新疆乌鲁木齐市第七十中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

新疆乌鲁木齐市第七十中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．新能源汽车的推广使用，有助于削弱对传统石油等化石燃料的依赖，减少车辆排放物对环境造成的污染和降低温室气体的排放．如图，这是四款新能源汽车的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子：，，，， ，，其中是分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊．2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功．此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．其中某一蛋白质分子的直径仅米，这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．一个多边形的内角和与它的外角和的差为，则这个多边形的边数为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
6．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则下面所列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法：
甲：；
乙：；
丙：．
下列判断正确的是（ ）
A．只有甲对 B．只有乙对 C．只有丙对 D．三人说的都对
8．如图，在中，，，E是边上一点，连接并延长至点D，连接，若，，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
9．如图，中，，平分交于点，平分交于点，、相交于点，交的延长线于点，连接CE，下列结论中正确的有（　　）
①若，则；②；③；④．
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
10．当 时，分式的值为零．
11．2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ．
12．若，则等于 ．
13．如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是

14．如图，中，，点D在上，，且，过E作，交于点F，若，则的长 ．
15．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．将下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，再从1，2，3，4中选择一个你喜欢的数代入求值．
19．如图，中，，，中线与角平分线相交于点F，求的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中画出关于轴对称的；
(2)在轴上作出一点，使最小，并直接写出点的坐标．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3)若点与点关于轴对称，求的值．
21．某文创店，最近一款印有“保卫里”的书签销售火爆．该店第一次用1000元购进这款书签，很快售完，又花1600元第二次购进这款书签，已知每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，且第二次购进的数量是第一次的2倍．
(1)求该店两次购进这款书签各多少个？
(2)第二次购进这款书签后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该店决定将剩下的书签打五折销售并很快全部售完，若要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，则第一次销售时每个书签的售价至少为多少元？
22．如图，为等边三角形，，，相交于点P，于，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
23．如图①，在中，，，过点C作射线．点M从点B出发，以的速度沿匀速移动；点N从点C出发，以的速度沿匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动，连接、，设移动时间为．
(1)点M、N从移动开始到停止，所用时间为　　s；
(2)当与全等时，求a的值；
(3)如图②，当点M，N开始移动时，点P同时从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，到达点B后立刻以原速度沿返回．当点M到达点C时，点M，N，P同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形？若存在，直接写出t的值，若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
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《新疆乌鲁木齐市第七十中学2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B C C A C D D B
1．B
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
2．B
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果中分母B含有字母，那么叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是，，，共3个，
故选：B．
3．C
【分析】根据幂的运算性质与非零数的0次幂的意义，即可作出正确判断．
【详解】A、，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的运算性质、非零数的0次幂的意义．要注意几点：单独一个字母的指数为1，而不是0；幂的乘方是指数相乘，不是相加；进行积的乘方时，积中每个因式都要分别乘方；零指数幂、负整数指数幂的底数非0．
4．C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题关键．
【详解】解：．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，先求出这个多边形的内角和，设这个多边形的边数为，再由外角和公式计算即可得解．
【详解】解：∵一个多边形的内角和与它的外角和的差为，
∴这个多边形的内角和为，
设这个多边形的边数为，
由题意可得，
解得：，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了分式方程的实际应用．设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，根据工作时间工作总量工作效率，结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x的分式方程．
【详解】解：设实际工作时每天绿化的面积x万平方米，则原计划每天绿化的面积万平方米，
依题意得： 即．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，由作图可得：平分，，由角平分线的性质定理可得，即可判断甲；由即可判断乙；证明即可判断丙，即可得解．
【详解】解：由作图可得：平分，，
∵，
∴，故甲正确；
∵，
∴，故乙正确；
在和中，
，
∴，
∴，
∴，故丙正确；
故选：D．
8．D
【分析】作，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，那么可证．再利用证明，得出，设，根据列出方程，求解即可．
【详解】解：作，垂足为，则，如图所示：
，，
，，
，
，
．
，
，
．
在和中，
，
，
．
设，则，．
，
，
，
线段长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．
9．B
【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求，，由外角的性质和直角三角形的性质可求出，可判断①；如图，延长，交于点，证明，得，由等腰三角形的性质及三角形内角和可推出，可判断②；如图，在上截取，连接，证明，得，证明，得，可判断③；过点作于，于，由角平分线的性质可得，由全等三角形的性质可得，，得的值，可判断④，即可得解．
【详解】解：①∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
②如图，延长，交于点，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
假设，
则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，与矛盾，
∴假设不成立，即，
∴，
故结论②错误；
③如图，在上截取，连接，
∵平分，平分，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故结论③正确；
④如图，过点作于，于，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故结论④正确；
∴正确的结论有个．
故选：B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．1
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．根据分式的值为零的条件，即可求解．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故答案为：1．
11．平行四边形的不稳定性
【分析】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键．
【详解】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性，
故答案为：平行四边形的不稳定性．
12．16
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为16
【点睛】本题考查了幂的乘方的逆用，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算，正确的计算是解决本题的关键．
13．/度
【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数．
【详解】解：点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质．
14．2
【分析】作的平分线交于点G，如图，得出，依次证明，，得出，，设，求出，可得，设，求出，进一步利用即可求出x，进而求解．
【详解】解：作的平分线交于点G，如图，

则，
∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是上述方程的根，
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积变形、等腰三角形的性质和分式方程的求解，综合性强、具有一定的难度，正确添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了轴对称 最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点， 连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．
【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点，
连接，
∵为等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)4
(2)
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法，最后合并同类项即可
【详解】（1）解：（1）
，
；
（2）
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，零指数幂；负整数指数幂，同底数幂的乘法，幂的乘方运算等知识，掌握对应法则正确计算是解题的关键．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键：
（1）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先展开，再合并，最后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
18．，（或）
【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
先把可能内通分，再把分子分母因式分解和除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件选取或代入计算即可．
【详解】解：原式
，
∵且，
∴，
∴m可以取2，4，
当时，原式；当时，原式．
19．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
(3)1
【分析】本题考查作轴对称图形、最短路径问题、代数式求值，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．
（1）根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数得到对应点，再顺次连接即可画出对称图形；
（2）找到点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，由图知点P坐标；
（3）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数得到关于a、b的方程，求得a、b值代入求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时最小，
由图知，；
（3）解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴，，
∴．
21．(1)该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个；
(2)第一次销售时每个书签的售价至少为8元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，由题意：每个书签第二次购进的成本比第一次便宜了1元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，由题意：要使两次购进的书签销售完后的总利润不低于1880元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该商店第一次购进这款书签x个，则第二次购进这款书签个，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：该商店第一次购进这款书签200个，第二次购进这款书签400个．
（2）设第一次销售时每个书签的售价为m元，
由题意得：
解得：，
答：第一次销售时每个书签的售价至少为8元．
22．(1)见解析
(2)7
【分析】（1）本题要先得到，再根据全等三角形的性质即可得到．
（2）根据（1）中，得到，再根据三角形外角的性质和等边三角形每个内角是，得到，即可求解得到的长．
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，．
∴在和中，
，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，理解并掌握以上知识是解答本题的关键．
23．(1)5
(2)a的值为4或
(3)存在，t的值为或
【分析】本题属于三角形综合题，考查了路程，速度，时间之间的关系，全等三角形的判定；
（1）根据时间＝路程÷速度计算即可；
（2）分两种情况：①当，时，两个三角形全等；②当，时，两个三角形全等，分别计算即可；
（3）分两种情况：①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等；②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等；分别计算即可．
【详解】（1）解：点M的运动时间为，
故答案为：5；
（2）∵，
∴，
①当，时，两个三角形全等，
此时点M、N的移动速度相同，
∴；
②当点M、N的移动速度不同时，
∴，
∴当，时，两个三角形全等，
∴运动时间，
∴；
综上所述：a的值为4或；
（3）①若点M、N的移动速度不同，则时，两个三角形有可能全等，此时；
②若点M、N的移动速度相同，则，时两个三角形全等，
∴或，
解得：（舍去）或，
综上所述，满足条件的t的值为或．
答案第1页，共2页
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