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2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
3．平面向量（逐题解析版）
一、选择题
(2025·全国一卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1.6~3.3 轻风
3 3.4~5.4 微风
4 5.5~7.9 和风
5 8.0~10.7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【解析】由题意及图得，视风风速对应的向量为：，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：，∴，
，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A．
(2024·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】因为，所以，所以即，故，
故选：D.
(2024·新高考Ⅱ，3)已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】因为，所以，即，又因为，
所以，从而.故选：B.
(2024·全国甲，理9)已知向量，则（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
(2023·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，即，整理得：．故选：D．
(2023·全国甲卷，理4)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以，即,即,所以．
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形，AB边上的高,
所以，,
．故选:D．
(2023·全国甲卷，文3)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以．
故选：B．
(2023·全国乙卷，理12)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，
则：
，则，当时，有最大值．
当点位于直线同侧时，设，
则：
，则，当时，有最大值．
综上可得，的最大值为．
故选：A．
(2023·全国乙卷，文6)正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以．
故选：B．
(2022·新高考Ⅰ，3)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
(2022·新高考Ⅱ，4)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】,,即,解得,故选：C
(2022·全国乙卷，理3)已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵，又∵
∴9，∴，故选：C．
(2022·全国乙卷，文3) 已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以．故选：D
(2021·新高考Ⅰ，10) 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，，错误；
故选：AC
(2020·新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选：A．
(2020·全国卷Ⅱ，文5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
【答案】D
【解析】由已知可得：．
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意．
(2020·全国卷Ⅲ，理5)已知向量a，b满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．
故选：D．
二、填空题
(2025·全国二卷，12)已知平面向量若，则___________
【答案】
【解析】，因为，则，则，解得．
则，则．故答案为：．
(2023·新高考Ⅱ，13)已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即．
故答案为：．
(2022·全国甲卷，文13)已知向量．若，则______________．
【答案】【解析】由题意知：，解得．
(2022·全国甲卷，理13)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
(2021·新高考Ⅱ，15) 已知向量，，，_______．
【解析】由已知可得，
因此，.
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴.
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】,，解得,故答案为：.
(2021·全国乙卷，理14)已知向量，若，则__________．
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
(2021·全国乙卷，文13)已知向量，若，则_________．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.
(2020·全国卷Ⅰ，理14)设为单位向量，且，则______________．
【答案】【解析】因为为单位向量，所以，
所以，解得：，
所以
(2020·全国卷Ⅰ，文14)设向量，若，则______________．
【答案】5
【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5．
(2020·全国卷Ⅱ，理13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
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2020年—2025年新课标全国卷数学分类汇编
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
3．平面向量
一、选择题
(2025·全国一卷，6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反．图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系．已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2（风速的大小和向量的大小相同），单位（m/s），则真风为（ ）
等级 风速大小m/s 名称
2 1．6~3．3 轻风
3 3．4~5．4 微风
4 5．5~7．9 和风
5 8．0~10．7 劲风
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
(2025·全国二卷，12)已知平面向量若，则___________
(2024·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
(2024·新高考Ⅱ，3)已知向量满足，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
(2024·全国甲，理9)已知向量，则（ ）
A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件
C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件
(2023·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
(2023·全国甲卷，理4)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国甲卷，文3)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，理12)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，文6)正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
(2022·新高考Ⅰ，3)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·新高考Ⅱ，4)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
(2022·全国乙卷，理3)已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
(2022·全国乙卷，文3) 已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(2021·新高考Ⅰ，10) 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A B. C. D.
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
(2020·新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅱ，文5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
(2020·全国卷Ⅲ，理5)已知向量a，b满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
(2023·新高考Ⅱ，13)已知向量，满足，，则______．
(2022·全国甲卷，文13)已知向量．若，则______________．
(2022·全国甲卷，理13)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
(2021·新高考Ⅱ，15) 已知向量，，，_______．
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
(2021·全国乙卷，理14)已知向量，若，则__________．
(2021·全国乙卷，文13)已知向量，若，则_________．
(2020·全国卷Ⅰ，理14)设为单位向量，且，则______________．
(2020·全国卷Ⅰ，文14)设向量，若，则______________．
(2020·全国卷Ⅱ，理13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．
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