故选B．]
考点二 与圆有关的轨迹问题
[典例2] 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[听课记录]
反思领悟 本例(1)法一直接根据CA⊥CB得出kAC·kBC＝－1，化条件为方程，化简整理得解；法二的关键是根据直角三角形的性质得到直角顶点C的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为|AB|的圆，利用圆的定义求解；本例(2)中，直角边BC的中点M随着已知点C在曲线(x－1)2＋y2＝4(y≠0)上的移动而变化，只需找出要求点M与已知点C之间的关系，代入已知点C满足的曲线(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，化简整理即可得解．
巩固迁移2 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足＝，则点M的轨迹方程是( )
A．x2＋(y＋2)2＝2
B．x2＋(y－2)2＝2
C．x2＋(y＋2)2＝8
D．x2＋(y－2)2＝8
(2)(人教A版选择性必修第一册P87例5改编)已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为________________；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为________________．
考点三 与圆有关的最值问题
利用几何性质求最值
[典例3] (2025·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[听课记录]
反思领悟 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
巩固迁移3 (2025·广州模拟)已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，M(x，y)为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A．[－]
B．[－1，1]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数．
[典例] 利用圆的参数方程解答例3(2)(3)．
[听课记录]
反思领悟 形如t＝ax＋by，m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题用圆的参数方程求解比几何法更简便易行．
应用体验 (多选)(2025·六安市金安区模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，点P(a，b)是圆C上的一点，则下列说法正确的是( )
A．圆C关于直线x－3y－2＝0对称
B．已知A(1，－2)，B(5，0)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为32－12
C．2a＋b的最小值为2－3
D．的最大值为
利用对称性求最值
[典例4] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
[听课记录]
反思领悟 求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思想：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
巩固迁移4 (2024·渭南市临渭区三模)已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．8 B．6
C．3＋ D．4
建立函数关系求最值
[典例5] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
[听课记录]
反思领悟 本例关键是列出·的函数式，然后根据关系式的特征求最值．
巩固迁移5 设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为________．
1．(多选)(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T1改编)已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆C，则下列结论正确的是( )
A．圆心坐标为C(－2，3)
B．圆心坐标为C(2，－3)
C．半径r＝13
D．半径r＝
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( )
A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25
B．(x－8)2＋(y－3)2＝25
C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16
D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
3．(2024·昆明市西山区期末)若点P(x，y)是圆C：x2＋y2－8x＋6y＋16＝0上一点，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
4．(2025·佛山模拟)在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，2)，C(3，0)，则△ABC的外接圆的标准方程为________．
1/1第3课时 圆的方程
[考试要求] 1．理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
考点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心(a，b)，半径r
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心，半径
提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有实数解x＝－，y＝－，它表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有实数解，它不表示任何图形．
2．点与圆的位置关系的判定
设点M(x0，y0)，圆A的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为A(a，b)，半径为r，圆A的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则点M与圆A的位置关系的判断方法如下：
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点M(x0，y0) 在圆A内 |MA| 点M(x0，y0) 在圆A上 |MA| ＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； ＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M(x0，y0) 在圆A外 |MA| >r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2； ＋Dx0＋Ey0＋F>0
[常用结论]
(1)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0．
(2)圆心在过圆的切点且与切线垂直的直线上．
(3)圆心在圆的任一弦的垂直平分线上．
[典例1] (1)(2025·蚌埠模拟)以(1，－2)为圆心，半径为的圆的方程是( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝2
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝2
C．(x－1)2＋(y＋2)2＝
D．(x＋1)2＋(y－2)2＝
(2)(2025·长春模拟)经过A(1，1)，B(－1，1)，C(0，2)三个点的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
(3)(2024·聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为( )
A．(x＋)2＋(y－)2＝
B．(x－)2＋(y＋)2＝2
C．(x－)2＋(y＋)2＝
D．(x＋)2＋(y－)2＝2
(1)A (2)C (3)D [(1)以(1，－2)为圆心，半径为的圆的方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝2．
故选A．
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，点A，B，C在圆上，
则解得
则圆的一般方程为x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－1)2＝1，故选C．
(3)由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a<0，b>0)，
∵圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0相切，
则即
解得
所以圆C的方程为(x＋)2＋(y－)2＝2．故选D．]
反思领悟 本例(1)中已知圆心坐标和半径，可直接写出圆的标准方程；本例(2)的已知条件中没有明确给出圆心和半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求D，E，F的值；本例(3)中已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，可设圆的标准方程，求出a，b，r的值．
巩固迁移1 (1)(2025·大连市中山区模拟)过点C(－1，1)和D(1，3)，圆心在x轴上的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10
C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10
(2)(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T7改编)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为( )
A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
(1)C (2)B [(1)设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，
将C(－1，1)和D(1，3)代入得
解得a＝2，r2＝10，∴圆的方程是(x－2)2＋y2＝10，故选C．
(2)由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a>0，解得a>0或a<－2．故选B．]
考点二 与圆有关的轨迹问题
[典例2] 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解] (1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0．
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1．
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0．
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2．由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，半径为2的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去圆与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y．由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1．因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
反思领悟 本例(1)法一直接根据CA⊥CB得出kAC·kBC＝－1，化条件为方程，化简整理得解；法二的关键是根据直角三角形的性质得到直角顶点C的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为|AB|的圆，利用圆的定义求解；本例(2)中，直角边BC的中点M随着已知点C在曲线(x－1)2＋y2＝4(y≠0)上的移动而变化，只需找出要求点M与已知点C之间的关系，代入已知点C满足的曲线(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，化简整理即可得解．
巩固迁移2 (1)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，若动点M满足＝，则点M的轨迹方程是( )
A．x2＋(y＋2)2＝2
B．x2＋(y－2)2＝2
C．x2＋(y＋2)2＝8
D．x2＋(y－2)2＝8
(2)(人教A版选择性必修第一册P87例5改编)已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为________________；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为________________．
(1)D (2)(x－2)2＋(y－4)2＝10 ＋(y－2)2＝ [(1)设M(x，y)，因为＝，A(0，－2)，
所以＝，
所以x2＋(y＋2)2＝2(x2＋y2)，
所以x2＋(y－2)2＝8为点M的轨迹方程．
(2)由题意可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则解得
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10．
设M(x，y)，D(x1，y1)．由E(3，0)及M为线段ED的中点，得解得
又点D在圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，
所以(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化简得＋(y－2)2＝，
故点M的轨迹方程为＋(y－2)2＝．]
【教用·备选资源】
阿波罗尼斯圆
如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|．
当λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，动点P的轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，＋y2＝，动点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
[典例] (1)(多选)已知在平面直角坐标系xOy中，A，B(4，0)．点P满足＝，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10
C．在C上存在点M，使得＝2
D．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9
(2)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
(1)AD (2)[－2－1，2－1] [(1)由题意可设点P，由A，B＝，得＝，
化简得x2＋y2＋8x＝0，即＋y2＝16，故A正确；
点(1，1)到圆上的点的最大距离为＋4<10，故不存在符合题意的点D，故B错误；
设M(x0，y0)，由＝2，得＝，又＝16，
联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C错误；
C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝＝5，且C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为d＋r＝5＋4＝9，故D正确．故选AD．
(2)设P(x，y)，则＝·，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，半径为2的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2．故实数a的取值范围是[－2－1，2－1]．]
考点三 与圆有关的最值问题
利用几何性质求最值
[典例3] (2025·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0．求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[解] 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx．
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－．
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－．
(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4．
反思领悟 与圆有关的最值问题的三种几何转化法
(1)形如μ＝形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
巩固迁移3 (2025·广州模拟)已知圆的方程为x2＋y2－2x＝0，M(x，y)为圆上任意一点，则的取值范围是( )
A．[－]
B．[－1，1]
C．(－∞，－]∪[，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C [圆的方程即(x－1)2＋y2＝1，表示圆上的点与点(1，2)连线的斜率，
过点(1，2)作圆的切线(图略)，
设切线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
圆心到切线的距离等于半径，即＝1，
解得k＝±，则的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．故选C．]
圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数．
[典例] 利用圆的参数方程解答例3(2)(3)．
[解] (x－2)2＋y2＝3的参数方程为
(2)y－x＝sin θ－cos θ－2＝－2
＝sin －2∈[－－2，－2]，
所以y－x的最大值为－2，最小值为－－2．
(3)x2＋y2＝(2＋cos θ)2＋(sin θ)2
＝7＋4cos θ∈[7－4，7＋4]，
所以x2＋y2的最大值为7＋4，最小值为7－4．
反思领悟 形如t＝ax＋by，m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题用圆的参数方程求解比几何法更简便易行．
应用体验 (多选)(2025·六安市金安区模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，点P(a，b)是圆C上的一点，则下列说法正确的是( )
A．圆C关于直线x－3y－2＝0对称
B．已知A(1，－2)，B(5，0)，则|PA|2＋|PB|2的最小值为32－12
C．2a＋b的最小值为2－3
D．的最大值为
ABD [圆C：x2＋y2－4x－5＝0，可化为(x－2)2＋y2＝9，圆心为(2，0)，半径为3，
A．显然直线x－3y－2＝0过点(2，0)，其为圆C的圆心，因此圆C关于直线x－3y－2＝0对称，因此选项A正确．
B．点P(a，b)是圆C上的一点，有(a－2)2＋b2＝9，设a＝3cos α＋2，b＝3sin α．
因为A(1，－2)，B(5，0)，则|PA|2＋|PB|2＝(a－1)2＋(b＋2)2＋(a－5)2＋(b－0)2
＝2a2＋2b2－12a＋4b＋30＝8a＋10－12a＋4b＋30＝－4a＋4b＋40＝－4(3cos α＋2)＋4·3sin α＋40
＝12sin α－12cos α＋32＝12sin ＋32≥－12＋32，因此选项B正确．
C．2a＋b＝3sin α＋6cos α＋4≥－＋4＝4－3，因此选项C错误．
D．＝1＋＝1＋2理解成点P(a，b)与点(－3，－3)连线的斜率，
取最大时，即为过点(－3，－3)的直线与圆(x－2)2＋y2＝9相切时直线的斜率，
故设过点(－3，－3)的直线为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0，
圆心到kx－y＋3k－3＝0的距离d＝＝r＝3，解得k＝或k＝0(舍去)，
即的最大值为1＋2×＝1＋＝，因此选项D正确．故选ABD．]
利用对称性求最值
[典例4] 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．
5－4 [由题意知P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4．
作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)(图略)，
所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5，
即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4．
所以|PM|＋|PN|的最小值为5－4．]
反思领悟 求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思想：
(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
(2)“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决．
巩固迁移4 (2024·渭南市临渭区三模)已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．8 B．6
C．3＋ D．4
D [圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0 即 (x－2)2＋(y＋2)2＝2，
∴圆心为(2，－2)，半径是 r＝．直线AB的方程为x－y＋2＝0，
∴圆心到直线AB的距离为＝3，
∴直线AB和圆相离，
∴点C到直线AB距离的最小值是3－r＝3＝2，
即△ABC的面积的最小值为×2＝4．故选D．]
建立函数关系求最值
[典例5] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
12 [由题意，知＝(2－x，－y)，
＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，
故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，
故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12．
由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，
当y＝4时，·的值最大，
最大值为6×4－12＝12．]
反思领悟 本例关键是列出·的函数式，然后根据关系式的特征求最值．
巩固迁移5 设点P(x，y)是圆：(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则||的最大值为________．
10 [由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以||＝＝2．由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，||的值最大，最大值为2＝10．]
1．(多选)(人教A版选择性必修第一册P88习题2.4T1改编)已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆C，则下列结论正确的是( )
A．圆心坐标为C(－2，3)
B．圆心坐标为C(2，－3)
C．半径r＝13
D．半径r＝
BD [圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是C(2，－3)，半径r＝．]
2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是( )
A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25
B．(x－8)2＋(y－3)2＝25
C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16
D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25
A [因为圆的圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)，所以圆的半径为|MC|＝＝5，故圆的标准方程为(x＋8)2＋(y－3)2＝25．故选A．]
3．(2024·昆明市西山区期末)若点P(x，y)是圆C：x2＋y2－8x＋6y＋16＝0上一点，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
B [圆C：x2＋y2－8x＋6y＋16＝0可化为(x－4)2＋(y＋3)2＝9．
x2＋y2表示点P(x，y)到点O(0，0)的距离的平方，
因为|CO|＝＝5，所以x2＋y2的最小值为(5－3)2＝4．故选B．]
4．(2025·佛山模拟)在平面直角坐标系中，已知A(1，2)，B(3，2)，C(3，0)，则△ABC的外接圆的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝2 [设△ABC的外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
由A(1，2)，B(3，2)，C(3，0)三点在圆上，
可得解得
所以△ABC的外接圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝2．]
【教用·备选题】
1．(2024·厦门市思明区月考)已知圆C：x2＋y2＋mx＋1＝0的面积为π，则m＝( )
A．±2 B．±2
C．±4 D．±8
B [因为圆C：x2＋y2＋mx＋1＝0，即＋y2＝－1，
所以S＝πr2＝π＝π，解得m＝±2．故选B．]
2．(2024·济南二模)在平面直角坐标系xOy中，已知P(－2，4)，Q(2，6)两点，若圆M以PQ为直径，则圆M的标准方程为( )
A．x2＋(y＋5)2＝5 B．x2＋(y－5)2＝5
C．x2＋(y＋5)2＝25 D．x2＋(y－5)2＝25
B [因为圆M以PQ为直径，所以圆心M的坐标为(0，5)，
半径为|MQ|＝＝，
所以圆M的标准方程为x2＋(y－5)2＝5．
故选B．]
3．(多选)(2024·眉山市东坡区月考)已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则下列结论中正确的是( )
A．实数k的取值范围是
B．实数k的取值范围是
C．当圆的周长最大时，圆心坐标是(0，－1)
D．圆的最大面积是π
ACD [将圆的方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为＋(y＋1)2＝1－k2，
由1－k2>0，解得－当k＝0时，圆的半径最大，则圆的周长以及面积最大，
此时半径为1，圆心坐标为(0，－1)，圆的面积为π·12＝π，故CD正确．故选ACD．]
4．(2025·北京市东城区模拟)已知点P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上，则的最小值是( )
A． B．
C． D．
C [根据题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径r＝1，
设＝k，则有y＋2＝kx，即kx－y－2＝0，
则即k表示与圆有公共点的直线kx－y－2＝0的斜率，
则有≤1，解得k≥，即k的最小值为．故选C．]
5．(2024·白城市洮北区期末)某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则支柱A2P2的长为( )
A．(12－24)m B．(12＋24)m
C．(24－12)m D．不确定
A [如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为(－18，0)，(18，0)，(0，6)．
设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因为A，B，P在此圆上，故有
解得
又D2＋E2－4F>0，故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0．
将点P2的横坐标x＝6代入上式，结合图形解得y＝－24＋12．
故支柱A2P2的长为(12－24)m．
故选A．]
课后习题(五十二) 圆的方程
1．(苏教版选择性必修第一册P61习题2.1T2改编)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程为( )
A．x2＋y2－4x－2y＋7＝0
B．x2＋y2－8x－2y－9＝0
C．x2＋y2＋8x＋2y－6＝0
D．x2＋y2－4x＋2y－5＝0
B [根据题意，圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则圆的圆心坐标为(4，1)，半径r＝＝，则圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝26，即x2＋y2－8x－2y－9＝0，故选B．]
2．(人教A版选择性必修第一册P102复习参考题2T7改编)已知点P(1，－2)在圆C：x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0的外部，则k的取值范围是( )
A．－2C．k<－2 D．－2B [由x2＋y2＋kx＋4y＋k2＋1＝0，得＋(y＋2)2＝3－k2，
由3－k2>0，解得－2∵点P(1，－2)在圆C的外部，∴1＋4＋k－8＋k2＋1>0，即k2＋k－2>0，得k<－2或k>1，②
由①②得13．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
C．(x－1)2＋(y－1)2＝4
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C [法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r．因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a．
又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，解得a＝1，b＝1．所以r＝2．所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．
法二：由已知条件得，线段AB的垂直平分线的方程是y＝x，
由解得
∴圆心坐标为(1，1)，
∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4．故选C．]
4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．
x2＋y2－2x＝0 [设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
∴ 解得
∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0．]
5．(2024·杭州期末)已知⊙C：x2＋y2＋2x－y＋＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别为( )
A． B．(2，－1)，
C． D．(－2，1)，
A [⊙C：x2＋y2＋2x－y＋＝0，即(x＋1)2＋＝，
故该圆的圆心坐标为，半径为．故选A．]
6．(多选)(2024·西安市雁塔区期末)过点A(1，－1)与B(－1，1)且半径为2的圆的方程可以为( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
D．(x＋3)2＋(y－1)2＝4
BC [设圆心为C(a，b)，则圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故有a＝b，圆心C(a，a)．
再根据|CA|＝2，可得(a－1)2＋(a＋1)2＝4，解得a＝±1，故圆心C(1，1)或C(－1，－1)，
故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
故选BC．]
7．(多选)(2024·巴音郭楞蒙古自治州期末)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋(y－3)2＝13
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．＋(y－1)2＝
D．＋＝
ABC [对于A，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故A正确；
对于B，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故B正确；
对于C，点(4，0)，(－1，1)，(4，2)在圆＋(y－1)2＝上，故C正确；
对于D，题干中的四个点都不在圆＋＝上，故D不正确．
故选ABC．]
8．(2024·惠州调研)已知圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4关于直线ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)对称，则的最小值为( )
A． B．9
C．4 D．8
B [圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心为(－1，－2)，
依题意，点(－1，－2)在直线ax＋by＋1＝0上，
因此－a－2b＋1＝0，即a＋2b＝1(a>0，b>0)，
所以＝(a＋2b)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝，即a＝b＝时取“＝”，
所以的最小值为9．故选B．]
9．(2024·银川市兴庆区一模)我国享誉世界的数学大师华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”告知我们把“数”与“形”、“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若x2＋y2－2x－2＝0，则的取值范围为( )
A． B．
C．[－2，2] D．[－]
D [可看作圆(x－1)2＋y2＝3上的点P(x，y)与点A(－1，0)连线的斜率，
如图，只需求出临界状态，即PA所在直线与圆相切时的斜率，设直线方程为y＝k(x＋1)，
则圆心到直线的距离＝，解得k＝±，
所以的取值范围为[－]．故选D．]
10．(2025·天津市和平区模拟)已知圆C以点(1，1)为圆心，且与直线mx－y－2m＝0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为________．
(x－1)2＋(y－1)2＝2 [直线mx－y－2m＝0，可化为m(x－2)－y＝0，
∴直线过定点(2，0)，
当圆C的半径最大时，半径为＝，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2．]
11．(2025·潍坊模拟)已知圆O的方程为x2＋y2＝4，定点A(1，0)，若B，C为圆O上的两个动点，则线段AB的中点P的轨迹方程为________；若弦BC经过点A，则BC中点Q的轨迹方程为________．
＋y2＝1 ＋y2＝ [设B(x0，y0)，P(x，y)，因为P为线段AB的中点，所以x0＝2x－1，y0＝2y，
又因为B为圆O上一点，所以＝4，即(2x－1)2＋(2y)2＝4，
所以点P的轨迹方程为＋y2＝1．
因为BC的中点为Q，所以OQ⊥BC，又因为BC经过点A，
所以OQ⊥AQ，所以点Q的轨迹是以线段OA为直径的圆，
其轨迹方程为＋y2＝．]
12．(2024·成都调研)等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3，O为AB的中点，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程．
[解] (1)由已知可设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0)．
由|EB|＝|EC|，得
＝，
解得b＝1，
所以外接圆E的方程为x2＋(y－1)2＝10．
(2)设P(x，y)，由于P是MN的中点，
由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，
化简得＋＝，
即线段MN的中点P的轨迹方程为＋＝．
1/1
