湖北省孝感市部分高中联考2024-2025学年高一下学期7月期末数学试卷（含答案）

湖北省孝感市部分高中2024—2025学年下学期期末联考高一数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在平面直角坐标系中,若角θ的终边经过点P,则cos θ等于( )
A. B.-
C. D.-
2.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=( )
A. B.
C.- D.-
3.已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d反向共线,则实数λ的值为( )
A.1 B.-
C. D.-2
4.如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数,的图形,图中四边形ABCD的对角线相交于点O,若=λ,则λ=( )
A.1 B. C. D.5
5.如图,正三棱柱ABC A1B1C1的底面是边长为3的正三角形,侧棱AA1=4,一小虫从点A途经三个侧面爬到点A1,则小虫爬行的最短距离为( )
A.4 B.5 C. D.
6.如果AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.AC在此平面内 D.平行或相交
7.某校对学生在寒假中参加社会实践活动的时间(单位:时)进行调查,并根据统计数据绘制了频率分布直方图如图所示,其中实践活动时间的范围是[9,14],数据的分组依次为[9,10),[10,11),[11,12),[12,13),[13,14]。已知活动时间在[9,10)内的人数为300,则活动时间在[11,12)内的人数为( )
A.600 B.800
C.1 000 D.1 200
8.若一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为10,另一组样本数据2x1+4,2x2+4,…,2xn+4的方差为8,则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为( )
A.17,54 B.17,48
C.15,54 D.15,48
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列函数中,周期为π,且在区间上单调递增的是( )
A.y=|cos x| B.y=tan 2x
C.y=cos 2x D.y=sin 2x
10.已知z为复数,设z,,iz在复平面上对应的点分别为A,B,C,O为坐标原点,则( )
A.|| B.
C.|| D.
11.如图,三棱柱ABC A1B1 C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.CC1与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则|z1-z2|= 。
13.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 。
14.某高中学校在学生中开展了“学精神,悟思想,谈收获”的主题活动。为了解该校学生参加主题学习活动的具体情况,校团委利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了260人进行问卷调查,其中高一、高二年级各抽取了85人。已知该校高三年级共有720名学生,则该校共有学生 人。
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
已知-<α<0,且函数f(α)=cos-sin α·-1。
(1)化简f(α); (7分)
(2)若f(α)=,求sin αcos α和sin α-cos α的值。 (8分)
16.（本小题满分15分）
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设。
(1)求C; (7分)
(2)若(+1)a+2b=c,求A。 (8分)
17.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C。
(1)求角C的大小; (7分)
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且·()=18,求c。(8分)
18.（本小题满分16分）
如图,在四棱锥P ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点。
(1)求证:BD⊥平面PAC; (8分)
(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE。(8分)
19.（本小题满分16分）
某市在全市高中三个年级开展了一次主题为“不负时代,不负韶华,做好社会主义接班人”的演讲比赛。共1 500名学生参与比赛,现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生,并按成绩(单位:分)分成五组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下频率分布直方图,且第五组中高三年级的学生占。
(1)求抽取的200名学生的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值为代表); (5分)
(2)若在第五组中,按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,再从中选取2人组成宣讲组,在校内进行义务宣讲,求这2人都是高三年级学生的概率; (5分)
(3)若比赛成绩x>+s(s为样本数据的标准差),则认为成绩优秀,试估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数。 (6分)
参考公式:s=(fi是第i组的频率)。参考数据:≈5.5。
高一数学试题答案
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B C A D A
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.答案：AC 10.答案：AB 11.答案：ABD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.答案： 13.答案：28 14.答案：2 080
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
解：(1)因为-<α<0,所以sin α<0,
所以f(α)=sin α-sin α·-1=sin α+sin α·-1=sin α+cos α。
(2)由f(α)=sin α+cos α=,平方可得sin2α+2sin α·cos α+cos2α=,即2sin α·cos α=-。
所以sin α·cos α=-。又-<α<0,所以sin α<0,cos α>0,所以sin α-cos α<0,
因为(sin α-cos α)2=1-2sin α·cos α=,所以sin α-cos α=-。
16.（本小题满分15分）
解：(1)因为,所以由正弦定理得,化简得a2+b2-c2=-ab,
所以cos C=。因为C∈(0,π),所以C=。
(2)因为(+1)a+2b=c,所以由正弦定理,得(+1)sin A+2sin B=sin C,
又C=,A+B+C=π,所以(+1)sin A+2sin,
即sin。因为0所以A+,即A=。
17.（本小题满分15分）
解：(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C=。
又因为C∈(0,π),故C=。
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。
因为·()=18,所以·=18,即abcos C=18,所以ab=36。由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
18.（本小题满分16分）
证明：　(1)因为PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以PA⊥BD。因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC。又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,所以BD⊥平面PAC。
(2)因为PA⊥平面ABCD,AE 平面ABCD,所以PA⊥AE。因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD,所以AB⊥AE。又AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,
所以AE⊥平面PAB。因为AE 平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE。
19.（本小题满分16分）
解：(1)抽取的200名学生的平均成绩=55×0.11+65×0.2+75×0.34+85×0.28+95×0.07=75(分)。
(2)由题意可知,第五组中共有200×0.07=14(人)。其中,高三年级的学生有14×=6(人),高一、高二年级的学生有14×=8(人)。按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人,则在高三年级的学生中抽取3人,高一、高二年级的学生中抽取4人。在这7人中选取2人组成宣讲组,共有=21(种)情况。选取的2人都是高三年级学生有=3(种)情况。所以选取的2人都是高三年级学生的概率为。
(3)s2=(55-75)2×0.11+(65-75)2×0.2+(75-75)2×0.34+(85-75)2×0.28+(95-75)2×0.07=120,
所以s=≈2×5.5=11。
由+s≈86可知,比赛成绩x>86认为成绩优秀,又1 500×[(90-86)×0.028+10×0.007]=273,
所以估计参赛的1 500名学生中成绩优秀的人数为273。