2020—2025年新课标全国卷高考数学分类汇编——5.三角函数与解三角形(含解析)

文档属性

名称 2020—2025年新课标全国卷高考数学分类汇编——5.三角函数与解三角形(含解析)
格式 zip
文件大小 3.0MB
资源类型 试卷
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-07-03 17:52:03

文档简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
编写说明:研究发现,新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律.掌握了全国卷的各种题型,就把握住了全国卷命题的灵魂.
本资料是根据全国卷的特点精心编写,共包含9个专题,分别是:
1.集合、逻辑、不等式 2.复数 3.平面向量 4.函数与导数 5.三角函数与解三角形
6.数列 7.立体几何 8.解析几何 9.概率与统计
5.三角函数与解三角形(解析版)
一、选择题
(2025·全国一卷,4)若点是函数的图像的一个对称中心,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据正切函数的性质,的对称中心横坐标满足,即的对称中心是,即,
又,则时最小,最小值是,即.故选:B
(2025·全国一卷,11)已知的面积为,若,则( )
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】,由二倍角公式,,
整理可得,,A选项正确;
由诱导公式,,展开可得,
即,下证.
方法一:分类讨论
若,则可知等式成立;
若,即,由诱导公式和正弦函数的单调性可知,,同理,
又,于是,与条件不符,则不成立;
若,类似可推导出,则不成立.
综上讨论可知,,即.
方法二:边角转化
时,由,则,于是,
由正弦定理,,由余弦定理可知,,则,若,则,注意到,则,于是(两者同负会有两个钝角,不成立),于是,结合,而都是锐角,则,于是,这和相矛盾,故不成立,则
方法三:结合射影定理(方法一改进)
由,结合正弦定理可得,,由射影定理可得,于是,
则,可同方法一种讨论的角度,推出,
方法四:和差化积(方法一改进)
续法三:,可知同时为或者异号,即,展开可得,,
即,结合和差化积,,由上述分析,,则,则,则,即,于是,可知.
由,由,则,即,
则,同理,由上述推导,,则,
不妨设,则,即,
由两角和差的正弦公式可知,C选项正确
由两角和的正切公式可得,,设,则,
由,则,则,
于是,B选项正确,由勾股定理可知,,D选项错误.
故选:ABC
(2025·全国二卷,5)在中,,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,又,所以.故选:A
(2025·全国二卷,8)已知,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,因为,则,则,
则.故选:D.
(2024·新高考Ⅰ,4)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为,所以,而,所以,故即,从而,故,故选:A.
(2024·新高考Ⅰ,7)当时,曲线与的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】因为函数的的最小正周期为,函数的最小正周期为,所以在上函数有三个周期的图象, 在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:
由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C
(2024·新高考Ⅱ,9)对于函数和,下列正确的有( )
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项,令,解得,即为零点,令,解得,即为零点,显然零点不同,A选项错误;
B选项,显然,B选项正确;
C选项,根据周期公式,的周期均为,C选项正确;
D选项,根据正弦函数的性质的对称轴满足,的对称轴满足,显然图像的对称轴不同,D选项错误. 故选:BC
(2024·全国甲,理8文9)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以,,
所以,故选:B.
(2024·全国甲,理11文12)在中内角所对边分别为,若,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为,则由正弦定理得.
由余弦定理可得:,
即:,根据正弦定理得,
所以,
因为为三角形内角,则,则.
故选:C.
(2023·新高考Ⅰ,8)已知,则( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因,而,因此,
则,
所以.
故选:B
【点睛】方法点睛:三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但非特殊角与特殊角总有一定关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数.
(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.
(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.
(2023·新高考Ⅱ,7)已知为锐角,,则( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,而为锐角,解得:.
故选:D.
(2023·全国甲卷,理7)设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时,例如但,
即推不出;
当时,,
即能推出.
综上可知,甲是乙的必要不充分条件.
故选:B
(2023·全国乙卷,文4) 在中,内角的对边分别是,若,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得,
即,
整理可得,由于,故,
据此可得,则.
故选:C.
(2023·全国乙卷,理6文10)已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条相邻对称轴,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增,
所以,且,则,,
当时,取得最小值,则,,
则,,不妨取,则,
则,故选:D.
(2022·新高考Ⅰ,6)记函数的最小正周期为T.若,且的图象关于点中心对称,则( )
A.1 B. C. D.3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足,得,解得,又因为函数图象关于点对称,所以,且,所以,所以,,所以.故选:A
(2022·新高考Ⅱ,6)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得:,
即:,即:
所以,故选:C
[方法二]:特殊值排除法:设β=0则sinα +cosα =0,取,排除A, B;
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ,取β,排除D;选C.
[方法三]:三角恒等变换:
所以

故选:C.
(2022·新高考Ⅱ,9多选)已知函数的图像关于点中心对称,则( )
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得:,所以,,即,
又,所以时,,故.
对A,当时,,由正弦函数图象知在上是单调递减;
对B,当时,,由正弦函数图象知只有1个极值点,由,解得,即为函数的唯一极值点;
对C,当时,,,直线不是对称轴;
对D,由得:,
解得或,
从而得:或,所以函数在点处的切线斜率为,切线方程为:即.故选:AD.
(2022·全国甲卷,理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图,连接,
因为是的中点,
所以,
又,所以三点共线,
即,
又,
所以,
则,故,
所以.
故选:B.
(2022·全国甲卷,理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意可得,因为,所以,
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点,又,的图象如下所示:
则,解得,即.
故选:C.
(2022·全国甲卷,文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意知:曲线为,又关于轴对称,则,解得,又,故当时,的最小值为.故选:C.
(2022·全国乙卷,文11)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
所以在区间和上,即单调递增;
在区间上,即单调递减,
又,,,
所以在区间上的最小值为,最大值为.
故选:D
(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为,
对于函数,由,
解得,
取,可得函数的一个单调递增区间为,
则,,A选项满足条件,B不满足条件;
取,可得函数的一个单调递增区间为,
且,,CD选项均不满足条件.
故选:A.
(2021·新高考Ⅰ,6) 若,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
.故选:C.
(2021·全国甲卷,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影满足,.由C点测得B点的仰角为,与的差为100;由B点测得A点的仰角为,则A,C两点到水平面的高度差约为()( )
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【答案】B
【解析】
过作,过作,
故,
由题,易知为等腰直角三角形,所以.
所以.
因为,所以
在中,由正弦定理得:

而,
所以,
所以.
故选:B.
(2021·全国甲卷,理9)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,
,,,解得,
,.故选:A.
(2021·全国甲卷,文8)在中,已知,,,则( )
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】设,结合余弦定理:可得:,即:,解得:(舍去),故.故选:D.
(2021·全国甲卷,文11)若,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,
,,,解得,
,.
(2021·全国乙卷,理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解法一:函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到的图象,再把所得曲线向右平移个单位长度,应当得到的图象,
根据已知得到了函数的图象,所以,
令,则,
所以,所以;
解法二:由已知的函数逆向变换,
第一步:向左平移个单位长度,得到的图象,
第二步:图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到的图象,
即为的图象,所以.
故选:B.
(2021·全国乙卷,理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高( )
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出.
【详解】如图所示:
由平面相似可知,,而,所以
,而,
即=.
故选:A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式,围绕所求目标进行转化即可解出.
(2021·全国乙卷,文4)函数的最小正周期和最大值分别是( )
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C
【解析】由题,,所以的最小正周期为,最大值为.
故选:C.
(2021·全国乙卷,文6)( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合诱导公式可得,再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意,
.
故选:D.
(2020·新高考Ⅰ,10)(多选题)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)= ( )
A. B. C. D.
【答案】BC 【解析】由函数图像可知:,则,所以不选A,
当时,,解得:,
即函数的解析式为:.
而 故选:BC.
(2020·全国卷Ⅰ,文理7)设函数在的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由图可得:函数图象过点,将它代入函数可得:,
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点,
所以,解得:,所以函数的最小正周期为.
(2020·全国卷Ⅰ,理9)已知,且,则( )
A B. C. D.
【答案】A 【解析】,得,
即,解得或(舍去),
又.故选:A.
(2020·全国卷Ⅲ,理7)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=( )
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】在中,,,,
根据余弦定理:,,
可得 ,即,由,故.
(2020·全国卷Ⅲ,理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=( )
A.–2 B.–1 C.1 D.2
【答案】D 【解析】,,
令,则,整理得,解得,即.
故选:D.
(2020·全国卷Ⅲ,文5)已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】由题意可得:,则:,,从而有:,即.
(2020·全国卷Ⅲ,文11)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则tanB=( )
A. B.2 C.4 D.8
【答案】C 【解析】设,

(2020·全国卷Ⅲ,文12)已知函数f(x)=sinx+,则( )
A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图像关于y轴对称
C.f(x)的图像关于直线对称 D.f(x)的图像关于直线对称
【答案】D 【解析】可以为负,所以A错;
关于原点对称;
故B错;
关于直线对称,故C错,D对.
二、填空题
(2024·新高考Ⅱ,13)已知为第一象限角,为第三象限角,,,则_______.
【答案】
【解析】法一:由题意得,
因为,,
则,,
又因为,
则,,则,
则,联立 ,解得.
法二: 因为为第一象限角,为第三象限角,则,
,,

故答案为:.
(2024·全国甲,文13)函数在上的最大值是______.
【答案】2
【解析】,当时,,
当时,即时,.
(2023·新高考Ⅰ,15)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________.
【答案】
【解析】因为,所以,令,则有3个根,
令,则有3个根,其中,
结合余弦函数的图像性质可得,故,
故答案为:.
(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则______.
【答案】
【解析】设,由可得,
由可知,或,,由图可知,
,即,.
因为,所以,即,.
所以,
所以或,
又因为,所以,.
(2023·全国甲卷,理16)在中,,的角平分线交BC于D,则_________.
【答案】
【解析】
如图所示:记,
方法一:由余弦定理可得,,
因为,解得:,
由可得,

解得:.
故答案为:.
方法二:由余弦定理可得,,因为,解得:,
由正弦定理可得,,解得:,,
因为,所以,,
又,所以,即.
(2023·全国乙卷,文14)若,则________.
【答案】
【解析】因为,则,
又因为,则,
且,解得或(舍去),
所以.
(2022·全国乙卷,理15)记函数的最小正周期为T,若,为的零点,则的最小值为____________.
【答案】
【解析】因为,(,)
所以最小正周期,因为,
又,所以,即,
又为的零点,所以,解得,
因为,所以当时;
故答案为:
(2022·全国甲卷,文理16)已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.
【答案】
【解析】[方法一]:余弦定理
设,
则在中,,
在中,,
所以

当且仅当即时,等号成立,
所以当取最小值时,.
故答案为:.
[方法二]:建系法
令 BD=t,以D为原点,OC为x轴,建立平面直角坐标系.
则C(2t,0),A(1,),B(-t,0)
[方法三]:余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
,,
,,
令,则,


当且仅当,即时等号成立.
[方法四]:判别式法
设,则
在中,,
在中,,
所以,记,

由方程有解得:
即,解得:
所以,此时
所以当取最小值时,,即.
(2021·全国乙卷,文理15)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得,再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意,,
所以,
所以,解得(负值舍去).
故答案为:.
(2020·新高考Ⅰ,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
【答案】 【解析】设,由题意,,所以,
因为,所以,因为,所以,
因为与圆弧相切于点,所以,即为等腰直角三角形;
在直角中,,,
因为,所以,解得;
等腰直角的面积为;扇形的面积,
所以阴影部分的面积为.
(2020·全国卷Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=______________.
【答案】 【解析】,,,由勾股定理得,
同理得,,在中,,,,
由余弦定理得,
,在中,,,,
由余弦定理得.
(2020·全国卷Ⅱ,文13)若,则__________.
【答案】 【解析】.
(2020·全国卷Ⅲ,理16)关于函数f(x)=有如下四个命题:
①f(x)的图像关于y轴对称.②f(x)的图像关于原点对称.③f(x)的图像关于直线x=对称.
④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________.
【答案】②③
【解析】对于命题①,,,则,
所以,函数的图象不关于轴对称,命题①错误;
对于命题②,函数的定义域为,定义域关于原点对称,

所以,函数的图象关于原点对称,命题②正确;
对于命题③,,
,则,
所以,函数的图象关于直线对称,命题③正确;
对于命题④,当时,,则,命题④错误.
故答案为:②③.
三、解答题
(2025·全国二卷,15)已知函数.
(1)求;(2)设函数,求的值域和单调区间.
【解析】(1)由题意,所以;
(2)由(1)可知,
所以

所以函数的值域为,
令,解得,
令,解得,
所以函数的单调递减区间为,
函数的单调递增区间为.
(2024·新高考Ⅰ,15)记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知,
(1)求B;(2)若的面积为,求c.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)由余弦定理有,对比已知,
可得,
因为,所以,
从而,
又因为,即,
注意到,所以.
(2)由(1)可得,,,从而,,
而,
由正弦定理有,
从而,
由三角形面积公式可知,的面积可表示为

由已知面积为,可得,
所以.
(2024·新高考Ⅱ,15)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;(2)若,,求的周长.
【解析】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)
由可得,即,
由于,故,解得
方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)
由,又,消去得到:
,解得,
又,故
方法三:利用极值点求解
设,则,
显然时,,注意到,
,在开区间上取到最大值,于是必定是极值点,
即,即,
又,故
方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)
设,由题意,,
根据向量的数量积公式,,
则,此时,即同向共线,
根据向量共线条件,,
又,故
方法五:利用万能公式求解
设,根据万能公式,,
整理可得,,
解得,根据二倍角公式,,
又,故
(2)由题设条件和正弦定理,,
又,则,进而,得到,于是,

由正弦定理可得,,即,解得,
故的周长为
(2023·新高考Ⅰ,17)已知在中,.
(1)求;(2)设,求边上的高.
【答案】(1)
(2)6
【解析】(1),,即,
又,



即,所以,
.
(2)由(1)知,,
由,
由正弦定理,,可得,

.
(2023·新高考Ⅱ,17)记的内角的对边分别为,已知的面积为,为中点,且.
(1)若,求;(2)若,求.
【解析】(1)方法1:在中,因为为中点,,,
则,解得,
在中,,由余弦定理得,
即,解得,则,

所以.
方法2:在中,因为为中点,,,
则,解得,
在中,由余弦定理得,
即,解得,有,则,
,过作于,于是,,
所以.
(2)方法1:在与中,由余弦定理得,
整理得,而,则,
又,解得,而,于是,
所以.
方法2:在中,因为为中点,则,又,
于是,即,解得,
又,解得,而,于是,
所以.
(2023·全国甲卷,文17)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;(2)若,求面积.
【解析】(1)因为,所以,解得:.
(2)由正弦定理可得

变形可得:,即,
而,所以,又,所以,
故的面积为.
(2023·全国乙卷,理18)在中,已知,,.
(1)求;
(2)若D为BC上一点,且,求的面积.
【答案】(1); (2).
【解析】(1)由余弦定理可得:,
则,,.
(2)由三角形面积公式可得,
则.
(2022·新高考Ⅰ,18)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若,求B;(2)求的最小值.
【解析】(1)因为,
即,
而,所以;
(2)由(1)知,,所以,而,
所以,即有,所以
所以

当且仅当时取等号,所以的最小值为.
(2022·新高考Ⅱ,18)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知.
(1)求的面积;
(2)若,求b.
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由题意得,
则,
即,由余弦定理得,整理得,则,又,
则,,则;
(2)由正弦定理得:,则,
则,.
(2022·全国乙卷,理17)记的内角的对边分别为,已知.
(1)证明:;
(2)若,求的周长.
【解析】(1)证明:因为,
所以,
所以,
即,
所以;
(2)因为,由(1)得,
由余弦定理可得, 则,所以,
故,
所以,
所以的周长为.
(2022·全国乙卷,文17)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知.
(1)若,求C;(2)证明:
【解析】(1)由,可得,,而,所以,即有,而,显然,所以,,而,,所以.
(2)由可得,
,再由正弦定理可得,
,然后根据余弦定理可知,
,化简得:
,故原等式成立.
(2021·新高考Ⅰ,19) 记是内角,,的对边分别为,,.已知,点在边上,.
(1)证明:;
(2)若,求
【解析】
(1)由题设,,由正弦定理知:,即,
∴,又,
∴,得证.
(2)由题意知:,
∴,同理,
∵,
∴,整理得,又,
∴,整理得,解得或,
由余弦定理知:,
当时,不合题意;当时,;
综上,.
(2021·新高考Ⅱ,18)在中,角、、所对的边长分别为、、,,..
(1)若,求的面积;
(2)是否存在正整数,使得为钝角三角形 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)因为,则,则,故,,
,所以,为锐角,则,
因此,;
(2)显然,若为钝角三角形,则为钝角,
由余弦定理可得,
解得,则,
由三角形三边关系可得,可得,,故.
(2020·新高考Ⅰ,17)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【解析】选择条件①的解析:
由可得:,
不妨设,
则:,即.
据此可得:,,此时.
选择条件②的解析:
由可得:,
不妨设,
则:,即.
据此可得:,
则:,此时:,则:.
选择条件③的解析:
由可得:,
不妨设,
则:,即.
据此可得,,
与条件矛盾,则问题中的三角形不存在.
(2020·全国卷Ⅰ,文18)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=c,b=2,求的面积;(2)若sinA+sinC=,求C.
【解析】(1)由余弦定理可得,
的面积;
(2),

,.
(2020·全国卷Ⅱ,理17)中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;(2)若BC=3,求周长的最大值.
【解析】(1)由正弦定理可得:,,
,.
(2)由余弦定理得:,
即.
(当且仅当时取等号),

解得:(当且仅当时取等号),
周长,周长的最大值为.
(2020·全国卷Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;(2)若,证明:△ABC是直角三角形.
【解析】(1)因为,所以,
即,
解得,又,所以;
(2)因为,所以,
即①,
又②, 将②代入①得,,
即,而,解得,
所以,故,
即是直角三角形.
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2020年—2025年新课标全国卷数学分类汇编
编写说明:研究发现,新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性.每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律.掌握了全国卷的各种题型,就把握住了全国卷命题的灵魂.
本资料是根据全国卷的特点精心编写,共包含9个专题,分别是:
1.集合、逻辑、不等式 2.复数 3.平面向量 4.函数与导数 5.三角函数与解三角形
6.数列 7.立体几何 8.解析几何 9.概率与统计
2020年—2025年新课标全国卷数学试题分类汇编
5.三角函数与解三角形
一、选择题
(2025·全国一卷,4)若点是函数的图像的一个对称中心,则a的最小值为( )
A. B. C. D.
(2025·全国一卷,11多选)已知的面积为,若,则( )
A. B.
C. D.
(2025·全国二卷,5)在中,,,,则( )
A. B. C. D.
(2025·全国二卷,8)已知,,则( )
A. B. C. D.
(2024·新高考Ⅰ,4)已知,则( )
A. B. C. D.
(2024·新高考Ⅰ,7)当时,曲线与的交点个数为( )
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
(2024·新高考Ⅱ,9多选)对于函数和,下列正确的有( )
A. 与有相同零点 B. 与有相同最大值
C. 与有相同的最小正周期 D. 与的图像有相同的对称轴
(2024·全国甲,理8文9)已知,则( )
A. B. C. D.
(2024·全国甲,理11文12)在中内角所对边分别为,若,,则( )
A. B. C. D.
(2023·新高考Ⅰ,8)已知,则( ).
A. B. C. D.
(2023·新高考Ⅱ,7)已知为锐角,,则( ).
A. B. C. D.
(2023·全国甲卷,理7)设甲:,乙:,则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2023·全国乙卷,文4) 在中,内角的对边分别是,若,且,则( )
A. B. C. D.
(2023·全国乙卷,理6文10)已知函数在区间单调递增,直线和为函数的图像的两条相邻对称轴,则( )
A. B. C. D.
(2022·新高考Ⅰ,6)记函数的最小正周期为T.若,且的图象关于点中心对称,则( )
A.1 B. C. D.3
(2022·新高考Ⅱ,6)若,则( )
A. B. C. D.
(2022·新高考Ⅱ,9多选)已知函数的图像关于点中心对称,则( )
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
(2022·全国甲卷,理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,如图,是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在上,.“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式:.当时,( )
A. B. C. D.
(2022·全国甲卷,理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
(2022·全国甲卷,文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是( )
A. B. C. D.
(2022·全国乙卷,文11)函数在区间的最小值、最大值分别为( )
A. B. C. D.
(2021·新高考Ⅰ,4)下列区间中,函数单调递增的区间是( )
A. B. C. D.
(2021·新高考Ⅰ,6) 若,则( )
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷,理8)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影满足,.由C点测得B点的仰角为,与的差为100;由B点测得A点的仰角为,则A,C两点到水平面的高度差约为()( )
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
(2021·全国甲卷,理9文11)若,则( )
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷,文8)在中,已知,,,则( )
A. 1 B. C. D. 3
(2021·全国乙卷,理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移个单位长度,得到函数的图像,则( )
A. B. C. D.
(2021·全国乙卷,理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作,其中第一题是测海岛的高.如图,点,,在水平线上,和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,称为“表距”,和都称为“表目距”,与的差称为“表目距的差”则海岛的高( )
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
(2021·全国乙卷,文4)函数的最小正周期和最大值分别是( )
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
(2021·全国乙卷,文6)( )
A. B. C. D.
(2020·新高考Ⅰ,10)(多选题)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像,则sin(ωx+φ)= ( )
A. B.
C. D.
(2020·全国卷Ⅰ,文理7)设函数在的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C. D.
(2020·全国卷Ⅰ,理9)已知,且,则( )
A B. C. D.
(2020·全国卷Ⅲ,理7)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则cosB=( )
A. B. C. D.
(2020·全国卷Ⅲ,理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7,则tanθ=( )
A.–2 B.–1 C.1 D.2
(2020·全国卷Ⅲ,文5)已知,则( )
A. B. C. D.
(2020·全国卷Ⅲ,文11)在△ABC中,cosC=,AC=4,BC=3,则tanB=( )
A. B.2 C.4 D.8
(2020·全国卷Ⅲ,文12)已知函数f(x)=sinx+,则( )
A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图像关于y轴对称
C.f(x)的图像关于直线对称 D.f(x)的图像关于直线对称
二、填空题
(2024·新高考Ⅱ,13)已知为第一象限角,为第三象限角,,,则_______.
(2024·全国甲,文13)函数在上的最大值是______.
(2023·新高考Ⅰ,15)已知函数在区间有且仅有3个零点,则的取值范围是________.
(2023·新高考Ⅱ,16)已知函数,如图A,B是直线与曲线的两个交点,若,则______.
(2023·全国甲卷,理16)在中,,的角平分线交BC于D,则_________.
(2023·全国乙卷,文14)若,则________.
(2022·全国乙卷,理15)记函数的最小正周期为T,若,为的零点,则的最小值为____________.
(2022·全国甲卷,文理16)已知中,点D在边BC上,.当取得最小值时,________.
(2021·全国甲卷,文15)已知函数的部分图像如图所示,则_________.
(2021·全国甲卷,理16)已知函数的部分图像如图所示,则满足条件的最小正整数x为________.
(2021·全国乙卷,文理15)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.
(2020·新高考Ⅰ,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BC⊥DG,垂足为C,tan∠ODC=,,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________cm2.
(2020·全国卷Ⅰ,理16)如图,在三棱锥P–ABC的平面展开图中,AC=1,,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB=______________.
(2020·全国卷Ⅲ,理16)关于函数f(x)=有如下四个命题:①f(x)的图像关于y轴对称.②f(x)的图像关于原点对称.③f(x)的图像关于直线x=对称.④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是__________.
(2020·全国卷Ⅱ,文13)若,则__________.
三、解答题
(2025·全国二卷,15)已知函数.
(1)求;(2)设函数,求的值域和单调区间.
(2024·新高考Ⅰ,15)记内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知,
(1)求B;(2)若的面积为,求c.
(2024·新高考Ⅱ,15)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;(2)若,,求的周长.
(2023·新高考Ⅰ,17)已知在中,.
(1)求;(2)设,求边上的高.
(2023·新高考Ⅱ,17)记的内角的对边分别为,已知的面积为,为中点,且.
(1)若,求;(2)若,求.
(2023·全国甲卷,文17)记的内角的对边分别为,已知.
(1)求;(2)若,求面积.
(2023·全国乙卷,理18)在中,已知,,.
(1)求;
(2)若D为BC上一点,且,求的面积.
(2022·新高考Ⅰ,18)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)若,求B;(2)求的最小值.
(2022·新高考Ⅱ,18)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,已知.
(1)求的面积;(2)若,求b.
(2022·全国乙卷,理17)记的内角的对边分别为,已知.
(1)证明:;(2)若,求的周长.
(2022·全国乙卷,文17)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c﹐已知.
(1)若,求C;(2)证明:
(2021·新高考Ⅰ,19) 记是内角,,的对边分别为,,.已知,点在边上,.
(1)证明:;(2)若,求
(2021·新高考Ⅱ,18)在中,角、、所对的边长分别为、、,,..
(1)若,求的面积;
(2)是否存在正整数,使得为钝角三角形 若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
(2020·新高考Ⅰ,17)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在,它的内角的对边分别为,且,,________
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
(2020·全国卷Ⅰ,文18)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°.
(1)若a=c,b=2,求的面积;(2)若sinA+sinC=,求C.
(2020·全国卷Ⅱ,理17)中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;(2)若BC=3,求周长的最大值.
(2020·全国卷Ⅱ,文17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.
(1)求A;(2)若,证明:△ABC是直角三角形.
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