24.3锐角三角函数暑假预习练（含解析） 华东师大版数学九年级上册

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24.3锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，锐角A、B满足|sinA-|+[cos（B-15°）-]2=0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
2．正方形网格中，如图所示放置（点O，A，C均在网格的格点上，且点C在上），则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，运用科学计算器求锐角时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知AD是等腰三角形ABC底边上的高，且sinB=，点E在AC上且AE：EC=2：3，则tan∠ADE=（ ）
A． B． C． D．
5．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）
A．cos10° B．cos20° C．cos30° D．cos40°
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则BC∶AC等于( )
A．3∶4 B．4∶3 C．3∶5 D．4∶5
8．如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，cos∠AOB=反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（　　）
A．15 B．20 C．30 D．40
9．已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于( )
A．1 B． C． D．
11．当锐角时，则的值是（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题
13．若等腰三角形的两边长分别为和，则底角的正切值为 ．
14．计算： ．
15．如图，在矩形中，．点M从A出发，沿矩形的边A→B→C运动，速度为； 点N从B出发，沿矩形的边B→C→D运动， 运动速度为. 它们同时出发，设运动时间为x秒，一个点停止运动时，另一个点也同时停止运动．若，则x的取值范围为 .
16．若2sinA﹣1=0，则锐角∠A= ．
17．计算：tan45°-cos30°= ．
三、解答题
18．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin ∠ADC的值．

19．如图，在中，．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
20．计算：
（1）；
（2）．
21．计算：（sin30°）﹣1+﹣tan45°．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．
23．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹.
（1）在图①中画一条射线，使.
（2）在图②中画一条射线，使.
24．先化简，再求值：﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1．
《24.3锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D A B A B C B
题号 11 12
答案 A C
1．C
【分析】根据非负数的性质求出sinA和cos（B-15°）的值，然后求出∠A和∠B的度数，即可判断△ABC的形状．
【详解】∵|sinA-|+[cos（B-15°）-]2=0，
∴，且，
∴sinA=，
∴∠A=45°，
∵，
∴cos（B-15°）=，
∴∠B-15°=30°，
∴∠B=45°，
∴∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2．B
【分析】作交于点D，首先得到，然后根据勾股定理求出的长度，然后即可求出的值．
【详解】作交于点D，
由网格的特点可得，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据题意构造直角三角形求解．
3．D
【分析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【详解】∵cosA=0.2659，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，cos，0.2659，∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
【点睛】本题考查了计算器﹣三角函数，解决本题的关键是熟练利用计算器．
4．D
【分析】作EF∥CD，根据设AD=4x、AC=5x，知CD=3x，再由AE：EC=2：3分别表示出DF、AF、EF的长，继而可得∠ADE的正切值．
【详解】解：如图．作EF∥CD交AD于F点．
∵，
∴设AD=4x，则AC=5x，CD=3x，
∵
∴．
∵，
∴．
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、比例线段的性质等知识点，构建以∠ADE为内角的直角三角形是解题的出发点，根据已知条件表示出所需线段的长度是关键．
5．A
【分析】根据同名三角函数大小的比较方法比较即可．
【详解】∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了同名三角函数大小的比较方法，熟记锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；锐角的余弦、余切值随角度的增大而减小．
6．B
【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可．
【详解】解：解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB=，
故选：B．
【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时， sinA= cosB是解题的关键．
7．A
【详解】
，设a=3x，则c=5x，
∴，
∴b=4x，
故选A.
8．B
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值，再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上，即可得出，结合菱形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
设OA=a，
在Rt△OAM中，∠AMO=90°，OA=a，cos∠AOB=，
∴OM=OA cos∠AOB=a，AM==a，
∴点A的坐标为（a，a）．
∵点A在反比例函数y=的图象上，
∴a×a=24，
解得：a=5，或a=-5（舍去）．
∴OM=3，AM=4，OB=OA=5．
∵四边形OBCA是菱形，点F在边BC上，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出．
9．C
【分析】根据特殊三角函数值可直接得出答案．
【详解】已知为锐角，且，
，即．
故选C．
【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟记特殊三角函数值是解题的关键．
10．B
【详解】试题解析：
由题知，
所以
故应选：B.
11．A
【分析】由30°角的正弦值直接可得答案．
【详解】解：∵sin30°=；
故选A.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
12．C
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据特殊角三角函数值，可得答案．熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
【详解】解：由中，， ，由是锐角，得，
∴，
则，
故选：C．
13．或
【分析】已知边长6和8，故腰为6,6,8或者8,8,6两种情况讨论.
【详解】
如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=∠α，过A作AD⊥BC于D.
(1)当AB=6，BC=8时，
则CD=4，
在Rt△ACD中,AD为.
则底角tanα==；
(2)当AB=8，BC=6时，则CD=3，
在Rt△ACD中,AD为.
则底角tanα=.
故答案为或.
【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形边的讨论是解题的关键.
14．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
15．
【分析】如果点M在上，点N在上，时，易证，则，求出，即，解得，当时，，则M运动到B点，N运动到C点，以后N在上运动，M在上运动，由，则，即可得出结果．
【详解】解：如果点M在上，点N在上，时，
则，
∴，则，
∴，即，
∴，
即：，
解得：，
当时，，
∴M运动到B点，N运动到C点，
以后N在上运动，M在上运动，
∵，
∴，
∵，一个点停止运动时，另一个点也同时停止运动，
∴若，x的值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、一元一次方程的应用、三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，列出一元一次方程是解题的关键．
16．30°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】解：∵2sinA﹣1=0，
∴2sinA=1，
则sinA=，
则锐角∠A=30°．
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆有关特殊角的三角函数值是解题关键．
17．1-
【分析】根据特殊角三角函数值代入求解即可.
【详解】解：tan45°-cos30°=1-
故答案为：1-
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键.
18．（1）BC＝4；（2）sin ∠ADC＝.
【详解】（1）如图，作AE⊥BC，

∴CE=AC cosC=1，∴AE=CE=1，，
∴BE=3AE=3，∴BC=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，∴DE=1，
∴∠ADC=45°，∴．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可．
（1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可；
（2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出．
【详解】（1）解：证明如下：
∵中，，
∴，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（1）；（2）0．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握几个特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
21．
【详解】试题分析：把特殊角的三角函数值代入进行运算即可.
试题解析：原式
22．．
【分析】易证得△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质得到==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC=x，在Rt△ABC中，根据三角函数可求cosB．
【详解】∵∠C=90°，MN⊥AB，
∴∠C=∠ANM=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴==，
设AC=3x，AB=4x，
由勾股定理得：BC==，
在Rt△ABC中，cosB=．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，本题关键是表示出BC，AB．
23．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）先确定直角三角形的直角，①当∠ACB为直角时，需要保证AC=2BC；②当∠ABC为直角时，需要保证AB=2BC；
（2）∠ABD是直角，需要保证BD=即可.
【详解】解：（1）如图所示.
（2）如图所示.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，能够找到合适的直角三角形进行转换是解题的关键.
24．
【分析】对待求式的分子、分母进行因式分解，并将除法化为乘法可得×-1，通过约分即可得到化简结果；先利用特殊角的三角函数值求出a的值，再将a、b的值代入化简结果中计算即可解答本题.
【详解】原式=×-1
=-1
=
=，
当a═2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，b=1时，
原式=.
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值运算法则.
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