24.2直角三角形的性质暑假预习练（含解析） 华东师大版数学九年级上册

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24.2直角三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，平行四边形中，对角线，相交于，，， ， 分别是， ，的中点，下列结论中：
①；
②四边形是平行四边形；
③；
④平分，
正确的是（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④
2．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则AD：BD=（　　）
A． B． C．1：2 D．
3．已知直角三角形角所对的直角边长为5，则斜边的长为（ ）
A．5 B．10 C．8 D．12
4．如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
5．如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作交于点，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A．120 B．240 C．80 D．160
7．如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，点C为线段的中点，则的长等于（ ）
A． B． C．5 D．10
8．如图，在直角三角形中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
9．如图，中，，M是斜边的中点，将绕点F按顺时针方向旋转，点E落在延长线上的处，点D落在处，若， ．则的长为（　　）
A． B．6 C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，AB=8，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC=120°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则AE的长度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形的顶点，，，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，与相交于点P，于Q．则与的关系为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在中，垂直平分线段，E为的中点，连接，若，则的长为 .
14．如图，在直角三角形ABC中，，，点是的中点，点是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，是上的一个动点，则的最小值为 ．
15．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，与交于点．下列结论：其中正确的结论有 ．（填序号）
；
若，则；
若，，则；
若，，则．
16．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，， ．
17．在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为 ．
三、解答题
18．已知：如图，在中，，于D，E为直角边的中点，过D，E作直线交的延长线于F．求证：．
19．已知，如图，，M，N分别是的中点．求证：
(1)；
(2)．
20．如图，在等边中，是的中点，于点．求证：．

21．如图所示，中：

(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，若，求边上的高．
22．如图，在中，，D是上的一点，且，点E是的中点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的周长．
23．如图，的对角线相交于点O，是等边三角形，．
(1)是矩形吗？说说你的理由．
(2)求这个平行四边形的面积．
24．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，求BF的长．
《24.2直角三角形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D D A C B C A
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】由平行四边形的性质可得，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由，可证四边形是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．
【详解】解：如图，
四边形是平行四边形
，，，
又，
，且点 是中点，
，
故①正确，
、分别是、的中点，
，，
点是斜边上的中点，
，无法证明，
故③错误，
，
四边形是平行四边形
故②正确，
，
，
，
，
,
，
，
，
平分，故④正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
2．A
【分析】根据角平分线的性质可知角平分线上的点到角两边的距离相等，再根据直角三角形的性质即可求解.
【详解】因为角平分线上的点到角两边的距离相等，作DE垂直BC，DF垂直AC，设DE=DF=a，则AD=，BD=2a，所以AD：BD=.故选择A.
【点睛】本题考查直角三角形的性质和角平分线的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质和角平分线的性质.
3．B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形中有一个角等于，它所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
【详解】因为直角三角形所对的直角边为5，
所以斜边长为．
故选：B．
4．D
【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，
∵，∴，解得：
∴，
故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
5．D
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题.
【详解】解：如图延长EF交BC的延长线于点G，取AB的中点H，连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；由菱形的性质得，，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵点O是中点，即是斜边上的中线，
∴，
∴菱形的面积，
故选：A．
7．C
【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长度，再由直角三角形斜边中线定理，即可得出答案．
【详解】】解：∵A，B两点的坐标分别是（8，0），（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∴AB==10，
∵点C为AB的中点，
∴OC=AB=×10=5，
故选：C．
【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
8．B
【分析】设PQ与AC交于点O，作于，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，根据平行四边形的性质得，根据，得，当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，进行计算即可得．
【详解】解：如图所示，设PQ与AC交于点O，作于，
在中，，
∴，
∴，
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
当P与重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质，垂线段最短的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和垂线段最短的性质．
9．C
【分析】如图所示，过F作于H，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，则由三线合一定理得到．
【详解】解：如图所示，过F作于H，
∵，， ，
∴，
∵M是斜边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
10．A
【分析】依据正方形的性质以及折叠的性质，即可得到∠AEB'=60°，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得到AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，∠A=90°，
∴
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴∠AB'E=30°，
∴B'E=2AE，
设AE=x，则B'E=2x=BE，
∵AB=8，
∴x+2x=8，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
11．D
【分析】过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，根据矩形的性质得到点C的坐标，求出∠COE=45°，OC=4，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，由旋转得∠COC1=75°，求出∠C1OF=30°，利用勾股定理求出OF，即可得到答案．
【详解】解：过点B作BG⊥x轴于G，过点C作CH⊥y轴于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，ADBC，∠CDA=∠DAB=90°，
∴∠HCD=∠ADO=∠BAG，
∵∠CHD=∠BGA=90°，
∴△CHD≌△AGB（AAS），
∵，，，
∴CH=AG=5-1=4，DH=BG=2，
∴OH=2+2=4，
∴C（4，4），
∴OE=CE=4，
∴∠COE=45°，OC=4，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点C1作C1F⊥x轴于F，
由旋转得∠COC1=75°，
∴∠C1OF=30°，
∴C1F=OC1=OC=2，
∴OF=，
∴点C1的坐标为，
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
12．B
【分析】此题考查了等边三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力，证明是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形．
∴
∵
∴（SAS），
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴
∴
故选：B．
13．6
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握这些知识是关键；由垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得；由互余关系得，从而；再可得，从而求解．
【详解】解：垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
则；
在中，E为中点，，
，
，
．
故答案为：6．
14．
【分析】连接，，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解．
【详解】解：连接，，如图，
∵点是斜边上的一个动点，是线段的垂直平分线，是上的一个动点，
∴，
∴，
∵，，点是的中点，
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．
15．
【分析】是的中线，即可求解；，则则 ，即可求解；勾股定理求得，，即可求解；勾股定理求得 ，进而根据是的中线，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确；
∵，
∴，，
∴，
则，故正确；
，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴
∴，
解得：，
∴，故不正确；
，，
则由勾股定理得，
∴，故正确，
综上可知：正确，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形中线定理，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．再证明，根据即可解决问题．
【详解】解：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
17．
【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，斜中半定理，得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵M为中点，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
连接，则，
∴，
∴当最小时，最小，
∵垂线段最短，
∴当时，最小，
此时，即：，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小．
18．证明见解析
【分析】先证明，得，再证明，得，即得证．
【详解】∵，
，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵E为的中点，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解答此题的关键．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质，并作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
（1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可证明．
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，即可证明．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
∵，M，N分别是的中点，
∴，
∴，
（2）证明：∵，为中点，
∴．
20．见解析
【分析】先根据等边三角形的性质和垂线的定义得到，，则，即可，再由是的中点即可证明．
【详解】证明：∵三角形是等边三角形，，
，，
，
．
是的中点，
，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形内角和定理，含度角的直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，，根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：，
设，则，，
，
，
；
（2）如图，作于点，

，，
．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)25
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由等边对等角及三角形外角的性质即可证明；
（2）根据（1）中结论及直角三角形斜边上的中线的性质即可证明；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴为直角三角形．
又∵点E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）证明：由（1）可得，
又∵，
∴，
∴．
（3）在中，，
∴，
∴的周长．
【点睛】题目主要考查直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理解三角形及等腰三角形的性质与判定等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
23．(1)是矩形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握矩形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，结合等边三角形的性质，推出，即可得出结论；
（2）等边三角形的性质，推出，进而求出的长，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：是矩形，理由如下：
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴是矩形；
（2）∵是等边三角形，
∴，
由（1）知：是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的面积为：．
24．5
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=BC=AC=8，∠A=∠B=∠C=60°，求出AD，∠ADE=∠FEC=30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AEAD，CFCE，求出AE、CF长，再求出答案即可．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝8，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝4，
∵DE⊥AC，EF⊥BC，∴∠DEA＝90°，∠EFC＝90°，
∴∠ADE＝180°﹣∠DEA﹣∠A＝30°，∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠C＝30°，
∴AEAD2，CFEC(8﹣2)＝3，
∴BF＝BC﹣CF＝8﹣3＝5．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理和含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
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