圆锥曲线中的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率及其取值范围是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多，综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能．
题型一 圆锥曲线离心率
[典例1] (1)(2024·达州期末)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得|F1P|＝6 cm，|F1Q|＝2 cm，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·苏州三模)在平面直角坐标系Oxy中，过点P(－3，0)的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相交于A，B两点，若线段AB的中点是M(1，3)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(3)(2025·佛山市顺德区模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F2，F1，点P在椭圆上且位于第三象限，满足∠PF1F2＝120°，∠PF1F2的角平分线与PF2相交于点Q，若＝，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
[尝试解答]
反思领悟 本例(1)直接求出a，c，利用公式e＝求解；本例(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解．本例(3)，列出含有a，c的齐次式，转化成关于e的方程求解．
巩固迁移1 (1)设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．3
(2)(2024·南京市江宁区二模)设F1，F2分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，直线F1P与以F2为圆心、OF2为半径的圆切于点Q(O为坐标原点)，且＝3，则椭圆E的离心率为( )
A． B．
C． D．
题型二 圆锥曲线离心率的取值范围
[典例2] (1)(2024·武汉市江汉区月考)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(2)设F1，F2分别是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(3)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围为________．
[尝试解答]
反思领悟 本例(1)中，考虑|AB|的临界位置(同支的焦点弦中通径最短)，建立a，c的不等关系求解；本例(2)中，利用题目所给的平面几何关系|PF2|≥|QF2|，建立关于a，c的不等关系求解；本例(3)中，利用双曲线方程中的参数a(b)，用代数方法求出a的取值范围，进而求得离心率的取值范围．
巩固迁移2 (1)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝±2x与E无公共点，则e的取值范围是________．
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
1/1 圆锥曲线中的离心率问题
离心率是圆锥曲线的一个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状甚至是类型的变化，求圆锥曲线的离心率及其取值范围是近几年高考的热点，这类问题所涉及的知识点较多，综合性强，解法灵活，内涵丰富，具有极好的素养评价功能．
题型一 圆锥曲线离心率
[典例1] (1)(2024·达州期末)“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”是指相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画图的工具．如图，现有一椭圆经某同学以“矩”量之得|F1P|＝6 cm，|F1Q|＝2 cm，其中F1为椭圆的左焦点，PQ经过坐标原点O，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
(2)(2024·苏州三模)在平面直角坐标系Oxy中，过点P(－3，0)的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线相交于A，B两点，若线段AB的中点是M(1，3)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(3)(2025·佛山市顺德区模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F2，F1，点P在椭圆上且位于第三象限，满足∠PF1F2＝120°，∠PF1F2的角平分线与PF2相交于点Q，若＝，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
(1)C (2)D (3)C [(1)根据椭圆的对称性可知|PF1|＋|QF1|＝2a，
所以2a＝8，得a＝4，又QF1⊥PF1，所以＝(2c)2，
即62＋22＝4c2，解得c＝，故椭圆的离心率为e＝＝．故选C．
(2)由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝k(x＋3)，双曲线C的渐近线方程为y＝±x，联立可得x1＝，y1＝，
联立可得x2＝，y2＝，
因为AB的中点为M(1，3)，所以＝2，＝6，解得＝，故e＝＝．故选D．
(3)因为＝，则＝，
由角平分线的性质可得＝，
因为|F1F2|＝2c，
所以|PF1|＝c，
由椭圆的定义可知|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－c，
在△PF1F2中，∠PF1F2＝120°，
由余弦定理可得|PF2|2＝|F1F2|2＋|PF1|2－2|F1F2|·|PF1|cos ∠PF1F2，
即＝(2c)2＋－2·2c·c·，
整理可得5e2＋4e－3＝0，解得e＝，
因为e∈(0，1)，所以e＝．故选C．]
反思领悟 本例(1)直接求出a，c，利用公式e＝求解；本例(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解．本例(3)，列出含有a，c的齐次式，转化成关于e的方程求解．
巩固迁移1 (1)设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．3
(2)(2024·南京市江宁区二模)设F1，F2分别为椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，直线F1P与以F2为圆心、OF2为半径的圆切于点Q(O为坐标原点)，且＝3，则椭圆E的离心率为( )
A． B．
C． D．
(1)B (2)B [(1)因为P是双曲线＝1(a>0，b>0)上一点，所以||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以＝9b2－4a2，所以4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又因为|PF1|·|PF2|＝ab，所以有9ab＝9b2－4a2，即9－9－4＝0，解得＝－(舍去)或＝．所以e2＝＝＝1＋＝1＋＝，所以e＝，故选B．
(2)由题意，|F2Q|＝c，|F1F2|＝2c，
因为直线F1P与以F2为圆心、OF2为半径的圆相切，所以∠F2QF1＝90°，
因此由勾股定理可知|F1Q|＝＝c，
又＝3，所以|QP|＝c，因此|F1P|＝c＋c＝c，
由勾股定理可得|PF2|＝＝c，
根据椭圆定义，|PF1|＋|PF2|＝2a c＋c＝2a e＝＝．
故选B．]
题型二 圆锥曲线离心率的取值范围
[典例2] (1)(2024·武汉市江汉区月考)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABF1的周长为10a，则双曲线离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
(2)设F1，F2分别是椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则该椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
(3)设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围为________．
(1)D (2)D (3)∪(，＋∞) [(1)如图，根据双曲线的定义知△AF1B的周长为4a＋2|AB|，
而|AB|≥，
∴4a＋2|AB|≥4a＋，而△AF1B的周长为10a，
∴4a＋≤10a，即2b2≤3a2，可得2(c2－a2)≤3a2，解得e≤．又e>1，
故双曲线离心率的取值范围是．故选D．
(2)如图所示，因为线段PF1的中垂线过点F2，
∴|F1F2|＝|PF2|＝2c，
又|QF2|＝－c，
且|PF2|≥|QF2|，
故2c≥－c，即3c2≥a2，故e2≥，
又0
(3)由C与l相交于两个不同的点，知方程组有两组不同的实数解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，所以解得0且e≠．故离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．]
反思领悟 本例(1)中，考虑|AB|的临界位置(同支的焦点弦中通径最短)，建立a，c的不等关系求解；本例(2)中，利用题目所给的平面几何关系|PF2|≥|QF2|，建立关于a，c的不等关系求解；本例(3)中，利用双曲线方程中的参数a(b)，用代数方法求出a的取值范围，进而求得离心率的取值范围．
巩固迁移2 (1)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝±2x与E无公共点，则e的取值范围是________．
(2)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若椭圆C上存在一点P，使得△PF1F2的内切圆的半径为，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
(1) (2) [(1)因为双曲线E：＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，要使直线y＝±2x与E无公共点，则≥2，所以0<，所以1(2)△PF1F2的面积为|F1F2|·|yP|，因为△PF1F2的内切圆的半径为，所以△PF1F2的面积可表示为(2a＋2c)×，所以×2c×|yP|＝(2a＋2c)×，解得|yP|＝，因为|yP|≤b，所以≤b，两边平方得≤b2，又因为b2＝a2－c2，整理得5c2＋2ac－3a2≤0，因为e＝，所以不等式两边同时除以a2，得5e2＋2e－3≤0，解得－1≤e≤，又因为e∈(0，1)，所以0【教用·备选题】
1．(2025·宝鸡模拟)已知直线l：y＝x＋2与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A、B两点，点M(1，3)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．
C． D．3
A [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝1，＝3，＝1，
由两式相减可得
＝0，
则＝0，即3a2＝b2，则b＝a，所以c＝2a，e＝2．故选A．]
2．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线＝1(a>b>0)分别交于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标是m，则该双曲线的离心率是( )
A． B．
C．2 D．
A [由线段AB的中点的横坐标是m，代入直线方程x－3y＋m＝0得线段AB的中点的纵坐标是m，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立得(9b2－a2)y2－6b2my＋b2(m2－a2)＝0，
Δ＝36b4m2－4b2(9b2－a2)(m2－a2)＝4a2b2·(9b2＋m2－a2)＞0，
因此y1＋y2＝＝，整理得a2＝4b2，此时满足Δ＞0，
故该双曲线的离心率e＝＝＝．故选A．]
3．(2024·常德市汉寿县月考)已知斜率为3的直线l与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，直线l与直线y＝x交于点P(不与原点重合)，且P恰好是AB的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
B [设直线l的方程为y＝3x＋t，由解得P，显然t≠0，
由消去y并整理得(b2－9a2)x2－6a2tx－a2(t2＋b2)＝0，
显然b2－9a2≠0，且Δ＝36a4t2－4a2(9a2－b2)·(t2＋b2)＝4a2b2(b2＋t2－9a2)＞0，
由P恰好是AB的中点，得＝－，解得＝，
所以双曲线C的离心率e＝＝＝．
故选B．]
4．椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1F2与直线A2B2交于点P，若∠B1PA2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为( )
A． B．
C． D．
A [依题意，设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)，F2(c，0)．
由已知得A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，
则＝(a，b)，＝(－c，b)．
因为∠B1PA2为向量与的夹角，且∠B1PA2为钝角，
所以·<0，即b2－ac<0．又a2＝b2＋c2，
所以a2－ac－c2<0，两边同时除以a2，
得1－e－e2<0，解得e<或e>，
因为e∈(0，1)，所以5．(2025·聊城模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1，0)，一条切线的方程为x＋y＝7，则C的离心率e＝________．
[设椭圆C与x＋y＝7相切于(m，n)，可得切线方程为＝1，又切线的方程为x＋y＝7，
可得m＝a2，n＝b2，又m＋n＝7，可得a2＋b2＝49，
因为椭圆C：＝1(a>b>0)的一个焦点的坐标为(1，0)，
可得a2－b2＝1，可得a＝5，b＝2，c＝1，
所以椭圆C的离心率为e＝＝．]
进阶训练(十一) 圆锥曲线中的离心率问题
1．(2024·贵阳市云岩区一模)已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆M的两个焦点，过点F2且垂直于x轴的直线交椭圆M于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆M的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [根据题意，如图，
|AB|＝3，由椭圆的对称性可得|AF2|＝|BF2|＝，
又|F1F2|＝2，由勾股定理可得|AF1|＝＝＝，
所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，得a＝2，又c＝1，故离心率e＝＝．
故选A．]
2．(2024·临沧市云县期末)已知某双曲线以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为y＝x，则此双曲线的离心率为( )
A． B．2
C．2或 D．2或
D [当双曲线的焦点在x轴上时，可得＝，则e＝＝＝2；
当双曲线的焦点在y轴上时，可得＝，则e＝＝＝．故选D．]
3．(2024·乐山三模)设双曲线C1：－y2＝1(a>0)和椭圆C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e1＝2e2，则a＝( )
A． B．
C． D．
B [由已知得e1＝，e2＝＝，
又e1＝2e2，所以＝2，解得a＝．故选B．]
4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
A [A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)，
则kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝·＝＝，
又＝1，则＝，
所以＝，即＝，
所以椭圆C的离心率e＝＝＝．故选A．]
5．(2025·南京模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°，若坐标原点O到PF1的距离为a，则椭圆C的离心率为( )
A． B．
C． D．
D [设|PF1|＝m，|PF2|＝n，作ON⊥PF1于点N，F2M⊥PF1于点M，由题意可得|ON|＝a，故|F2M|＝a，又∠F1PF2＝60°，即有|PM|＝a，|PF2|＝a，由m＋n＝2a，可得|MF1|＝a，因为|F1F2|＝2c，在直角三角形F1MF2中，由勾股定理得a2＋＝4c2，可得e＝＝．故选D．]
6．(2025·广州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，点B的坐标为(0，b)，若C上的任意一点P都满足|PB|≥b，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(1，] D．[，＋∞)
A [设P(x，y)，|PB|≥b ≥b x2＋y2－2by≥0(*)，
由＝1 x2＝a2，代入不等式*中，
化简，得y2－2by＋a2≥0恒成立，
则有Δ＝4b2－≤0 b4≤a2c2 b2≤ac c2－a2≤ac e2－e－1≤0，
解得≤e≤，又e>1，所以17．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
[由右焦点为F (2，0)，点A的坐标为(0，1)，
可得|AF|＝＝5．
因为△APF的周长不小于18，
所以|PA|＋|PF|的最小值不小于13．
设F2为双曲线的左焦点，
可得|PF|＝|PF2|＋2a，
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取最小值，
最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，
所以5＋2a≥13，即a≥4．
因为c＝2，所以e＝＝．
又e>1，所以e∈．]
8．若斜率为的直线与双曲线＝1(a>0，b>0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．
(，＋∞) [因为斜率为的直线与双曲线＝1恒有两个公共点，所以>，则e＝＝>＝，所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．]
9．(2024·阜阳期末)已知椭圆C的焦点为F1，F2，P为C上一点，满足∠F1PF2＝，则C的离心率的取值范围是________．
[设椭圆C的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c(a>b>0，c>0)，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则r1＋r2＝2a，在△F1PF2中，∠F1PF2＝，有|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝，得－r1r2＝4c2，即(r1＋r2)2－3r1r2＝4c2，故r1r2＝(a2－c2)，因为≥2r1r2，即－r1r2≥r1r2，当且仅当r1＝r2时取等号，故4c2≥(a2－c2)，即4c2≥a2，故，解得e≥，由01/1