四川省自贡市富顺县代寺学区2025年中考模拟一模数学试题
1．（2025·富顺模拟）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A． B．1 C． D．3
2．（2025·富顺模拟）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·富顺模拟）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·富顺模拟）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7
5．（2025·富顺模拟）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·富顺模拟）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·富顺模拟）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·富顺模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2025·富顺模拟）如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( )
A．体育场离张强家
B．体育场离早餐店
C．张强在体育场锻炼了
D．张强从早餐店回家的平均速度是
10．（2025·富顺模拟）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·富顺模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
12．（2025·富顺模拟）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
13．（2025·富顺模拟）分解因式： .
14．（2025·富顺模拟）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
15．（2025·富顺模拟）化简：的结果为 ．
16．（2025·富顺模拟）实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为 ．
17．（2025·富顺模拟）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
18．（2025·富顺模拟）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
19．（2025·富顺模拟）计算：．
20．（2025·富顺模拟）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
21．（2025·富顺模拟）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结．
（1）若，求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
22．（2025·富顺模拟）从甲地到乙地有120千米，一辆小车与一辆卡车同时从甲地出发，沿相同路线开往乙地，已知小车的速度是卡车的1.5倍，结果小车比卡车提前30分钟到达乙地．求小车和卡车的行驶速度各是多少？
23．（2025·富顺模拟）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
24．（2025·富顺模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
25．（2025·富顺模拟）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
26．（2025·富顺模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位，
∴此时该点对应的数是-1+2=1，
故答案为：B．
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，有理数所表示的点在数轴上左右移动的规律为：左减右加，据此即可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．观察各选项中的几何体可得答案.
4．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，
∵处于最中间的两个数是5和7，
∴这组数据的中位数是，
∴这组数据的中位数是6；
∵7出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是7；
故答案为：C.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；若一组数据有n个数，按大小顺序排列后，当n是奇数时，第个数是中位数；若n是偶数时，第个数和第+1个数的平均数是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.
5．【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得，从而得，由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数．
6．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理得，由圆内接四边形对角互补得，最后利用邻补角求出 的度数.
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、点（15，2.5）表示张强从家到达了体育场，则体育场离张强家2.5km，故A正确；
B、由函数图象可知早餐店离家越来越近，而体育场离张强家2.5km，早餐店离家1.5km，则体育场离早餐店2.5-1.5=1km，故B错误；
C、由函数图象可知张强在体育场锻炼时间为30-15=15min，故C正确；
D.、由函数图象可知早餐店离张强家1.5km，张强从早餐店散步走回家花了35min，则张强从早餐店回家的平均速度是，故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是利用函数的图象解决实际问题，理解函数图象中横、纵轴所表示的意义，由点（15，2.5）可知体育场离张强家的距离，即可判断A正确；由函数图象可知早餐店离家越来越近以及体育场离张强家、早餐店离家的距离，从而求出 体育场离早餐店的距离，即可判断B正确；由函数图象可知张强在体育场锻炼时间，即可判断C错误；由函数图象可知早餐店离张强家的距离以及张强从早餐店散步走回家的时间，进而求出张强从早餐店回家的平均速度，即可判断D正确.
10．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作，从而得轴，进而根据点，的坐标求出点坐标，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得的值，最后即可求出点的坐标．
11．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵四边形是直角梯形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴梯形的面积为：，
∴当时，梯形ABCD的最大面积为m2；
故答案为：C．
【分析】过点作于，先证明四边形是矩形，根据矩形的性质设，则，同时求出，由含30°的直角三角形的性质得，解直角三角形得，，然后利用梯形面积公式得梯形面积S关于x的函数关系式，最后利用二次函数最值知识进行求解即可.
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠的性质，
∴，，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∴，
∴②，
∵，
∴由①②得，
解得：，
∴，
在中，，
∵，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质得，根据折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，从而由矩形的性质以及平行公理推论得，，进而根据平行线分线段成比例定理得，于是求出，然后根据角平分线的定义以及平行线的性质得，结合等腰三角形的判定，进行等量代换得，接下来设，根据相似三角形的判定得和，推出和，由，列式计算求得的值，在中，利用勾股定理求得的长，最后即可求出的值.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
14．【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
15．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】本题考查的是同分母分数的减法，由分母不变，把分子相减，然后将分式分子进行因式分解，最后进行约分即可求解.
16．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先由圆周角定理求出，然后根据，结合扇形面积公式以及三角形面积公式得到答案.
18．【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接交于点，
∴，即的最小值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，根据对称的性质得的最小值为的长度，由矩形的性质得，利用正切的定义以及特殊角的三角函数值得，然后根据对称的性质得，，利用含30°的直角三角形的性质得，从而得，接下来求出，，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，由等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理求出，最后利用勾股定理即可得的长度.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、绝对值的意义、特殊的三角函数值、负整数指数幂进行化简，然后进行加减运算即可.
20．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到，即可利用SAS证明，即可利用全等三角形的性质证明得到．
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵与边相切于点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵∵与边相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径长为3．
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，，由切线的性质得，从而可推导出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）根据等腰三角形“等边对等角”性质得，由直径所对的圆周角是直角以及切线的性质得，，可推导出，即可证明，根据相似三角形对应边成比例得，于是得，从而求出，即求出的半径长.
（1）证明：连接，则，
∴，
∵的圆心O在上，且与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的半径长为3．
22．【答案】解：设卡车的行驶速度为x千米/时，则小车的行驶速度为1.5x千米/时，
根据题意得： ，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=120，
答：小车的行驶速度为120千米/时，卡车的行驶速度为80千米/时
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设卡车的行驶速度为x千米/时，则小车的行驶速度为1.5x千米/时， 则小车行完全程需要的时间为小时，卡车行完全程需要的时间为小时，根据从甲地到乙地，小车所用时间比卡车少半小时即可列出方程，求解并检验即可得出卡车的速度，进而算出小车的速度。
23．【答案】（1）80
（2）72
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得调查的学生人数为：（名），
故答案为：80.
（2）D的人数为：（名），
∴补全条形统计图如下图：
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）用A的人数除以其所占百分比得到被调查的学生人数；
（2）先用被调查的学生总人数减去A，B，C，E的人数得到D人数，然后再补全统计图，用360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得刚好选到相同性别学生的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）解：D的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
（3）解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
24．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入一次函数解析式求出，再将代入反比例函数解析即可求出的值；
（2）由于直线与直线平行，得，再把点代入求出B点坐标，代入中，求出，从而得出平移距离；结合图象判断出当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
25．【答案】（1）解：如图，
由题意得，
∴；
（2）解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴山高为，
∴山高为69米；
（3）解：如图，
由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴山高，
∴山高的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）利用互余的性质即可求解；
（2）先求出，然后分别在、、中，解直角三角形得，，的值，最后求和即可；
（3）先求得，，在和中，解直角三角形分别求得和的长，得到方程，解方程即可求解．
（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：在中，．
∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
26．【答案】解：（1）将，，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴的值最大值时，的面积最大，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，；
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，
∴，
∵，，
∴，
同理可求直线的解析式为，
当时，有，
∴，
∵作点关于的对称点，
∴，，
同理可求直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）过点作轴交于点，设，则，从而得的值，进而利用三角形面积公式可知的值最大值时，的面积最大，最后利用二次函数的最值知识求解即可；
（3）将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，
则，结合点坐标可得，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得，然后根据对称的性质得，，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得.
1 / 1四川省自贡市富顺县代寺学区2025年中考模拟一模数学试题
1．（2025·富顺模拟）将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】B
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：∵将-1在数轴上对应的点向右平移2个单位，
∴此时该点对应的数是-1+2=1，
故答案为：B．
【分析】本题考查了数轴上的动点问题，有理数所表示的点在数轴上左右移动的规律为：左减右加，据此即可求解.
2．（2025·富顺模拟）第二十届中国国际酒业博览会于2024年3月21-24日在泸州市国际会展中心举办，各种活动带动消费2.6亿元，将数据260000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据260000000用科学记数法表示为2.6×108.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2025·富顺模拟）下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
B、主视图为三角形，左视图为三角形，故本选项不符合题意；
C、主视图为矩形，左视图为矩形，故本选项符合题意；
D、主视图为矩形，左视图为三角形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】主视图、左视图是分别从物体正面、左面所看到的图形．观察各选项中的几何体可得答案.
4．（2025·富顺模拟）6名学生一周做家务的天数依次为4，4，5，7，7，7，这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．5，4 B．6，5 C．6，7 D．7，7
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，
∵处于最中间的两个数是5和7，
∴这组数据的中位数是，
∴这组数据的中位数是6；
∵7出现了3次，是这组数据中出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是7；
故答案为：C.
【分析】求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；若一组数据有n个数，按大小顺序排列后，当n是奇数时，第个数是中位数；若n是偶数时，第个数和第+1个数的平均数是中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可求解.
5．（2025·富顺模拟）如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两直线平行，同旁内角互补；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得，从而得，由两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数．
6．（2025·富顺模拟）2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：ABC选项不能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则ABC不是中心对称图形，D选项能在平面上找到一个点，使图形绕着某一个点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，则D是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐项进行判断即可.
7．（2025·富顺模拟）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理得，由圆内接四边形对角互补得，最后利用邻补角求出 的度数.
8．（2025·富顺模拟）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的图象；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0没有实根，
∴△=b2-4ac＜0，即22-4(1-k)＜0，
解得k＜0，
∴正比例函数y=kx得图象经过二四象限，
又∵反比例函数的图象图象两支分布在第一、三象限，
∴函数y=kx与函数的图象没有交点.即交点的个数为零.
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根与系数的关系并结合题意得△=b2-4ac＜0，据此列出关于字母k的不等式，求解可得k的取值范围；然后根据正比例函数y=kx中，k＞0图象经过一三象限，k＜0图象经过二四象限；反比例函数中，k＞0图象两支分布在一三象限，k＜0图象两支分布在二四象限；分别判断出两个函数图象经过的象限，即可得出两函数图象交点的个数.
9．（2025·富顺模拟）如图所示，图象所反映的过程是张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离，根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是( )
A．体育场离张强家
B．体育场离早餐店
C．张强在体育场锻炼了
D．张强从早餐店回家的平均速度是
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、点（15，2.5）表示张强从家到达了体育场，则体育场离张强家2.5km，故A正确；
B、由函数图象可知早餐店离家越来越近，而体育场离张强家2.5km，早餐店离家1.5km，则体育场离早餐店2.5-1.5=1km，故B错误；
C、由函数图象可知张强在体育场锻炼时间为30-15=15min，故C正确；
D.、由函数图象可知早餐店离张强家1.5km，张强从早餐店散步走回家花了35min，则张强从早餐店回家的平均速度是，故D正确；
故答案为：B．
【分析】本题主要考查的是利用函数的图象解决实际问题，理解函数图象中横、纵轴所表示的意义，由点（15，2.5）可知体育场离张强家的距离，即可判断A正确；由函数图象可知早餐店离家越来越近以及体育场离张强家、早餐店离家的距离，从而求出 体育场离早餐店的距离，即可判断B正确；由函数图象可知张强在体育场锻炼时间，即可判断C错误；由函数图象可知早餐店离张强家的距离以及张强从早餐店散步走回家的时间，进而求出张强从早餐店回家的平均速度，即可判断D正确.
10．（2025·富顺模拟）如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，轴，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作，
∵轴，
∴轴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点作，从而得轴，进而根据点，的坐标求出点坐标，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得的值，最后即可求出点的坐标．
11．（2025·富顺模拟）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（ ）
A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∴，
∵四边形是直角梯形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴梯形的面积为：，
∴当时，梯形ABCD的最大面积为m2；
故答案为：C．
【分析】过点作于，先证明四边形是矩形，根据矩形的性质设，则，同时求出，由含30°的直角三角形的性质得，解直角三角形得，，然后利用梯形面积公式得梯形面积S关于x的函数关系式，最后利用二次函数最值知识进行求解即可.
12．（2025·富顺模拟）如图，在矩形中，平分，将矩形沿直线折叠，使点A，B分别落在边上的点，处，，分别交于点G，H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠的性质，
∴，，四边形和四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴①，
∵，
∴，
∴，
∴②，
∵，
∴由①②得，
解得：，
∴，
在中，，
∵，
∵，
解得：，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据矩形的性质得，根据折叠的性质得，，四边形和四边形都是矩形，从而由矩形的性质以及平行公理推论得，，进而根据平行线分线段成比例定理得，于是求出，然后根据角平分线的定义以及平行线的性质得，结合等腰三角形的判定，进行等量代换得，接下来设，根据相似三角形的判定得和，推出和，由，列式计算求得的值，在中，利用勾股定理求得的长，最后即可求出的值.
13．（2025·富顺模拟）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：ab+4a=a(b+4).
故答案为：a(b+4).
【分析】由于多项式的两项含有公因式a，故直接利用提取公因式法分解因式即可.
14．（2025·富顺模拟）在一个不透明的盒子中装有6个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球是白球的概率是，则黄球的个数为 ．
【答案】3
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：盒子中黄色小球的个数为x，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是原方程的解，且符合题意.
故盒子中黄色小球的个数为3个.
故答案为：3.
【分析】盒子中黄色小球的个数为x，根据盒子中白色小球的个数比上盒子中小球的总个数等于从中随机摸出一个球是白球的概率列出方程，求解即可.
15．（2025·富顺模拟）化简：的结果为 ．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】本题考查的是同分母分数的减法，由分母不变，把分子相减，然后将分式分子进行因式分解，最后进行约分即可求解.
16．（2025·富顺模拟）实验课上，小华在研究苯和石墨的分子结构时，发现这两种物质的分子均为正多边形结构，且其内角和为，则这个正多边形的每个外角为 ．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为，
则，
解得
∴这个正多边形为六边形，
∵正多边形的每个外角都相等，
∴这个正多边形的每个外角为．
故答案为：．
【分析】先求出多边形的边数，然后根据多边形的外角和为360°解答即可．
17．（2025·富顺模拟）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留）
【答案】
【知识点】三角形的面积；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先由圆周角定理求出，然后根据，结合扇形面积公式以及三角形面积公式得到答案.
18．（2025·富顺模拟）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接交于点，
∴，即的最小值为的长度，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由对称的性质，得，，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【分析】作点关于的对称点，交于点，连接交于点，根据对称的性质得的最小值为的长度，由矩形的性质得，利用正切的定义以及特殊角的三角函数值得，然后根据对称的性质得，，利用含30°的直角三角形的性质得，从而得，接下来求出，，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，由等腰三角形“等边对等角”性质以及三角形内角和定理求出，最后利用勾股定理即可得的长度.
19．（2025·富顺模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据零指数幂、绝对值的意义、特殊的三角函数值、负整数指数幂进行化简，然后进行加减运算即可.
20．（2025·富顺模拟）如图，在中，E，F是对角线上的点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先由平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到，即可利用SAS证明，即可利用全等三角形的性质证明得到．
21．（2025·富顺模拟）如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结．
（1）若，求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，，
∵与边相切于点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵∵与边相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴的半径长为3．
【知识点】切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据等腰三角形“等边对等角”性质得，，由切线的性质得，从而可推导出，进而根据切线的判定得证结论；
（2）根据等腰三角形“等边对等角”性质得，由直径所对的圆周角是直角以及切线的性质得，，可推导出，即可证明，根据相似三角形对应边成比例得，于是得，从而求出，即求出的半径长.
（1）证明：连接，则，
∴，
∵的圆心O在上，且与边相切于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的半径长为3．
22．（2025·富顺模拟）从甲地到乙地有120千米，一辆小车与一辆卡车同时从甲地出发，沿相同路线开往乙地，已知小车的速度是卡车的1.5倍，结果小车比卡车提前30分钟到达乙地．求小车和卡车的行驶速度各是多少？
【答案】解：设卡车的行驶速度为x千米/时，则小车的行驶速度为1.5x千米/时，
根据题意得： ，
解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=120，
答：小车的行驶速度为120千米/时，卡车的行驶速度为80千米/时
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】 设卡车的行驶速度为x千米/时，则小车的行驶速度为1.5x千米/时， 则小车行完全程需要的时间为小时，卡车行完全程需要的时间为小时，根据从甲地到乙地，小车所用时间比卡车少半小时即可列出方程，求解并检验即可得出卡车的速度，进而算出小车的速度。
23．（2025·富顺模拟）“读万卷书，行万里路．”阅读可以增长见识，拓展视野．某校九年级通过开展以“我最喜欢的书籍”为主题的调查活动来了解学生的阅读情况，学生根据自己的爱好选择一类书籍（：政史类，：科技类，：文学类，：艺术类，：其他类）．根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示），请你根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这项调查中，共调查了_______名学生；
（2）将条形统计图补充完整，其中扇形统计图中“”所在扇形圆心角的度数为______；
（3）在选择“”的学生中有2名女生，2名男生，现从这四名学生中随机选出两名学生做读书分享，请求出刚好选到相同性别学生的概率．
【答案】（1）80
（2）72
（3）解：画树状图如下：
∴共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得调查的学生人数为：（名），
故答案为：80.
（2）D的人数为：（名），
∴补全条形统计图如下图：
扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）用A的人数除以其所占百分比得到被调查的学生人数；
（2）先用被调查的学生总人数减去A，B，C，E的人数得到D人数，然后再补全统计图，用360°乘以B所占百分比，即可求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数；
（3）画树状图得到所有的等可能结果数，从而得刚好选到相同性别学生的结果数，进而利用概率公式求解即可．
（1）解：（名），
即在这项调查中，共调查了80名学生．
故答案为：80；
（2）解：D的人数（名），
补全统计图如图所示：
，
，
即扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数为．
故答案为：；
（3）解：作树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中刚好选到相同性别学生的结果为4种，
∴刚好选到相同性别学生的概率为．
24．（2025·富顺模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入一次函数解析式求出，再将代入反比例函数解析即可求出的值；
（2）由于直线与直线平行，得，再把点代入求出B点坐标，代入中，求出，从而得出平移距离；结合图象判断出当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数的图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
25．（2025·富顺模拟）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：
（1）测量坡角
如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．
如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．
（2）测量山高
同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的（如图3），量得．求山高．（，结果精确到1米）
（3）测量改进
由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．
如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．（结果用不含的字母表示）
【答案】（1）解：如图，
由题意得，
∴；
（2）解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴山高为，
∴山高为69米；
（3）解：如图，
由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴山高，
∴山高的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）利用互余的性质即可求解；
（2）先求出，然后分别在、、中，解直角三角形得，，的值，最后求和即可；
（3）先求得，，在和中，解直角三角形分别求得和的长，得到方程，解方程即可求解．
（1）解：由题意得，
∴；
（2）解：在中，．
∴，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
在中，，米，
∴(米)，
∴山高(米)，
答：山高为69米；
（3）解：如图，由题意得，，
设山高，则，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，山高
答：山高的高为米．
26．（2025·富顺模拟）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．
（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；
（2）若点是抛物线上的点且在直线上方，连接、，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】解：（1）将，，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（2）如图1中，过点作轴交于点，
设，则，
∴，
∵，
∴的值最大值时，的面积最大，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，此时的面积的最大值为，；
（3）如图2中，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，
∴，
∵，，
∴，
同理可求直线的解析式为，
当时，有，
∴，
∵作点关于的对称点，
∴，，
同理可求直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，
综上所述，满足条件的点的坐标为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）过点作轴交于点，设，则，从而得的值，进而利用三角形面积公式可知的值最大值时，的面积最大，最后利用二次函数的最值知识求解即可；
（3）将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，
则，结合点坐标可得，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得，然后根据对称的性质得，，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得.
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